Generalized Riemann formulas for the solution of the first mixed problem for the general telegraph equation with variable coefficients in the first quadrant

Fedor E. Lomovtsev; Ломовцев Федор Егорович

doi:10.36535/2782-4438-2024-232-50-69

Обобщенные формулы Римана решения первой смешанной задачи для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости

Авторы: Ломовцев Ф.Е.¹
Учреждения:
1. Белорусский государственный университет
Выпуск: Том 232 (2024)
Страницы: 50-69
Раздел: Статьи
URL: https://journal-vniispk.ru/2782-4438/article/view/261961
DOI: https://doi.org/10.36535/2782-4438-2024-232-50-69
ID: 261961

Цитировать

Полный текст

Аннотация
Полный текст
Об авторах
Список литературы
Дополнительные файлы
Статистика

Аннотация

Известным методом Римана и новым методом компенсации граничного режима правой частью уравнения получены формулы Римана единственного и устойчивого классического решения первой смешанной задачи для линейного общего неоднородного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости. Из постановки смешанной задачи, определения классических решений и установленного критерия гладкости правой части уравнения выведен её критерий корректности по Адамару. Этот критерий корректности состоит из требований гладкости и трёх условий согласования правой части уравнения, граничного и начальных данных. Подтверждена справедливость полученных формул Римана и критерия корректности тем, что доказано их совпадение с известными формулами классического решения и критерием корректности для модельного телеграфного уравнения.

Ключевые слова

первая смешанная задача, телеграфное уравнение, неявная характеристика, глобальная теорема корректности, требование гладкости, условие согласования

Полный текст

1. Введение. В настоящей работе впервые явно решена и полностью изучена корректность по Адамару (существование, единственность и устойчивость) первой смешанной задачи для линейного общего неоднородного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости для классических решений. Выведены обобщенные формулы типа Римана её единственного и устойчивого классического решения и установлен критерий (необходимые и достаточные условия) её корректности во множестве классических решений (теорема 3.1). Этот критерий корректности состоит из требований гладкости на правую часть уравнения, граничное и начальные данные и трёх условий согласования граничного режима с начальными условиями и уравнением. В настоящей статье (теорема 4.1) с помощью вычисленной функции Римана доказано, что в случае модельного телеграфного уравнения эти обобщенные формулы типа Римана и критерий корректности первой смешанной задачи из теоремы 3.1 совпадают с уже известными результатами из статьи [5]. В ней ранее автором настоящей работы были получены явные формулы классического решения, часть критерия корректности и доказана теорема существования единственного и устойчивого классического решения первой смешанной задачи для общего неоднородного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости. В теореме 3.1 настоящей работы вывод полного критерия корректности на правую часть телеграфного уравнения с переменными коэффициентами использует критерий корректности [15, 16]. Результаты из [5] и настоящей работы нами распространены <<методом вспомогательных смешанных задач для полуограниченной струны>> (см. [6]) на первую смешанную задачу для модельного и общего телеграфных уравнений с переменными коэффициентами в полуполосе плоскости в статьях [17, 18].

В работе автора [5] обобщались результаты кандидатской диссертации [1], в которой первая смешанная задача для однородного уравнения в полуполосе плоскости, периодическими продолжениями исходных данных задачи и коэффициентов уравнения при соответствующих предположениях на них заменяется задачей Коши для него в верхней полуплоскости. Глобальная теорема корректности первой смешанной задачи для более общего ( $a_{1} \neq a_{2}$ ) волнового уравнения на отрезке, но с постоянными коэффициентами имеется в [7]. В этой статье введено понятие глобальных теорем корректности линейных краевых задач и с помощью леммы Цорна доказана теорема (см. [7, теорема 1]) о существовании их глобальных теорем корректности. Глобальными называются теоремы корректности краевых задач с критериями (необходимыми и достаточными условиями) их корректности по Адамару. Теорема 1 из [7] утверждает: каждая корректно поставленная линейная краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных имеет глобальную теорему её корректной разрешимости по Адамару в соответствующей паре локально выпуклых топологических векторных пространств.

Результаты настоящей работы обобщают работы [3, 12–14], в которых рассматривалась первая смешанная задача для простейшего ( $a = c o n s t >0$ , $b = c =0$ , $q = q (x)$ ) телеграфного уравнения (2.1). В диссертации [14] установлены необходимые и достаточные условия на начальные данные и только достаточные условия на правую часть уравнения для классического решения первой смешанной задачи. Согласно [3, 7]] необходимые условия $f (0, t)= f (π, t)=0$ , $t \in [0, T]$ , на правую часть $f (x, t) \in C (\bar{Q})$ уравнения колебаний струны из [14] являются лишь одними из достаточных (необязательных) условий корректности первой смешанной задачи. Здесь одними из необходимых (обязательных) условий служат условия согласования $f (0,0)= f (π,0)=0$ правой части $f$ с нулевыми начальными и граничными данными. В статьях [12, 13] для волнового уравнения найдена формула и необходимые и достаточные условия на начальные данные для обобщенного (почти классического) решения смешанной задачи, предполагая его единственность. Это решение удовлетворяет уравнению почти всюду по $x$ и $t$ .

2. Постановка основной первой смешанной задачи. В первой четверти ${\dot{G}}_{\infty}$ решить и вывести критерий корректности первой смешанной задачи

$L u (x, t) \equiv u_{t t} (x, t) - a^{2} (x, t) u_{x x} (x, t) + b (x, t) u_{t} (x, t) + c (x, t) u_{x} (x, t) +$

$+ q (x, t) u (x, t)= f (x, t), (x, t) \in {\dot{G}}_{\infty} =]0, + \infty[\times]0, + \infty[,$ (2.1)

$u |_{t =0} = φ (x), u_{t} |_{t =0} = ψ (x), x >0,$ (2.2)

$u |_{x =0} = μ (t), t >0,$ (2.3)

где коэффициенты уравнения $a$ , $b$ , $c$ , $q$ $—$ вещественные функции и исходные данные задачи $f$ , $φ$ , $ψ$ , $μ$ $—$ заданные функции своих переменных $x$ и $t$ . Количеством нижних индексов функций мы обозначаем порядки их соответствующих частных производных.

Пусть $C^{k} (Ω)$ $—$ множество $k$ раз непрерывно дифференцируемых функций на подмножестве $Ω$ , $C (Ω)$ $—$ множество непрерывных функций на $Ω \subset ℝ^{2}$ и $ℝ^{2}$ $—$ плоскость.

Определение 2.1. Классическим решением смешанной задачи (2.1) $-$ (2.3) называется непрерывная ограниченная функция c непрерывными и ограниченными первыми и вторыми частными производными на $G_{\infty} = [0, + \infty[\times [0, + \infty[$ , т.е. $u \in C^{2} (G_{\infty})$ , удовлетворяющая уравнению (2.1) на ${\dot{G}}_{\infty}$ в обычном смысле, а начальным условиям (2.2) и граничному режиму (2.3) в смысле значений пределов $u (\dot{x}, \dot{t})$ и её производной $u_{\dot{t}} (\dot{x}, \dot{t})$ по $\dot{t}$ во внутренних точках $(\dot{x}, \dot{t}) \in {\dot{G}}_{\infty} =]0, + \infty[\times]0, + \infty[$ , стремящихся к соответствующим граничным точкам $(x, t)$ .

Требуется найти в явном виде классическое решение $u \in C^{2} (G_{\infty})$ первой смешанной задачи (2.1) $-$ (2.3) на ${\dot{G}}_{\infty}$ и установить критерий корректности на правую часть $f$ , начальные $φ$ , $ψ$ и граничное $μ$ данные для ее однозначной везде разрешимости.

Из постановки этой смешанной задачи и определения 2.1 её классических решений сразу вытекают следующие необходимые условия гладкости исходных данных:

$f \in C (G_{\infty}), φ \in C^{2} [0, + \infty[, ψ \in C^{1} [0, + \infty[, μ \in C^{2} [0, + \infty[.$ (2.4)

Ниже в теореме 3.1 возьмем дополнительные необходимые и достаточные требования гладкости (3.1) на $f \in C (G_{\infty})$ из [15, 16], где ищутся классические решения неоднородного модельного телеграфного уравнения с минимальной гладкостью правой части.

Полагая $t =0$ соответственно в граничном режиме (2.3), первой и второй производных по $t$ от граничного режима (2.3), с помощью начальных условий (2.2) при $x =0$ и уравнения (2.1) при $x = t =0$ выводим необходимые условия согласования:

$\begin{matrix} φ (0)= μ (0), ψ (0)= μ^{'} (0), \\ S \equiv f (0,0) + a^{2} (0,0) {φ^{'}}^{'} (0) - b (0,0) ψ (0) - c (0,0) φ^{'} (0) - q (0,0) φ (0)= {μ^{'}}^{'} (0). \end{matrix}$ (2.5)

Количеством штрихов над функциями одной переменной мы обозначаем порядки их обыкновенных производных по этой переменной.

Уравнение (2.1) на $G_{\infty}$ имеет характеристические дифференциальные уравнения

$d x =(- {1)}^{i} a (x, t) d t, i =1,2,$ (2.6)

которым в плоскости $ℝ^{2}$ переменных $x$ и $t$ соответствуют два различных семейства неявных характеристик $g_{i} (x, t)= C_{i}, C_{i} \in ℝ$ , $i =1,2$ . Если коэффициент $a (x, t) \geq a_{0} >0$ , $(x, t) \in G_{\infty}$ , то переменная $t$ на характеристике $g_{1} (x, t)= C_{1}$ , $C_{1} \in ℝ$ , строго убывает, а на характеристике $g_{2} (x, t)= C_{2}$ , $C_{2} \in ℝ$ , строго возрастает вместе с ростом $x$ в правой плоскости $O x t$ . Поэтому у неявных функций $y_{i} = g_{i} (x, t)$ , $x \geq 0$ , $t \geq 0$ , существуют явные строго монотонные обратные функции $x = h_{i} {y_{i}, t}$ , $t \geq 0$ , и $t = h^{(i)} [x, y_{i}]$ , $x \geq 0$ , $i =1,2$ , для которых на $G_{\infty}$ выполняются следующие тождества обращения из статьи [5]:

$5 g_{i} (h_{i} {y_{i}, t}, t)= y_{i}, t \geq 0, h_{i} {g_{i} (x, t), t}= x, x \geq 0, i =1,2,$ (2.7)

$g_{i} (x, h^{(i)} [x, y_{i}])= y_{i}, x \geq 0, h^{(i)} [x, g_{i} (x, t)]= t, t \geq 0, i =1,2,$ (2.8)

$h_{i} {y_{i}, h^{(i)} [x, y_{i}]}= x, x \geq 0, h^{(i)} [h_{i} {y_{i}, t}, y_{i}]= t, t \geq 0, i =1,2.$ (2.9)

Если коэффициент $a \in C^{2} (G_{\infty})$ , то функции $g_{i}$ , $h_{i}$ , $h^{(i)} \in C^{2}$ по $x$ , $t$ , $y_{i}$ , $i =1,2$ , на $G_{\infty}$ (см. [1]).

Замечание 2.1. В случае $a (x, t)= a = c o n s t >0$ ими служат функции $g_{1} (x, t)= x + a t$ , $g_{2} (x, t)= x - a t$ , $h_{1} {y_{1}, t}= y_{1} - a t$ , $h_{2} {y_{2}, t}= y_{2} + a t$ , $h^{(1)} [x, y_{1}]=(y_{1} - x)/ a$ , $h^{(2)} [x, y_{2}]=(x - y_{2})/ a$ (см. [10]).

Определение 2.2. Характеристика $g_{2} (x, t)= g_{2} (0,0)$ , в которой $a (x, t) \geq a_{0} >0$ , $(x, t) \in G_{\infty}$ , называется критической для уравнения (2.1) в первой четверти плоскости $G_{\infty}$ .

Критическая характеристика разбивает четверть плоскости $G_{\infty}$ на два множества

$G_{-} ={(x, t) \in G_{\infty} : g_{2} (x, t)> g_{2} (0,0)}, G_{+} ={(x, t) \in G_{\infty} : g_{2} (x, t) \leq g_{2} (0,0)}.$

На этих множествах первая смешанная задача (2.1) $-$ (2.3) может иметь разные единственные согласованные классические решения и критерии корректности по Адамару. В отличие от смешанных (начально-граничных) задач, в задаче Коши обычно нет условий согласования.

3. Исследование корректности основной смешанной задачи. Если в уравнении (2.1) продолжить функцию $a (x, t)$ чётным образом на $x <0$ , то характеристики $g_{i} (x, t)= C_{i}$ , $i =1,2$ , будут заданы на верхней полуплоскости $\tilde{G}$ плоскости $O x t$ .

Обобщенные формулы Римана классического решения и критерий корректности описаны в следующей теореме.

Теорема 3.1 (см. [19]). Пусть $a (x, t) \geq a_{0} >0$ , $(x, t) \in G_{\infty}$ , $a \in C^{2} (G_{\infty})$ , $b, c, q \in C^{1} (G_{\infty})$ . Первая смешанная задача (2.1) $-$ (2.3) в области ${\dot{G}}_{\infty}$ имеет единственное и устойчивое по $φ$ , $ψ$ , $f$ , $μ$ классическое решение $u \in C^{2} (G_{\infty})$ тогда и только тогда, когда справедливы требования гладкости (2.4),

$H_{i} (x, t) \equiv \int_{0}^{t} \frac{f (| h_{i} {g_{i} (x, t), τ}|, τ)}{a (| h_{i} {g_{i} (x, t), τ}|, τ)} \frac{\partial h_{i} {g_{i} (x, t), τ}}{\partial g_{i}} d τ \in C^{1} (G_{\infty}), i =1,2,$ (3.1)

и условия согласования (2.5). Классическим решением задачи (2.1) $-$ (2.3) в ${\dot{G}}_{\infty}$ является функция

$u_{-} (x, t)= \frac{(a u v)(h_{2} {g_{2} (x, t),0},0) + (a u v)(h_{1} {g_{1} (x, t),0},0)}{2 a (x, t)} +$

$+ \frac{1}{2 a (x, t)} \int_{h_{2} {g_{2} (x, t),0}}^{h_{1} {g_{1} (x, t),0}} [ψ (s) v (s,0) - φ (s) v_{τ} (s,0) + b (s,0) φ (s) v (s,0)] d s +$

$+ \frac{1}{2 a (x, t)} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}} f (s, τ) v (s, τ; x, t) d s,(x, t) \in G_{-},$ (3.2)

$u_{+} (x, t) = \frac{(a u v)(h_{1} {g_{1} (x, t),0},0) - (a u v)(h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]),0},0)}{2 a (x, t)} +$

$+ \frac{1}{2 a (x, t)} \int_{h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]),0}}^{h_{1} {g_{1} (x, t),0}} [ψ (s) v (s,0) - φ (s) v_{τ} (s,0) + b (s,0) φ (s) v (s,0)] d s +$

$+ \frac{1}{2 a (x, t)} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}} \overset{⌣}{f} (| s |, τ) v (| s |, τ; | x |, t) d s + μ (t) -$

$- \frac{1}{2 a (0, t)} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (0, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (0, t), τ}} \overset{⌣}{f} (| s |, τ) v (| s |, τ; 0, t) d s, (x, t) \in G_{+},$ (3.3)

где $\overset{⌣}{f} (x, t)= f (x, t) - f_{μ} (x, t) + f^{(0)} (x, t)$ , $f_{μ} (x, t)= L μ (t)$ , $f^{(0)} (x, t)$ $—$ сужение на $G_{\infty}$ решения системы (3.27) интегрального уравнения Вольтерра второго рода и соответствующего линейного алгебраического уравнения, а функции Римана $v (s, τ)= v (s, τ; x, t)$ $—$ классические решения задач Гурса (3.10), (3.13) в $G_{-}$ и (3.20), (3.21) в $G_{+}$ .

Доказательство. Достаточность. Сначала выведем формулы (3.2) и (3.3) формального решения задачи (2.1) $-$ (2.3) на $G_{-}$ и $G_{+}$ . Затем установим его дважды непрерывную дифференцируемость, единственность и устойчивость в нормах (3.29) и (3.30).

$1$ . Множество $G_{-}$ . Уравнение (2.1) для любых функций $u \in C^{2} (G_{-})$ умножаем на любые функции $v \in C^{2} (G_{-})$ и, используя очевидные равенства

$u_{t t} v =(u_{t} v)_{t} - u_{t} v_{t} =(u_{t} v)_{t} - {(u v_{t})}_{t} + u v_{t t},$

$a^{2} u_{x x} v =(u_{x} a^{2} v)_{x} - u_{x} {(a^{2} v)}_{x} =(u_{x} a^{2} v)_{x} - {(u {(a^{2} v)}_{x})}_{x} + u {(a^{2} v)}_{x x},$

$b u_{t} v =(u b v)_{t} - u {(b v)}_{t}, c u_{x} v =(u c v)_{x} - u {(c v)}_{x},$

приходим к тождеству

$(L u) v - u (M v)= \frac{\partial H (u, v)}{\partial t} + \frac{\partial K (u, v)}{\partial x} \forall u, v \in C^{2} (G_{-}),$ (3.4)

где

$M v = v_{t t} (x, t) - {(a^{2} (x, t) v (x, t))}_{x x} - {(b (x, t) v (x, t))}_{t} - {(c (x, t) v (x, t))}_{x} + q (x, t) v (x, t),$

$H (u, v)= u_{t} v - u v_{t} + b u v =(u v)_{t} - u [2 v_{t} - b v],$ (3.5)

$K (u, v)= - u_{x} a^{2} v + u {(a^{2} v)}_{x} + c u v = - {(a^{2} u v)}_{x} + u [2(a^{2} v)_{x} + c v].$ (3.6)

Дифференциальный оператор $M$ , который является сопряженным оператором к оператору $L$ в смысле численнозначных распределений Шварца $D'(G_{-})$ (см. [2, 22]), обычно называют формально сопряженным оператором к оператору $L$ . В силу левой ориентации плоскости $O τ s$ на рис. 1 по известной формуле Грина двойной интеграл от тождества (3.4) по характеристическому треугольнику $Δ M P Q$ в $G_{-}$ с любой вершиной $M (x, t) \in G_{-}$ и вершинами его основания $P (h_{2} {g_{2} (x, t),0},0)$ и $Q (h_{1} {g_{1} (x, t),0},0)$ равен

$\int_{Δ M P Q} [(L u) v - u (M v)] d s d τ = \int_{Δ M P Q} [\frac{\partial H (u, v)}{\partial τ} + \frac{\partial K (u, v)}{\partial s}] d s d τ = \int_{l^{+}} [K (u, v) d τ - H (u, v) d s],$ (3.7)

где $l^{+} = Q M \cup M P \cup P Q$ $—$ контур криволинейного треугольника $Δ M P Q$ с положительным направлением обхода.

Рис. 1. Криволинейный характеристический треугольник $Δ M P Q$ в $G_{-}$ .

В криволинейном интеграле (3.7) с помощью выражений (3.5), (3.6), дифференциального уравнения характеристики из (2.6) при $i =1$ и очевидных равенств

${(u v)}_{τ} a =(a u v)_{τ} - a_{τ} u v, {(a^{2} u v)}_{s} (1/ a)=(a u v)_{s} - a^{2} u v {(1/ a)}_{s} =(a u v)_{s} + a_{s} u v$

вычисляем интеграл вдоль характеристики $Q M$ уравнения $g_{1} (s, τ)= g_{1} (x, t)$ :

$\int_{Q}^{M} [K (u, v) d τ - H (u, v) d s]=$

$= \int_{Q}^{M} [(u v)_{τ} a d τ + {(a^{2} u v)}_{s} (1/ a) d s] + \int_{Q}^{M} (u [2 v_{τ} - b v] d s + u [2(a^{2} v)_{s} + c v] d τ)=$

$= \int_{Q}^{M} d (a u v) + \int_{Q}^{M} (u [2 v_{τ} + (a_{s} - b) v] d s + u [2(a^{2} v)_{s} + (c - a_{τ}) v] d τ)=$

$=(a u v)(M) - (a u v)(Q) - \int_{0}^{t} u {4 a v_{τ} - [a b - 4 a_{τ} + c] v} d τ .$ (3.8)

Здесь на характеристике $Q M$ при $i =1$ мы воспользовались характеристическим дифференциальным уравнением из (2.6) и для функций $w \in C^{1} (G_{\infty})$ новым представлением из

$w_{s} (s, τ)=(- {1)}^{i} \frac{w_{τ} (s, τ)}{a (s, τ)}, i =1,2.$

Поскольку на каждой из характеристик $Q M$ и $M P$ переменные $s = s_{i} (τ)$ , $τ = τ_{i} (s)$ являются взаимно зависимыми, т.е. соответственно при $i =1$ и $i =2$ переменные $s = h_{i} {g_{i} (x, t), τ}$ , $τ = h^{(i)} [s, g_{i} (x, t)]$ согласно формулам обращения (2.7) $-$ (2.9), то эти представления вытекают из очевидных формул первых частных производных:

$w_{s} (s, τ (s))= w_{s} (s, τ {)|}_{τ = τ (s)} + w_{τ} (s, τ {)|}_{τ = τ (s)} τ^{'} (s)= w_{s} (s, τ {)|}_{τ = τ (s)} + {(- 1)}^{i} w_{τ} (s, τ {)|}_{τ = τ (s)} / a (s, τ),$

$w_{τ} (s (τ), τ)= w_{τ} (s, τ {)|}_{s = s (τ)} + w_{s} (s, τ {)|}_{s = s (τ)} s^{'} (τ)= w_{τ} (s, τ {)|}_{s = s (τ)} + {(- 1)}^{i} w_{s} (s, τ {)|}_{s = s (τ)} a (s, τ),$

так как $τ^{'} (s)=(- {1)}^{i} / a (s, τ)$ , $s^{'} (τ)=(- {1)}^{i} a (s, τ)$ , $i =1,2$ , также ввиду формул (2.6). В последнем равенстве (3.8) для сведения криволинейного интеграла второго типа вдоль $Q M$ к обыкновенному определенному интегралу мы применили параметрическое представление кривой $Q M$ : $s = s_{1} (τ)= h_{1} {g_{1} (x, t), τ}$ , $τ = τ$ , $0 \leq τ \leq t$ .

Используя характеристическое уравнение из (2.6) при $i =2$ , в (3.7) аналогично берем интеграл вдоль характеристики $M P$ с уравнением $g_{2} (s, τ)= g_{2} (x, t)$ :

$\int_{M}^{P} [K (u, v) d τ - H (u, v) d s]=$

$= - \int_{M}^{P} [(u v)_{τ} a d τ + {(a^{2} u v)}_{s} (1/ a) d s] + \int_{M}^{P} (u [2 v_{τ} - b v] d s + u [2(a^{2} v)_{s} + c v] d τ)=$

$= - \int_{M}^{P} d (a u v) + \int_{M}^{P} (u [2 v_{τ} - (a_{s} + b) v] d s + u [2(a^{2} v)_{s} + (c + a_{τ}) v] d τ)=$

$=(a u v)(M) - (a u v)(P) - \int_{0}^{t} u {4 a v_{τ} - [a b - 4 a_{τ} - c] v} d τ .$ (3.9)

Здесь при $i =2$ мы применили характеристическое дифференциальное уравнение из (2.6) и указанное выше представление $w_{s} (s, τ)= w_{τ} (s, τ)/ a (s, τ)$ . В последнем равенстве из (3.9) для сведения криволинейного интеграла второго типа вдоль характеристики $M P$ к обыкновенному определенному интегралу мы также воспользовались параметрическим представлением кривой $M P$ : $s = s_{2} (τ)= h_{2} {g_{2} (x, t), τ}$ , $τ = τ$ , $0 \leq τ \leq t$ .

Пусть функция $v (s, τ)= v (s, τ; x, t)$ с параметрами $(x, t)$ является классическим решением однородного формально сопряженного дифференциального уравнения

$M v (s, τ)=0, (s, τ) \in Δ M P Q,$ (3.10)

с условиями на характеристиках $Q M$ и $M P$ :

$\begin{array}{l} 4 a (s, τ) v_{τ} (s, τ) - [a (s, τ) b (s, τ) - 4 a_{τ} (s, τ) + c (s, τ)] v (s, τ)=0, \\ 4 a (s, τ) v_{τ} (s, τ) - [a (s, τ) b (s, τ) - 4 a_{τ} (s, τ) - c (s, τ)] v (s, τ)=0 \end{array}$ (3.11)

соответственно из определенных интегралов в (3.8) и (3.9) и условием согласования

$v (M)=1.$ (3.12)

Условия (3.11), (3.12)) равносильны двум уже согласованным условиям Гурса

$\begin{array}{l} v (s, τ) & = \exp {\int_{t}^{τ} k_{1} (h_{1} {g_{1} (x, t), ρ}, ρ) d ρ}, & g_{1} (s, τ)= g_{1} (x, t), \\ v (s, τ) & = \exp {\int_{t}^{τ} k_{2} (h_{2} {g_{2} (x, t), ρ}, ρ) d ρ}, & g_{2} (s, τ)= g_{2} (x, t), τ \in [0, t], \end{array}$ (3.13)

где

$\begin{array}{l} k_{1} (s, τ) & ={a (s, τ) b (s, τ) - 4 a_{τ} (s, τ) + c (s, τ)}/4 a (s, τ) & на кривой QM, \\ k_{2} (s, τ) & ={a (s, τ) b (s, τ) - 4 a_{τ} (s, τ) - c (s, τ)}/4 a (s, τ) & на кривой MP . \end{array}$

Общеизвестно, что задача Гурса (3.10), (3.13) с коэффициентами $a \in C^{2} (G_{-})$ , $b, c, q \in C^{1} (G_{-})$ всегда имеет единственное классическое решение $v \in C^{2} (G_{-} \cap Δ M P Q)$ , которое общепринято называть функцией Римана для задачи Коши (2.1), (2.2) на $G_{-}$ . В общем случае функция Римана однозначно находится методом последовательных приближений (см. [11, c. 129–135].

В формуле (3.7) полагаем $L u (s, τ)= f (s, τ), M v (s, τ)=0$ на треугольнике $Δ M P Q$ , и в силу соотношений (3.10) $-$ (3.13) согласно (3.8) и (3.9) получаем формулу решения

$u_{-} (x, t)= \frac{(a u v)(P) + (a u v)(Q)}{2 a (x, t)} + \frac{1}{2 a (x, t)} \int_{P}^{Q} [H (u, v) d s - K (u, v) d τ] +$

$+ \frac{1}{2 a (x, t)} \int_{Δ M P Q} f (s, τ) v (s, τ; x, t) d s d τ,(x, t) \in G_{-} .$ (3.14)

Здесь в интеграле по отрезку $P Q$ , где $a \in C^{2} (G_{-})$ , $b, c \in C^{1} (G_{-})$ и $d τ =0$ , подынтегральные функции $H$ и $K$ однозначно определяются начальными условиями (2.2) (см. рис. 1). Если ещё двойной интеграл по треугольнику $Δ M P Q$ записать в виде повторных интегралов, то в (3.14) сумма этих двух интегралов будет равна

$\frac{1}{2 a (x, t)} \int_{h_{2} {g_{2} (x, t),0}}^{h_{1} {g_{1} (x, t),0}} [ψ (s) v (s,0) - φ (s) v_{τ} (s,0) + b (s,0) φ (s) v (s,0)] d s +$

$+ \frac{1}{2 a (x, t)} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}} f (s, τ) v (s, τ; x, t) d s,(x, t) \in G_{-} .$ (3.15)

Первое слагаемое из (3.14) содержит значения

$u (h_{2} {g_{2} (x, t),0},0)= φ (h_{2} {g_{2} (x, t),0}), u (h_{1} {g_{1} (x, t),0},0)= φ (h_{1} {g_{1} (x, t),0}).$

Формула (3.14) с интегралами (3.15) вместо двух последних интегралов становится формулой (3.2), которая обобщает формулу Римана из [11, c. 139] со скорости $a =1$ на скорость $a (x, t)$ волны на полупрямой $x \geq 0$ носителя данных $φ$ и $ψ$ .

Теперь убедимся в дважды непрерывной дифференцируемости функции (3.2) на $G_{-}$ . Если коэффициенты $a \in C^{2} (G_{-})$ , $b \in C^{1} (G_{-})$ , то требований $φ \in C^{2} [0, + \infty[$ , $ψ \in C^{1} [0, + \infty[$ из (2.4) достаточно для дважды непрерывной дифференцируемости первых двух слагаемых с интегралом по отрезку $P Q$ в (3.2) на $G_{-}$ , так как существует единственная функция Римана $v \in C^{2} (G_{-} \cap Δ M P Q)$ (см. [11, c. 129--135]. Для $f \in C (G_{\infty})$ достаточность гладкости (3.1) для дважды непрерывной дифференцируемости на $G_{-}$ последнего интеграла в (3.2) следует, например, из достаточности требований (3.1) на $f$ для существования единственного классического решения задачи Коши (2.1), (2.2) на $G_{-}$ в теореме 2 из [5].

$2$ . Множество $G_{+}$ . Пусть $\hat{a}$ , $\hat{b}$ , $\hat{q}$ , $\hat{f}$ $—$ чётные продолжения и $\tilde{c}$ $—$ нечётное продолжение по $x$ коэффициентов $a$ , $b$ , $c$ , $q$ и правой части $f$ уравнения (2.1) на все $x <0$ . В верхней полуплоскости $\tilde{G} = ℝ \times]0, + \infty[$ ищем решение $\tilde{u}$ задачи Коши

$\hat{L} \tilde{u} (x, t) \equiv {\tilde{u}}_{t t} - {\hat{a}}^{2} (x, t) {\tilde{u}}_{x x} + \hat{b} (x, t) {\tilde{u}}_{t} + \tilde{c} (x, t) {\tilde{u}}_{x} (x, t) + \hat{q} (x, t) \tilde{u} = \hat{\overset{⌣}{f}} (x, t), (x, t) \in \tilde{G},$ (3.16)

$\tilde{u} |_{t =0} = \tilde{φ} (x), {\tilde{u}}_{t} |_{t =0} = \tilde{ψ} (x), x \in ℝ, ℝ =]- \infty, + \infty[,$ (3.17)

где $\tilde{φ}, \tilde{ψ}$ $—$ нечётные продолжения соответственно $φ \in C^{2} [0, + \infty[$ , $ψ \in C^{1} [0, + \infty[$ на $x <0$ ,

$\hat{\overset{⌣}{f}} (x, t)= \hat{f} (x, t) - {\hat{f}}_{μ} (x, t) + {\hat{f}}^{(0)} (x, t), \hat{L} μ (t)= {\hat{f}}_{μ} (x, t)$

и правило выбора чётной по $x$ функции ${\hat{f}}^{(0)} (x, t)$ будет указано ниже. Если $f \in C (G_{\infty})$ , то, очевидно, $\hat{f} \in C (\tilde{G})$ . В формуле решения $u_{+}$ первой смешанной задачи (2.1) $-$ (2.3) этих продолжений не будет.

Если из обеих частей уравнения (3.16) вычесть слагаемое $\tilde{c} (x, t) {\tilde{u}}_{x} (x, t)$ , то придём к уравнению вида (3.16) с коэффициентом $\tilde{c} (x, t) \equiv 0$ и новой правой частью

$\hat{\bar{f}} (x, t)= \hat{\overset{⌣}{f}} (x, t) - \tilde{c} (x, t) {\tilde{u}}_{x} (x, t) \in C (G_{\infty}),$

в котором вычитаемое $c (x, t) u_{x} (x, t) \in C^{1} (G_{\infty})$ непрерывно дифференцируемо и поэтому оно удовлетворяет интегральным требованиям гладкости (3.1) на $G_{\infty}$ . Благодаря линейности этой задачи Коши её решение представимо в виде суммы $\overset{⌣}{u} (x, t)= {\tilde{u}}_{0} (x, t) + {\hat{u}}_{1} (x, t)$ решения ${\tilde{u}}_{0}$ задачи Коши (3.16), (3.17) при $\hat{\bar{f}} =0$ , $\tilde{φ} \neq 0$ , $\tilde{ψ} \neq 0$ и решения ${\hat{u}}_{1}$ задачи Коши (3.16) $-$ (3.17) при $\hat{\bar{f}} \neq 0$ , $\tilde{φ} \equiv 0$ , $\tilde{ψ} \equiv 0$ . Первая задача Коши на $G_{\infty}$ с граничным режимом (2.3) при $μ =0$ становится первой смешанной задачей (2.1) $-$ (2.3) на $G_{\infty}$ . С одной стороны, по теореме 2 статьи [5] существует единственное классическое решение ${\tilde{u}}_{0} \in C^{2} (G_{\infty})$ этой первой смешанной задачи (2.1) $-$ (2.3) на $G_{\infty}$ . Первая задача Коши на $G_{\infty}$ равносильна этой первой смешанной задаче на $G_{\infty}$ , так как решение первой задачи Коши по формуле (4) из [20], т.е. по формуле (3.2) из теоремы 3.1, но с крышками над $a$ , $b$ , $v$ , равно ${\tilde{u}}_{0} (0, t)=0$ , $t \geq 0$ (см. [11, c. 68 – 69]. Ниже перед леммой 3.1 показано, что характеристические треугольники $Δ M P Q$ с вершинами $M (0, t), t \geq 0$ , на оси $O t$ являются <<криволинейными>> равнобедренными. Следовательно, вершины $P$ и $Q$ основания $P Q$ треугольника $Δ M P Q$ симметричны относительно оси $O t$ , начальные данные $\tilde{φ}$ и $\tilde{ψ}$ нечётны по $x$ , функции $\hat{a}$ , $\hat{b}$ , $\hat{v}$ чётны по $s$ и поэтому первые два слагаемых в (3.2) обращаются в ноль. Третье слагаемое в формуле (3.2) вида двойного повторного интеграла по $Δ M P Q$ при $f = \hat{\bar{f}} =0$ тоже равно нулю.

Из условий согласования (2.5) при $\tilde{c} \equiv 0$ , $\hat{\bar{f}} =0$ , $μ =0$ для ${\tilde{u}}_{0}$ на $G_{\infty}$ выводим условия

$φ (0)=0, {φ^{'}}^{'} (0)=0, ψ (0)=0.$ (3.18)

Известно, что начальные данные $φ \in C^{2} [0, + \infty[$ , $ψ \in C^{1} [0, + \infty[$ с условиями (3.18) всегда допускают на $x <0$ гладкие нечётные продолжения $\tilde{φ} \in C^{2} (ℝ)$ , $\tilde{ψ} \in C^{1} (ℝ)$ . Это следует из [1, лемма 1]. Действительно, из нечётности по $x$ продолжений $\tilde{φ}$ , $\tilde{ψ}$ следует их непрерывность при $x =0$ , так как $φ (0)=0$ , $ψ (0)=0$ в (3.18). Производные $\tilde{φ}'(x)$ , $\tilde{ψ}'(x)$ от этих нечётных начальных данных чётны и, следовательно, непрерывны при $x =0$ . Непрерывность второй производной $\tilde{φ}'^{'} (x)$ при $x =0$ обеспечивает её нечётность по $x$ и значение ${φ^{'}}^{'} (0)=0$ из (3.18). Поэтому, с другой стороны, первая задача Коши для уравнения (3.16)) с $\tilde{c} \equiv 0$ и $\hat{\bar{f}} \equiv 0$ при начальных данных $\tilde{φ} \in C^{2} (ℝ)$ , $\tilde{ψ} \in C^{1} (ℝ)$ в (3.17) на $\tilde{G}$ имеет единственное решение ${\tilde{u}}_{0} \in C^{1} (\tilde{G})$ (см. [20]). Действительно, нечётная по $x$ функция ${\tilde{u}}_{0} (x, t)$ непрерывна на $\tilde{G}$ , так как ${\tilde{u}}_{0} (0, t)=0$ , и чётная по $x$ её производная ${({\tilde{u}}_{0})}_{x} (x, t)$ всегда непрерывна на $\tilde{G}$ . Для сокращения доказательства теоремы 3.1 можно было бы положить коэффициент $\tilde{c} \equiv 0$ в (3.16).

Другая задача Коши при $\hat{\bar{f}} \neq 0$ , $\tilde{φ} \equiv 0$ , $\tilde{ψ} \equiv 0$ на $\tilde{G}$ , очевидно, имеет единственным классическим решением двойной интеграл ${\hat{u}}_{1} (x, t)= \hat{F} (x, t) \in C^{2} (G_{\infty})$ из [20] при $f = \hat{\bar{f}}$ :

$\hat{F} (x, t)= \frac{1}{2 \hat{a} (x, t)} \int_{Δ M P Q} \hat{\bar{f}} (s, τ) \hat{v} (s, τ) d s d τ = \frac{1}{2 \hat{a} (x, t)} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}} \hat{\bar{f}} (s, τ) \hat{v} (s, τ) d s,$

удовлетворяющий однородным начальным данным $\tilde{φ} =0$ , $\tilde{ψ} =0$ , потому что этот двойной интеграл и его первая производная по $t$ при $t =0$ равны $\hat{F} (x,0)=0$ , ${\hat{F}}_{t} (x,0)=0$ . Чётность по $x$ этого интеграла $\hat{F}$ подтверждается чётностью по $x$ коэффициента $\hat{a}$ , чётностью по $s$ его подинтегральной функции и равнобедренностью <<криволинейных>> характеристических треугольников $Δ M P Q$ с вершинами $M (0, t)$ , $t \geq 0$ , на оси $O t$ . Ниже в лемме 3.1 будет показана чётность по $s$ функции Римана $\hat{v} = \hat{v} (s, τ)$ на $\tilde{G}$ . Таким образом, четное по $x$ решение ${\hat{u}}_{1} (x, t)= \hat{F} (x, t)$ всегда непрерывно по $x$ на $\tilde{G}$ , т.е. ${\hat{u}}_{1} \in C (G_{\infty})$ . Более того, согласно теореме 2 из [5] при $φ = ψ =0$ , $μ (t)= \hat{F} (0, t) \in C^{2} [0, + \infty[$ решение $\hat{F}$ дважды непрерывно дифференцируемо в первой четверти ${\hat{u}}_{1} (x, t)= \hat{F} (x, t) \in C^{2} (G_{\infty})$ , а в силу его четности по $x$ и во второй четверти плоскости (см. ниже предисловие к замечанию 3.1). Здесь применение теоремы 2 на $G_{\infty}$ из [5] основано на справедливости не только первых двух, но и третьего условия согласования из (2.5) при $φ = ψ =0$ , $f = \overset{⌣}{f} \neq 0$ , $c \neq 0$ и $μ \neq 0$ , а также интегральных требований гладкости (3.1) на $f$ . От переноса слагаемого $\tilde{c} {\tilde{u}}_{x}$ из левой части уравнения (3.16) в его правую часть это уравнение фактически не меняется. В дальнейшем мы увидим, что на гладкость правой части $f$ уравнения (2.1) дополнительные слагаемые $- f_{μ}$ , $f^{(0)}$ правой части $\overset{⌣}{f}$ уравнения (3.16) фактически не влияют, потому что в процессе решения смешанной задачи (2.1) $-$ (2.3) нашим новым методом компенсации они сокращаются (аннулируются).

В итоге, мы нашли суммарное решение $\overset{⌣}{u} (x, t)= {\tilde{u}}_{0} (x, t) + {\hat{u}}_{1} (x, t) \in C (\tilde{G})$ , $C^{2} (G_{\infty})$ вспомогательной задачи Коши (3.16), (3.17) на $\tilde{G}$ . Отсюда и из чётности по $x$ продолжений коэффициентов $\hat{a}$ , $\hat{b}$ , $\hat{q}$ и правой части $\hat{\bar{f}}$ на все $x <0$ также следует, что во второй четверти плоскости это классическое решение $\overset{⌣}{u} \in C^{2} (\tilde{G} \ G_{\infty})$ (см. ниже замечание 3.2).

Интегрируя аналог тождества (3.4) для любых $\tilde{u}$ , $\hat{v} \in C^{2} (G_{\infty})$ , $C^{2} (\tilde{G} \ G_{\infty})$ , $C (\tilde{G})$ по треугольнику $Δ M P Q$ с любой вершиной $M (x, t) \in G_{+}$ в верхней полуплоскости $O s τ$ , мы имеем аналог формулы (3.4) решения задачи Коши (3.16), (3.17):

$\overset{⌣}{u} (x, t)= \frac{(\hat{a} \tilde{u} \hat{v})(P) + (\hat{a} \tilde{u} \hat{v})(Q)}{2 \hat{a} (x, t)} + \frac{1}{2 \hat{a} (x, t)} \int_{P}^{Q} [H (\tilde{u}, \hat{v}) d s - K (\tilde{u}, \hat{v}) d τ] +$

$+ \frac{1}{2 \hat{a} (x, t)} \int_{Δ M P Q} \hat{\overset{⌣}{f}} (s, τ) \hat{v} (s, τ; x, t) d s d τ, (x, t) \in \tilde{G} = ℝ \times]0, + \infty[.$ (3.19)

В силу единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2) на $G_{-}$ функция (3.19) на $G_{-}$ равна классическому решению (3.2). Аналогично множеству $G_{-}$ в криволинейном интеграле по $P Q$ формулы (3.19) подынтегральные функции $H$ и $K$ однозначно определяются начальными данными $\tilde{φ} \in C^{2} (\tilde{G})$ , $\tilde{ψ} \in C^{2} (\tilde{G})$ и функцией Римана $\hat{v}$ (см. рис. 2).

Рис. 2. Криволинейные характеристический и критический треугольники $Δ M P Q$ и $Δ Q^{'} P P^{'}$ в $\tilde{G}$ .

Эта функция Римана на $G_{\infty}$ является решением задачи Гурса:

$\hat{M} \hat{v} (s, τ) \equiv {\hat{v}}_{τ τ} (s, τ) - {({\hat{a}}^{2} (s, τ) \hat{v} (s, τ))}_{s s} - {(\hat{b} (s, τ) \hat{v} (s, τ))}_{τ} -$

$- {(\tilde{c} (s, τ) \hat{v} (s, τ))}_{s} + \hat{q} (s, τ) \hat{v} (s, τ)=0, (s, τ) \in Δ M P Q,$ (3.20)

$\begin{array}{l} \hat{v} (s, τ) & = \exp {\int_{t}^{τ} {\tilde{k}}_{1} (h_{1} {g_{1} (x, t), ρ}, ρ) d ρ}, & g_{1} (s, τ)= g_{1} (x, t), \\ \hat{v} (s, τ) & = \exp {\int_{t}^{τ} {\tilde{k}}_{2} (h_{2} {g_{2} (x, t), ρ}, ρ) d ρ}, & g_{2} (s, τ)= g_{2} (x, t), τ \in [0, t], \end{array}$ (3.21)

аналогичной задаче Гурса (3.10), (3.13) и с функциями ${\tilde{k}}_{1} (s, τ)$ на кривой $Q M$ и ${\tilde{k}}_{2} (s, τ)$ на кривой $M P$ , соответственно равными функциям $k_{1} (s, τ)$ и $k_{2} (s, τ)$ , в которых коэффициенты $a$ , $b$ , $q$ заменены на их четные продолжения $\hat{a}$ , $\hat{b}$ , $\hat{q}$ , а коэффициент $c$ $—$ на нечетное продолжение $\tilde{c}$ по $x$ c $x \geq 0$ на $x <0$ . Формально сопряженный дифференциальный оператор $\hat{M}$ равен оператору $M$ с коэффициентами $\hat{a}$ , $\hat{b}$ , $\tilde{c}$ , $\hat{q}$ вместо коэффициентов $a$ , $b$ , $c$ , $q$ . Задача Гурса (3.20), (3.21) имеет единственное решение $\hat{v} (s, τ)= \hat{v} (s, τ; x, t)$ , непрерывное на $\tilde{G}$ и дважды непрерывно дифференцируемое на $G_{\infty}$ (см. [11, c. 129–135] (см. ниже замечание 3.2).

Ввиду (2.6) в каждой фиксированной точке $M (x, t)$ тангенсы углов наклона касательных прямых к характеристикам двух семейств $g_{i} (x, t)= C_{i}$ , $i =1,2$ , отличаются лишь противоположными знаками $d x / d t =(- {1)}^{i} a (x, t)$ , $i =1,2$ , в силу чётности продолжения $\hat{a}$ по $x$ . Следовательно, для любых вершин $M (0, t)$ , $t >0$ , на оси $O τ$ , треугольники $Δ M P Q$ и, в частности, треугольники $Δ Q^{'} P P^{'}$ являются криволинейными <<равнобедренными>>. Поэтому на рис. 2 характеристики $g_{2} (s, τ)= C_{2}$ и $g_{1} (s, τ)= C_{1}$ при $s <0$ соответственно симметричны характеристикам $g_{1} (s, τ)= C_{1}$ и $g_{2} (s, τ)= C_{2}, C_{1}, C_{2} \in ℝ$ , при $s >0$ относительно оси $O τ$ .

Покажем, что функция Римана $\hat{v} = \hat{v} (s, τ)$ является чётной по $s$ функцией в $\tilde{G}$ .

Лемма 3.1. Пусть выполняются предположения теоремы 3.1. Тогда для любой вершины $M (x, t)$ $\in G_{+}$ характеристического треугольника $Δ M P Q$ решение $\hat{v} (s, τ)= \hat{v} (s, τ; x, t)$ задачи Гурса (3.20), (3.21) на $Δ M P Q$ является чётной по $s$ функцией.

Доказательство. Главные дифференциальные части общего телеграфного уравнения (3.16) и его формально сопряженного уравнения (3.20), а ниже также модельного телеграфного уравнения (4.1) и его формально сопряженного уравнения одинаковые. Поэтому им соответствуют одни и те же дифференциальные уравнения характеристик (2.6) и, значит, одинаковые семейства характеристик $g_{i} (x, t)= C_{i}$ , $C_{i} \in ℝ$ , $i =1,2$ , в $\tilde{G}$ .

Для любой точки $M (x, t) \in G_{+}$ строим характеристический треугольник $Δ \tilde{M} P^{'} \tilde{P}$ с симметричной относительно оси $O τ$ вершиной $\tilde{M} (- x, t) \in \tilde{G}$ , вершинами основания $P^{'} (- h_{2} {g_{2} (x, t)$ , $0},0)$ , $\tilde{P} (h_{2} {g_{2} (- x, t),0},0)$ и криволинейными сторонами $g_{1} (s, τ)= g_{1} (- x, t)$ , $g_{2} (s, τ)= g_{2} (- x, t)$ (см. рис. 2). Докажем симметричность криволинейного треугольника $Δ \tilde{M} P^{'} \tilde{P}$ треугольнику $Δ M P Q$ относительно оси $O τ$ строго математически. Визуально это очевидно из рис. 2. Симметричность этих треугольников относительно $O τ$ не вызывает сомнений только для прямых характеристик, так как в этом случае симметричность вершины $\tilde{P}$ вершине $Q$ вытекает из замечания 2.1, а вершина $P'$ очевидно симметрична вершине $P$ и для кривых характеристик.

Во-первых, из указанной выше <<равнобедренности>> криволинейных треугольников с вершинами на оси $O τ$ , $τ >0$ , следует взаимозаменяемость уравнений сторон-характеристик таких треугольников семейства $g_{2} (s, τ)= C_{2}$ , $C_{2} \in ℝ$ , на характеристики семейства $- g_{1} (- s, τ)= C_{1}$ , $C_{1} \in ℝ$ , и уравнений сторон-характеристик семейства $g_{1} (s, τ)= C_{1}$ , $C_{1} \in ℝ$ , на характеристики семейства $- g_{2} (- s, τ)= C_{2}$ , $C_{2} \in ℝ$ , в верхней полуплоскости $\tilde{G}$ . Характеристику $M P$ уравнения $g_{2} (s, τ)= g_{2} (x, t)$ ищем в виде $- g_{1} (- s, τ)= C_{1}$ , $C_{1} \in ℝ$ . Подставляем сюда координаты точки $M (x, t)$ и находим значение постоянной $- g_{1} (- s, τ)= C_{1} = - g_{1} (- x, t)$ . Отсюда для характеристик $M P$ , $\tilde{M} P^{'}$ соответственно имеем два уравнения

$g_{1} (- s, τ)= g_{1} (- x, t), g_{1} (s, τ)= g_{1} (- x, t),$

из которых вытекает равенство $g_{1} (- s, τ)= g_{1} (s, τ)$ , $s \geq 0$ , т.е. чётность по $s$ функции $g_{1}$ . Иначе говоря, характеристика $\tilde{M} P^{'}$ симметрична характеристике $M P$ относительно оси $O τ$ в $\tilde{G}$ (см. рис. 2). Согласно уравнениям характеристик $M Q$ и $\tilde{M} \tilde{P}$ существуют их продолжения до пересечения с осью $O τ$ . Если характеристику $M Q$ уравнения $g_{1} (s, τ)= g_{1} (x, t)$ искать в виде $- g_{2} (- s, τ)= C_{2}$ , то подставляя сюда координаты точки $M (x, t)$ , имеем значение постоянной $- g_{2} (- s, τ)= C_{2} = - g_{2} (- x, t)$ . Поэтому для характеристик $M Q$ и $\tilde{M} \tilde{P}$ соответственно имеем два уравнения

$g_{2} (- s, τ)= g_{2} (- x, t), g_{2} (s, τ)= g_{2} (- x, t).$

Из них следует равенство $g_{2} (- s, τ)= g_{2} (s, τ), s \geq 0$ , т.е. чётность по $s$ функции $g_{2}$ . Итак, характеристика $\tilde{M} \tilde{P}$ симметрична характеристике $M Q$ относительно оси $O τ$ в $\tilde{G}$ (см. рис. 2). В итоге, мы обосновали чётность по $s$ характеристик уравнения (3.20) на $\tilde{G}$ :

$g_{1} (- s, τ)= g_{1} (s, τ), g_{2} (- s, τ)= g_{2} (s, τ), s, τ \geq 0.$ (3.22)

Во-вторых, в (3.21) нечётность $\tilde{c}$ по $s$ меняет знак слагаемого в $\tilde{c} (s, τ)$ из ${\tilde{k}}_{1}$ на противоположный для выражения $- \tilde{c} (s, τ)$ из ${\tilde{k}}_{2}$ и наоборот. Взаимная чётность по $s$ одной из функций ${\tilde{k}}_{1}$ , ${\tilde{k}}_{2}$ , указанных после (3.13) (см. уравнения (3.11) и (3.21), по отношению к другой из них, вытекает из чётности $\hat{a}$ , $\hat{b}$ , $\hat{q}$ , нечётности $\tilde{c}$ по $s$ в (3.21) и чётности по $s$ характеристик (3.22) на $\tilde{G}$ :

${\tilde{k}}_{1} (- s, τ)= {\tilde{k}}_{2} (s, τ), {\tilde{k}}_{2} (- s, τ)= {\tilde{k}}_{1} (s, τ), (s, τ) \in Δ M P Q .$ (3.23)

Из симметрии характеристик $\tilde{M} \tilde{P}$ , $\tilde{M} P'$ соответственно характеристикам $M Q$ , $M P$ относительно оси $O τ$ ввиду (3.22) и (3.23) имеем чётность по $s$ данных Гурса (3.21).

В-третьих, известен факт: производная от нечётной (чётной) функции является (чётной) нечётной функцией. Если функция $\hat{v}$ чётна по $s$ , то в уравнении (3.20) дифференциальный оператор $\hat{M}$ чётен по $s$ на верхней полуплоскости $\tilde{G}$ относительно оси $O τ$ , так как его коэффициенты $\hat{a}$ , $\hat{b}$ , $\hat{q}$ чётны, коэффициент $\tilde{c}$ нечётен по $s$ на $\tilde{G}$ и

${(\tilde{c} (- s, τ) \hat{v} (- s, τ))}_{s} = {\tilde{c}}_{s} (- s, τ) \hat{v} (- s, τ) + \tilde{c} (- s, τ) {\hat{v}}_{s} (- s, τ)=$

$= {\tilde{c}}_{s} (s, τ) \hat{v} (- s, τ) - \tilde{c} (s, τ) {\hat{v}}_{s} (- s, τ)= {\tilde{c}}_{s} (s, τ) \hat{v} (s, τ) + \tilde{c} (s, τ) {\hat{v}}_{s} (s, τ)=$

$=(\tilde{c} (s, τ) \hat{v} (s, τ {))}_{s}, s >0, τ \geq 0.$

Чётность по $s$ уравнения (3.20) и данных Гурса (3.21) влечёт чётность по $s$ единственного достаточно гладкого решения задачи Гурса (3.20), (3.21). Отсутствие чётности решения задачи Гурса (3.20), (3.21) во внутренних точках из $Δ M P Q$ и на основании $P Q$ противоречит чётности по $s$ уравнения (3.20), а на боковых сторонах $M P$ и $M Q$ $—$ установленной чётности по $s$ данных Гурса (3.21).

На рис. 2 в критическом треугольнике $Δ Q^{'} P P^{'}$ уравнениями пунктирной линии $Q^{'} P^{'}$ , симметричной куску характеристики $Q^{'} P$ относительно оси $O τ$ , очевидно, служат уравнения

$g_{1} (s, τ)= g_{1} (- x, t), s = h_{1} {g_{1} (- x, t), τ}.$

Существуют другие равносильные уравнения кривой $Q^{'} P^{'}$ в терминах $g_{1}$ и $h_{1}$ . В плоскости $O s τ$ неявное уравнение $g_{1} (s, τ)= g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)])$ , конечно, описывает кривую $Q^{'} P^{'}$ , проходящую через точку $Q^{'}$ (см. рис. 2). Таким образом, по определению обратной функции кривая $Q^{'} P^{'}$ также задается явным уравнением

$s = h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]), τ}, 0 \leq τ \leq h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)].$ (3.24)

Отсюда мы находим другой вид тех же координат точек $P^{'} (h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]),0},0)$ и $P (- h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]),0},0)$ .

Выше показано, что функция (3.19) является решением $\overset{⌣}{u} \in C (\tilde{G})$ , $C^{2} (G_{\infty})$ , $C^{2} (\tilde{G} \ G_{\infty})$ задачи Коши (3.16), (3.17), а функция Римана $\hat{v} \in C (\tilde{G}), C^{2} (G_{\infty})$ $—$ чётным по $s$ решением задачи Гурса (3.20), (3.21) на $\tilde{G}$ (см. [11, c. 129–135]). Из её чётности по $s$ следует $\hat{v} \in C^{2} (\tilde{G} \ G_{\infty})$ . Из решения (3.19) задачи Коши на $\tilde{G}$ выведем решение смешанной задачи (2.1) $-$ (2.3) на $G_{\infty}$ .

В формуле (3.19) за счёт нечетности начального данного $\tilde{φ}$ и чётности произведения $\hat{a} \hat{v}$ по $s$ значение произведения $\hat{a} \tilde{u} \hat{v}$ в точке $P$ равно его значению в симметричной точке $P^{'}$ относительно оси $O τ$ , взятому с противоположным знаком. Поэтому согласно (3.24) первое слагаемое из (3.21) совпадает с первым слагаемым формулы (3.3), в котором берутся значения функции

$\tilde{u} (h_{1} {g_{1} (x, t),0},0)= φ (h_{1} {g_{1} (x, t),0}), \tilde{u} (h_{2} {g_{2} (x, t),0},0)= - φ (h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]),0}),$

т.е. в первом слагаемом из (3.3) подразумевается значение функции

$\tilde{u} (h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]),0},0)= φ (h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]),0}).$

В формуле (3.19) интеграл по основанию $P Q$ треугольника равен сумме трёх интегралов по отрезкам $P O$ , $O P^{'}$ и $P^{'} Q$ , первые два из которых сокращаются из-за нечетности обоих начальных данных $\tilde{φ}, \tilde{ψ}$ , чётности по $s$ коэффициентов $\hat{a}, \hat{b}$ и, согласно обоснованной выше лемме 3.1, чётности по $s$ функции Римана $\hat{v}$ . Таким образом, интеграл по $P Q$ формулы (3.19) при $d τ =0$ равен интегралу по $P^{'} Q$ от $H (\tilde{u}, \hat{v})$ и, следовательно, второе слагаемое из (3.19) становится вторым слагаемым из (3.3) благодаря координатам точки $P^{'}$ из (3.24). Сужением на $G_{\infty}$ последнего слагаемого из (3.19) с двойным интегралом имеем следующее слагаемое, за указанными выше, решения (3.3), так как двойной интеграл по треугольнику $Δ M P Q$ из (3.19) совпадает с двойным повторным интегралом от произведения правой части $\overset{⌣}{f}$ уравнения (3.16) на функцию Римана $v$ с модулем $| s |$ их первой переменной $s$ . В нём вместо двойного интеграла по треугольнику $Δ Q^{'} P P^{'}$ от произведения функций $\overset{⌣}{f}$ и $v$ фактически дважды берётся двойной интеграл по треугольнику $Δ Q^{'} O P^{'}$ из $G_{+}$ благодаря их четности по $s$ .

Существование единственного классического решения $\overset{⌣}{u}$ задачи (2.1) $-$ (2.3) на $G_{\infty}$ и $G_{+}$ взято из теоремы 2 статьи [5], где для него обоснована достаточность гладкости на $φ$ , $ψ$ , $f$ , $μ$ из (2.4), (3.1). В доказательстве теоремы 2 из [5] о корректности задачи (2.1) $-$ (2.3) для общего телеграфного уравнения (2.1) используются теорема 1 из [5] для модельного телеграфного уравнения (см. ниже (4.1)), обобщение метода продолжения по параметру Шаудера (см. [4, 8, 21]) и теоремы повышения гладкости сильных решений из [8]. Метод продолжения по параметру основан на том, что линейное общее телеграфное уравнение (2.1) отличается от линейного модельного телеграфного уравнения (4.1) младшими членами, т.е. слагаемыми с первыми производными $u_{t}$ , $u_{x}$ и $u$ . Поэтому при коэффициентах $a \in C^{2} (G_{\infty})$ , $b, c, q \in C^{1} (G_{\infty})$ гладкости (2.4), (3.1) на $φ$ , $ψ$ , $f$ хватает для дважды непрерывной дифференцируемости решения (3.19) задачи Коши (3.16), (3.17) и первых трех слагаемых из (3.3) на $G_{+}$ при $x \geq 0$ , так как функция Римана $\hat{v}$ тоже дважды непрерывно дифференцируема на $G_{+}$ при $x \geq 0$ (см. 11, c. 129–135] (см. ниже замечание 3.2). В формуле (3.3) классического решения нашей задачи на $G_{+}$ отсутствуют значения продолжений $\hat{a}$ , $\hat{b}$ , $\tilde{c}$ , $\hat{q}$ , $\hat{\overset{⌣}{f}}$ для $x <0$ , потому что эти продолжения оказались формальными благодаря знаку модуля $| s |$ в функциях $\overset{⌣}{f} (| s |, τ)$ и $v (| s |, τ)$ .

Из установленной выше гладкости решения $\overset{⌣}{u} \in C^{2} (G_{\infty})$ вида (3.19) задачи Коши (3.16), (3.17) на $\tilde{G}$ следует дважды непрерывная дифференцируемость по $t \geq 0$ следа справа $\overset{⌣}{u} (0, t)= \lim_{x \to + 0} \overset{⌣}{u} (x, t)$ решения (3.19) на $G_{+}$ при $x \geq 0$ . Поскольку решение (3.19) этой задачи Коши на $G_{\infty}$ совпадает с суммой первых трёх слагаемых из (3.3), то этот след равен

$\overset{⌣}{u} (0, t)= \frac{(a u v)(h_{1} {g_{1} (0, t),0},0) - (a u v)(h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (0, t)]),0},0)}{2 a (0, t)} +$

$+ \frac{1}{2 a (0, t)} \int_{h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (0, t)]),0}}^{h_{1} {g_{1} (0, t),0}} [ψ (s) v (s,0) - φ (s) v_{τ} (s,0) + b (s,0) φ (s) v (s,0)] d s +$

$+ \frac{1}{2 a (0, t)} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (0, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (0, t), τ}} \overset{⌣}{f} (| s |, τ) v (| s |, τ;0, t) d s, (x, t) \in G_{+} .$

В этом следе два первых слагаемых обращаются в ноль, потому что в них $h^{(2)} [0, g_{2} (0, t)]= t$ согласно второй формуле обращения из (3.8) при $i =2$ . Запишем его в виде суммы

$\overset{⌣}{u} (0, t)= \tilde{Ψ} (t) + {\tilde{F}}^{(0)} (t),$ (3.25)

где функции

$\tilde{Ψ} (t)= \frac{1}{2 a (0, t)} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (0, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (0, t), τ}} [\hat{f} (s, τ) - {\hat{f}}_{μ} (s, τ)] \hat{v} (s, τ;0, t) d s,$

${\tilde{F}}^{(0)} (t)= \frac{1}{2 a (0, t)} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (0, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (0, t), τ}} {\hat{f}}^{(0)} (s, τ) \hat{v} (s, τ;0, t) d s .$

В (3.3) в качестве чётной по $x$ функции ${\hat{f}}^{(0)}$ берем значение оператора $\hat{L}$ на следе:

$\hat{L} \overset{⌣}{u} (0, t) \equiv {\overset{⌣}{u}}_{t t} (0, t) + \hat{b} (x, t) {\overset{⌣}{u}}_{t} (0, t) + \hat{q} (x, t) \overset{⌣}{u} (0, t)= {\hat{f}}^{(0)} (x, t), (x, t) \in \tilde{G} .$ (3.26)

Согласно представлению (3.25) функция ${\tilde{f}}^{(0)}$ должна удовлетворять уравнению

${\hat{f}}^{(0)} (x, t) - {\tilde{F}}_{t t}^{(0)} (t) - \hat{b} (x, t) {\tilde{F}}_{t}^{(0)} (t) - \hat{q} (x, t) {\tilde{F}}^{(0)} (t)= \hat{L} \tilde{Ψ} (t), (x, t) \in \tilde{G} .$

Здесь полагаем

${\tilde{F}}_{t t}^{(0)} (t)= \tilde{Y} (t), {\tilde{F}}_{t}^{(0)} (t)= \int_{0}^{t} \tilde{Y} (δ) d δ, {\tilde{F}}_{t}^{(0)} (t)= \int_{0}^{t} (t - δ) \tilde{Y} (δ) d δ$

и получаем систему интегрального уравнения Вольтерра второго рода и алгебраического уравнения

$\begin{matrix} \tilde{Y} (t)= \int_{0}^{t} [(δ - t) \hat{q} (x, t) - \hat{b} (x, t)] \tilde{Y} (δ) d δ + \tilde{Z} (x, t), \\ {\hat{f}}^{(0)} (x, t) - \tilde{Z} (x, t)= \hat{L} \tilde{Ψ} (t), x \in ℝ, t \geq 0. \end{matrix}$ (3.27)

Непрерывность функции ${\hat{f}}^{(0)}$ на $\tilde{G}$ вытекает из уравнения (3.26) и непрерывности его коэффициентов на $\tilde{G}$ . Из теории интегральных уравнений хорошо известно, что для непрерывной $\tilde{Z} \in C (\tilde{G})$ существует единственное непрерывное решение $\tilde{Y} \in C (\tilde{G})$ уравнения Вольтерра второго рода системы (3.27). По значению $\tilde{Y}$ единственным образом выводятся сначала дважды непрерывно дифференцируемая функция ${\tilde{F}}^{(0)} (t) \in C^{2} [0, + \infty[$ , как решение задачи Коши для уравнения ${\tilde{F}}_{t t}^{(0)} (t)= \tilde{Y} (t)$ с очевидными начальными условиями ${\tilde{F}}^{(0)} (0)= {\tilde{F}}_{t}^{(0)} (0)=0$ , и затем единственная функция ${\hat{f}}^{(0)} \in C (\tilde{G})$ . Находим функцию $\tilde{Z}$ из второго алгебраического уравнения системы (3.27) и имеем её единственное решение ${\tilde{Y}, \tilde{Z}}$ .

Итак, выше мы преобразовали все слагаемые из (3.19) в первые три слагаемые из (3.3). Вычитаем след формулы (3.19) при $x =0$ из формулы (3.19), прибавляем граничное данное $μ \in C^{2} [0, + \infty[$ и получаем классическое решение исходной задачи (2.1) $-$ (2.3) на $G_{+}$ вида

$u_{+} (x, t)= \overset{⌣}{u} (x, t) - \overset{⌣}{u} (0, t) + μ (t) \in C^{2} (G_{+}),$ (3.28)

которое совпадает с решением (3.3) на $G_{+}$ из теоремы 3.1. Выражение (3.28), очевидно, удовлетворяет уравнению (2.1) и граничному режиму (2.3) на $G_{+}$ . Единственные решения краевых задач могут иметь разные виды и формы записи.

Мы убедились в дважды непрерывной дифференцируемости функций (3.2) в $G_{-}$ и (3.3) в $G_{+}$ . В теореме 1 из [5] непрерывность решений на $G_{-}$ и $G_{+}$ и их частных производных до второго порядка включительно на характеристике $g_{2} (x, t)= g_{2} (0,0)$ подробно и строго обоснована в случае модельного телеграфного уравнения (см. ниже уравнение (4.1)). В нашей первой смешанной задаче для общего телеграфного уравнения (2.1) $-$ (2.3) достаточность условий согласования (2.5) для дважды непрерывной дифференцируемости функции $u_{-}$ вида (3.2) в замыкании $\bar{G_{-}}$ множества $G_{-}$ и функции $u_{+}$ вида (3.3) в $G_{+}$ на характеристике $g_{2} (x, t)= g_{2} (0,0)$ можно вывести из достаточности условий согласования для модельного уравнения в теореме 1 из [5]. Во-первых, первые два наших условия согласования из (2.5) и теоремы 1 из [5] совпадают. Во-вторых, для общего телеграфного уравнения (2.1), из левой и правой частей которого вычитаем слагаемые

$a^{- 1} (x, t) a_{t} (x, t) u_{t} (x, t) + a (x, t) a_{x} (x, t) u_{x} (x, t), b (x, t) u_{t} (x, t) + c (x, t) u_{x} (x, t) + q (x, t) u (x, t),$

записываем третье условие согласования из теоремы 1 статьи [5] для правой части

$\tilde{f} (x, t)= f (x, t) - a^{- 1} (x, t) a_{t} (x, t) u_{t} (x, t) - a (x, t) a_{x} (x, t) u_{x} (x, t) -$

$- b (x, t) u_{t} (x, t) - c (x, t) u_{x} (x, t) - q (x, t) u (x, t)$

и получаем третье условие согласования из (2.5) для смешанной задачи (2.1) $-$ (2.3):

${μ^{'}}^{'} (0)= \tilde{S} \equiv \tilde{f} (0,0) + a^{2} (0,0) {φ^{'}}^{'} (0) + a^{- 1} (0,0) a_{t} (0,0) ψ (0) + a (0,0) a_{x} (0,0) φ^{'} (0)=$

$= f (0,0) + a^{2} (0,0) {φ^{'}}^{'} (0) - b (0,0) ψ (0) - c (0,0) φ^{'} (0) - q (0,0) φ (0) \equiv S .$

В доказательстве теоремы 2 статьи [5] единственность классического решения $u \in C^{2} (G_{\infty})$ первой смешанной задачи (2.1) $-$ (2.3) на $G_{\infty}$ обоснована от противного с помощью энергетического неравенства для её обобщенного сильного решения (см. [8]). Более того, в настоящей статье единственность этого классического решения задачи (2.1) $-$ (2.3) также следует из способа получения формул Римана (3.14) и (3.19) также, как в [11, с. 139] (см. замечание 3.2).

Устойчивость классического решения $u_{-}$ вида (3.1) на $G_{-}$ и $u_{+}$ вида (3.3) на $G_{+}$ по $φ$ , $ψ$ , $μ$ , $f$ первой смешанной задачи (2.1) $-$ (2.3) подробно описана в [5]. При любом $0< T < + \infty$ решение (3.2) непрерывно зависит в банаховом пространстве $X^{(1)} = C^{2} (G_{T}^{-})$ от $φ$ , $ψ$ , $f$ в произведении $Y^{(1)}$ банаховых пространств $C^{2} [0, + \infty[$ , $C^{1} [0, + \infty[$ , $\hat{C} (G_{T}^{-})$ , где множества $G_{T}^{-} = G_{T} \cap G_{-}$ , $G_{T} ={(x, t) \in G_{\infty} :0 \leq x < + \infty$ , $0 \leq t \leq T}$ , с нормами из [5]:

$\begin{matrix} ∥ u_{-} (x, t) ∥_{C^{2} (G_{T}^{-})} = \sup_{(x, t) \in G_{T}^{-}} \sum_{0 \leq p + j \leq 2} |\frac{\partial^{p + j} u (x, t)}{\partial^{p} x \partial^{j} t}|, \\ ∥ φ (x) ∥_{C^{2} [0, + \infty[} = \sup_{0 \leq x < + \infty} \sum_{m =0}^{2} |\frac{d^{m} φ (x)}{d x^{m}}|, ∥ ψ (x) ∥_{C^{1} [0, + \infty[} = \sup_{0 \leq x < + \infty} \sum_{m =0}^{1} |\frac{d^{m} ψ (x)}{d x^{m}}|, \\ ∥ f (x, t) ∥_{\hat{C} (G_{T}^{-})} = \sup_{(x, t) \in G_{T}^{-}} (| f (x, t)| + \sum_{i =1}^{2} \sum_{0 \leq p + j \leq 1} |\frac{\partial^{p + j} H_{i} (x, t)}{\partial^{p} x \partial^{j} t}|) . \end{matrix}$ (3.29)

При любом $0< T < + \infty$ решение (3.3) непрерывно зависит в банаховом пространстве $X^{(2)} = C^{2} (G_{T}^{+})$ от $φ$ , $ψ$ , $μ$ , $f$ в произведении $Y^{(2)}$ банаховых пространств $C^{2} [0, ϒ_{T}]$ , $C^{1} [0, ϒ_{T}]$ , $C^{2} [0, T]$ , $\hat{C} (G^{T})$ с нормами из [5]:

$\begin{matrix} ∥ u_{+} (x, t) ∥_{C^{2} (G_{T}^{+})} = \max_{(x, t) \in G_{T}^{+}} \sum_{0 \leq p + j \leq 2} |\frac{\partial^{p + j} u (x, t)}{\partial^{p} x \partial^{j} t}|, ∥ φ (x) ∥_{C^{2} [0, ϒ_{T}]} = \max_{0 \leq x \leq ϒ_{T}} \sum_{m =0}^{2} |\frac{d^{m} φ (x)}{d x^{m}}|, \\ ∥ ψ (x) ∥_{C^{1} [0, ϒ_{T}]} = \max_{0 \leq x \leq ϒ_{T}} \sum_{m =0}^{1} |\frac{d^{m} ψ (x)}{d x^{m}}|, ∥ μ (t) ∥_{C^{2} [0, T]} = \max_{0 \leq t \leq T} \sum_{m =0}^{2} |\frac{d^{m} μ (t)}{d t^{m}}|, \\ ∥ f (x, t) ∥_{\hat{C} (G^{T})} = \max_{(x, t) \in G^{T}} (| f (x, t)| + \sum_{i =1}^{2} \sum_{0 \leq p + j \leq 1} |\frac{\partial^{p + j} H_{i} (x, t)}{\partial^{p} x \partial^{j} t}|) . \end{matrix}$ (3.30)

Здесь

$G_{T}^{+} = G^{T} \cap G_{+}, ϒ_{T} = h_{1} {g_{1} (h_{2} {g_{2} (0,0), T}, T),0},$

$G^{T} ={(x, t) \in G_{\infty} : g_{1} (x, t) \leq g_{1} (h_{2} {g_{2} (0,0), T}, T), 0 \leq t \leq T}.$

Кроме того, устойчивость решения $u \in C^{2} (G_{\infty})$ по данным $φ$ , $ψ$ , $μ$ , $f$ вытекает из его существования и единственности в силу теоремы Банаха о замкнутом графике.

Необходимость требований гладкости (2.4) и условий согласования (2.5) установлена нами перед теоремой 3.1. В [5] для зависящих от $x$ и $t$ функций $f (x, t) \in C (G_{\infty})$ доказана необходимость (обязательность) гладкости (3.1) для дважды непрерывной дифференцируемости интеграла $F (x, t)$ , которым в теореме 3.1 становятся интегралы в третьих слагаемых из (3.2) и (3.3) при функциях $v \equiv a \equiv 1$ на $G_{\infty}$ . Дважды непрерывная дифференцируемость интегралов из (3.2) и (3.3), содержащих правую часть $f (x, t) \in C (G_{\infty})$ не зависит от непрерывно дифференцируемых решений $v \in C^{1} (G_{\infty} \cap Δ M P Q)$ задач Гурса (3.10), (3.13) и (3.20), (3.21) и от дважды непрерывно дифференцируемого коэффициента $a \in C^{2} (G_{\infty})$ , $a (x, t) \geq a_{0} >0$ , $(x, t) \in G_{\infty}$ , и функций $g_{i}$ , $h_{i}$ , $h^{(i)}$ , $i =1,2$ (см. ниже замечание 3.1). Доказательство того, что для функций $f (x, t) \in C (G_{\infty})$ требования (3.1) гарантируют дважды непрерывную дифференцируемость интеграла $F \in C^{2} (G_{\infty})$ имеется в [5]. Поэтому необходимость гладкости (3.1) на непрерывные $f \in C (G_{\infty})$ следует из дважды непрерывной дифференцируемости функции $F \in C^{2} (G_{\infty})$ (см. [10, 15, 16]).

Для непрерывной правой части $f \in C [0, + \infty[$ , зависящей только от $x$ или $t$ , интегральные требования гладкости (3.1) автоматически выполняются (см. [10, 15, 16]).

Следствие 3.1. Если непрерывная правая часть $f$ зависит только от $x$ или $t$ , то утверждение теоремы 3.1 справедливо без требований гладкости (3.1).

Исследования автора минимальной гладкости правой части $f$ модельного телеграфного уравнения (см. ниже уравнение (4.1)) для дважды непрерывной дифференцируемости его частного решения $F (x, t)$ в [15, 16] указывают на то, что требования гладкости (3.1) на $G_{\infty}$ выполняются для непрерывно дифференцируемых $f \in C^{1} (G_{\infty})$ и даже тех непрерывных $f (x, t) \in C (G_{\infty})$ , у которых частные производные интегралов $\partial H_{i} (x, t)/ \partial x$ по $x$ или $\partial H_{i} (x, t)/ \partial t$ по $t$ , $i =1,2$ , из (3.1) непрерывны на $G_{\infty}$ (см. следствие 3.2). Поэтому такая же справедливость гладкости (3.1) распространяется на коэффициент $a (x, t) \geq a_{0} >0$ , $(x, t) \in G_{\infty}$ , $a \in C^{2} (G_{\infty})$ , функции $g_{i}$ , $h_{i}$ , $h^{(i)} \in C^{2} (G_{\infty})$ , $i =1,2$ , и функцию Римана $v (s, τ) \in C^{2} (G_{\infty})$ .

Замечание 3.1. В теореме 3.1 для непрерывной правой части $f \in C (G_{\infty})$ гладкость (3.1) равносильна гладкости (см. [5, 15, 16]):

$\int_{0}^{t} f (| h_{i} {g_{i} (x, t), τ}|, τ) d τ \in C^{1} (G_{\infty}), i =1,2.$ (3.31)

Следствие 3.2. В теореме 3.1 принадлежность интегралов (3.1) и интегралов (3.31) из предыдущего замечания 3.1 множеству $C^{1} (G_{\infty})$ равносильна их принадлежности множеству $C^{(0,1)} (G_{\infty})$ или множеству $C^{(1,0)} (G_{\infty})$ , где $C^{(0,1)} (G_{\infty})$ ( $C^{(1,0)} (G_{\infty})$ ) $—$ множества непрерывных (непрерывно дифференцируемых) по $x$ и непрерывно дифференцируемых (непрерывных) по $t$ функций в первой четверти плоскости $G_{\infty}$ (см. [15, 16]).

Замечание 3.2. Используя соответственно чётность и нечётность по $x$ продолжений коэффициентов $a \in C^{2} (G_{\infty})$ , $b$ , $c$ , $q \in C^{1} (G_{\infty})$ уравнения (2.1) и дополнительные предположения $a_{x} (0, t)=0$ , $b_{x} (0, t)=0$ , $c (0, t)=0$ , $q_{x} (0, t)=0$ , $t \geq 0$ , можно аналогичными рассуждениями из доказательства теоремы 3.1 показать $\hat{a} \in C^{2} (\tilde{G})$ , $\hat{b} \in C^{1} (\tilde{G})$ , $\tilde{c} \in C^{1} (\tilde{G})$ , $\hat{q} \in C^{1} (\tilde{G})$ . При таких коэффициентах вспомогательная задача Коши (3.16), (3.17) имеет единственное классическое решение $\overset{⌣}{u} \in C^{2} (\tilde{G})$ и задача Гурса (3.20), (3.21) $—$ функцию Римана $\hat{v} \in C^{2} (\tilde{G})$ . Такая гладкость функций $\overset{⌣}{u}$ , $\hat{v}$ избыточна для решения $u \in C^{2} (G_{\infty})$ задачи (2.1) $-$ (2.3) на $G_{\infty}$ .

4. Модельная первая смешанная задача. Из теоремы 3.1 вывести классическое решение и критерий корректности первой смешанной задачи для модельного телеграфного уравнения:

$\tilde{L} u (x, t) \equiv u_{t t} (x, t) - a^{2} (x, t) u_{x x} (x, t) - a^{- 1} (x, t) a_{t} (x, t) u_{t} (x, t) -$

$- a (x, t) a_{x} (x, t) u_{x} (x, t)= \tilde{f} (x, t), (x, t) \in {\dot{G}}_{\infty},$ (4.1)

при начальных условиях (2.2) и граничном режиме (2.3).

Так же, как и выше, из постановки смешанной задачи (4.1), (2.2), (2.3) и определения 2.1 следуют необходимые условия гладкости (2.4) исходных данных и условия согласования:

$\begin{matrix} φ (0)= μ (0), ψ (0)= μ^{'} (0), \\ \tilde{S} \equiv \tilde{f} (0,0) + a^{2} (0,0) {φ^{'}}^{'} (0) + a^{- 1} (0,0) a_{t} (0,0) ψ (0) + a (0,0) a_{x} (0,0) φ^{'} (0)= {μ^{'}}^{'} (0). \end{matrix}$ (4.2)

Найдём формулы классического решения и критерий корректности по Адамару первой смешанной задачи (4.1), (2.2), (2.3) из формул Римана (3.2), (3.3) и критерия корректности первой смешанной задачи (2.1) $-$ (2.3), полученных нами выше в теореме 3.1.

Теорема 4.1 [5]. Пусть коэффициент $a (x, t) \geq a_{0} >0$ , $(x, t) \in G_{\infty}$ , $a \in C^{2} (G_{\infty})$ . Первая смешанная задача (4.1), (2.2), (2.3) в ${\dot{G}}_{\infty}$ имеет единственное и устойчивое по $φ$ , $ψ$ , $\tilde{f}$ , $μ$ классическое решение $u \in C^{2} (G_{\infty})$ тогда и только тогда, когда выполняются требования гладкости (2.4), (3.1) при $f = \tilde{f}$ и условия согласования (4.2). Этим классическим решением задачи (4.1), (2.2), (2.3) в ${\dot{G}}_{\infty}$ является функция

${\hat{u}}_{-} (x, t)= \frac{φ (h_{2} {g_{2} (x, t),0}) + φ (h_{1} {g_{1} (x, t),0})}{2} +$

$+ \frac{1}{2} \int_{h_{2} {g_{2} (x, t),0}}^{h_{1} {g_{1} (x, t),0}} \frac{ψ (ν)}{a (ν,0)} d ν + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}} \frac{\tilde{f} (s, τ)}{a (s, τ)} d s, (x, t) \in G_{-},$ (4.3)

${\hat{u}}_{+} (x, t)= \frac{φ (h_{1} {g_{1} (x, t),0}) - φ (h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]),0})}{2} +$

$+ \frac{1}{2} \int_{h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]),0}}^{h_{1} {g_{1} (x, t),0}} \frac{ψ (ν)}{a (ν,0)} d ν + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}} \frac{\tilde{f} (| s |, τ)}{a (| s |, τ)} d s + μ (h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]) +$

$+ \frac{1}{2} \int_{0}^{h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]} d τ \int_{h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]), τ}}^{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}} \frac{\tilde{f} (| s |, τ)}{a (| s |, τ)} d s, (x, t) \in G_{+} .$ (4.4)

Доказательство. Сначала выведем формулы (4.3), (4.4) формального решения первой смешанной задачи (4.1), (2.2), (2.3) на множествах $G_{-}$ и $G_{+}$ из формул Римана (3.2), (3.3).

1 Множество $G_{-}$ . В случае модельного телеграфного уравнения (4.1) решением $\hat{v} \in C^{2} (G_{\infty})$ , $C (\tilde{G})$ , $C^{2} (\tilde{G} \ G_{\infty})$ соответствующих задач Гурса (3.10), (3.13) на $G_{-}$ и (3.20), (3.21) на $G_{+}$ из теоремы 3.1 служит функция Римана из [9]:

$\hat{v} (s, τ)= v (| s |, τ)= \hat{v} (s, τ; x, t)= \frac{a (| x |, t)}{a (| s |, τ)}, (s, τ) \in \tilde{G} .$

В этом также можно убедиться подстановкой этой функции Римана в телеграфные уравнения (3.10), (3.20)) и условия Гурса (3.13), (3.21) при коэффициентах $\hat{b} (s, τ)= - {\hat{a}}^{- 1} (s, τ) {\hat{a}}_{τ} (s, τ)$ , $\tilde{c} (s, τ)= - \hat{a} (s, τ) {\hat{a}}_{s} (s, τ)$ и $\hat{q} (s, τ)=0$ . Других функций Римана этих задач Гурса не существует, так как решение каждой задачи Гурса единственно и задача Гурса (3.10), (3.13) на $G_{-}$ $—$ частный случай задачи Гурса (3.20), (3.21) на верхней полуплоскости $\tilde{G}$ .

Подставляем функцию Римана $v (s, τ)= a (| x |, t)/ a (| s |, τ)$ в решение (3.2):

$\frac{(a u v)(h_{2} {g_{2} (x, t),0},0) + (a u v)(h_{1} {g_{1} (x, t),0},0)}{2 a (x, t)} =$

$= \frac{1}{2 a (x, t)} [a (x, t) \frac{a (s, τ)}{a (s, τ)} u (s, τ {)|}_{τ =0}^{s = h_{2} {g_{2} (x, t),0}} + a (x, t) \frac{a (s, τ)}{a (s, τ)} u (s, τ {)|}_{τ =0}^{s = h_{1} {g_{1} (x, t),0}}] =$

$= \frac{1}{2} [u (s, τ {)|}_{τ =0}^{s = h_{2} {g_{2} (x, t),0}} + u (s, τ {)|}_{τ =0}^{s = h_{1} {g_{1} (x, t),0}}] = \frac{φ (h_{2} {g_{2} (x, t),0}) + φ (h_{1} {g_{1} (x, t),0})}{2},$ (4.5)

$\frac{1}{2 a (x, t)} \int_{h_{2} {g_{2} (x, t),0}}^{h_{1} {g_{1} (x, t),0}} ψ (s) v (s,0) d s = \frac{1}{2 a (x, t)} \int_{h_{2} {g_{2} (x, t),0}}^{h_{1} {g_{1} (x, t),0}} ψ (s) \frac{a (x, t)}{a (s,0)} d s = \frac{1}{2} \int_{h_{2} {g_{2} (x, t),0}}^{h_{1} {g_{1} (x, t),0}} \frac{ψ (s)}{a (s,0)} d s,$

$\frac{- 1}{2 a (x, t)} \int_{h_{2} {g_{2} (x, t),0}}^{h_{1} {g_{1} (x, t),0}} [φ (s) v_{τ} (s,0) - b (s,0) φ (s) v (s,0)] d s =$

$= \frac{1}{2 a (x, t)} \int_{h_{2} {g_{2} (x, t),0}}^{h_{1} {g_{1} (x, t),0}} φ (s)[\frac{a (x, t) a_{τ} (s,0)}{a^{2} (s,0)} - \frac{a^{- 1} (s,0) a_{τ} (s,0) a (x, t)}{a (s,0)}] d s =0,$

$\frac{1}{2 a (x, t)} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}} \tilde{f} (s, τ) v (s, τ) d s = \frac{1}{2 a (x, t)} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}} \tilde{f} (s, τ) \frac{a (x, t)}{a (s, τ)} d s =$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}} \frac{\tilde{f} (s, τ)}{a (s, τ)} d s, (x, t) \in G_{-} .$

Эти равенства указывают на то, что решение (3.2) становится решением (4.3) на $G_{-}$ .

2. Множество $G_{+}$ . Вывод первых трёх слагаемых решения (4.4) из формулы Римана (3.3) аналогичен равенствам (4.5). Согласно нашему выводу формулы Римана (3.3) классического решения $u_{+}$ задачи (2.1) $-$ (2.3) на $G_{+}$ его последний интеграл, равный значению предпоследнего двойного интеграла по $Δ M P G$ при $x =0$ , имеет величину

$U (x, t) \equiv - \frac{1}{2 a (0, t)} \int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (0, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (0, t), τ}} \tilde{f} (| s |, τ) v (| s |, τ; 0, t) d s =$

$= - \frac{1}{2 a (0, t)} (\int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}} \tilde{f} (| s |, τ) v (| s |, τ; x, t) d s) |_{x =0}, (x, t) \in G_{+},$

так как в (3.3) функция $\overset{⌣}{f} = \tilde{f}$ , поскольку в [5] решение задачи (4.1), (2.2), (2.3) получено методом характеристик, а не нашим методом компенсации правой частью уравнения. Подставляем функцию $v (| s |, τ)= a (| x |, t)/ a (| s |, τ)$ и меняем порядок интегрирования:

$- \frac{a (0, t)}{2 a (0, t)} (\int_{0}^{t} d τ \int_{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}}^{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}} \frac{\tilde{f} (| s |, τ)}{a (| s |, τ)} d s) |_{x =0} = \frac{1}{2} (\int_{0}^{t} d τ \int_{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}}^{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}} \frac{\tilde{f} (| s |, τ)}{a (| s |, τ)} d s) |_{x =0} .$

Сначала во внешнем повторном интеграле делаем замену переменной интегрирования

$\tilde{τ} = h^{(2)} [0, g_{2} (x, τ)], τ \geq 0,$ (4.6)

и приходим к повторному двойному интегралу

$U (x, t) \equiv \frac{1}{2} \int_{0}^{h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]} d \tilde{τ} (\int_{h_{1} {g_{1} (x, t), τ}}^{h_{2} {g_{2} (x, t), τ}} \frac{\tilde{f} (| s |, τ)}{a (| s |, τ)} d s) |_{x =0},$ (4.7)

так как внешний нижний предел интегрирования равен $\tilde{τ} = h^{(2)} [0, g_{2} (x, τ {)]|}_{x =0, τ =0} = τ |_{τ =0} =0$ по второму тождеству обращения из (2.8) при $i =2$ , внешний верхний предел интегрирования равен $\tilde{τ} = h^{(2)} [0, g_{2} (x, τ {)]|}_{τ = t} = h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]$ и из тождества $h^{(2)} [0, g_{2} (x, τ {)]|}_{x =0} = τ$ , $τ \geq 0$ , в (2.8) при $i =2$ следует равенство

$d \tilde{τ} = \frac{\partial h^{(2)} [0, g_{2} (x, τ)]}{\partial τ} |_{x =0} d τ = d τ .$

Здесь производная по $τ$ и след при $x =0$ коммутируют. В функции $h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]$ уже $x =0$ , потому что к функции $y_{2} = g_{2} (x, t)$ обратной функцией при $x =0$ является функция

$t = h^{(2)} [x, y_{2} {]|}_{x =0} = h^{(2)} [0, y_{2}]= h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)], t \geq 0.$

Итак, после замены (4.6) в интеграле $U (x, t)$ верхний предел интегрирования $t$ внешнего повторного интеграла при $x =0$ стал равным $h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]$ в (4.7). Поэтому во внутреннем повторном интеграле из $U (x, t)$ замена (4.6) при $x =0$ равносильна замене $t$ на $h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]$ . Кроме того, во внутреннем повторном интеграле из (4.7) замена (4.6) при $x =0$ равносильна замене $\tilde{τ} = h^{(2)} [0, g_{2} (x, τ {)]|}_{x =0} = τ$ , $τ \geq 0$ , по второй формуле обращения из (2.8) при $i =2$ . В результате этих замен находим

$U (x, t) \equiv \frac{1}{2} \int_{0}^{h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]} d \tilde{τ} \int_{h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]), \tilde{τ}}}^{h_{2} {g_{2} (x, t), \tilde{τ}}} \frac{\tilde{f} (| s |, \tilde{τ})}{a (| s |, \tilde{τ})} d s, (x, t) \in G_{+},$ (4.8)

так как по первой формуле обращения из (2.8) при $i =2$ пределы интегрирования равны

$h_{2} {g_{2} (0, t), τ}= h_{2} {g_{2} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]), \tilde{τ}}= h_{2} {g_{2} (x, t), \tilde{τ}},$

$h_{1} {g_{1} (0, t), τ}= h_{1} {g_{1} (0, h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]), \tilde{τ}}.$

В граничном данном $μ (t)$ формулы (3.3) можно тоже заменить $t$ на $h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)]$ , т.е. $μ (t)$ на $μ (h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)])$ . Граничное данное $μ (h^{(2)} [0, g_{2} (x, t)])$ для $μ (t) \in C^{2} [0, + \infty[$ и интеграл (4.8) служат классическими решениями однородного модельного телеграфного уравнения (4.1) на $G_{+}$ , так как они имеют вид слагаемого $F_{2} (g_{2} (x, t))$ для всех $F_{2} \in C^{2} (ℝ)$ , общего интеграла уравнения (4.1) при $\tilde{f} =0$ на $G_{\infty}$ из [5, 15, 16].

Из теоремы 3.1 следует дважды непрерывная дифференцируемость найденных из общих формул Римана (3.2) и (3.3) решений (4.3) на $G_{-}$ , (4.4) на $G_{+}$ и (4.3), (4.4) на критической характеристике $g_{2} (x, t)= g_{2} (0,0)$ для первой смешанной задачи (4.1), (2.2), (2.3), а также критерий её корректности. Эта гладкость решений (4.3), (4.4) и критерий корректности задачи (4.1), (2.2), (2.3) подробно и конструктивно исследованы в [5]. Теорема доказана.

Замечание 4.1. При доказательстве теорем 1 и 2 в [5] была показана только достаточность требований гладкости (3.1). Их необходимость также подтверждают работы автора [15, 16]. В [1] нет формулы (4.4) решения задачи (4.1), (2.2), (2.3) на $G_{+}$ .

Следствие 4.1. Если непрерывная правая часть $\tilde{f}$ зависит только от $x$ или $t$ , то утверждение теоремы 4.1 справедливо без требований гладкости (3.1).

Для непрерывной правой части $\tilde{f} \in C [0, + \infty[$ , зависящей только от $x$ или $t$ , интегральные требования гладкости (3.1) автоматически выполняются (см. [10, 15, 16]).

Замечание 4.2. В теореме 4.1, где $a (x, t) \geq a_{0} >0$ , $(x, t) \in G_{\infty}$ , $a \in C^{2} (G_{\infty})$ , для зависящей от $x$ и $t$ и непрерывной правой части $\tilde{f} \in C (G_{\infty})$ гладкость (3.1) равносильна гладкости (3.31) из замечания 3.1 (см. [5, 10, 15, 16]).

Следствие 4.2. В теореме 4.1 принадлежность интегралов (3.1) и равносильных интегралов (3.31)( множеству $C^{1} (G_{\infty})$ эквивалентна их принадлежности множеству $C^{(0,1)} (G_{\infty})$ или множеству $C^{(1,0)} (G_{\infty})$ , где $C^{(0,1)} (G_{\infty})$ ( $C^{(1,0)} (G_{\infty})$ ) $—$ множества непрерывных (непрерывно дифференцируемых) по $x$ и непрерывно дифференцируемых (непрерывных) по $t$ функций в первой четверти плоскости $G_{\infty}$ ([10, 15, 16]).

5. Заключение. Получены формулы Римана (3.2), (3.3) единственного и устойчивого классического решения $u \in C^{2} (G_{\infty})$ и критерий (2.4), (2.5), (3.31) корректности по Адамару первой смешанной задачи (2.1) $-$ (2.3) для общего линейного неоднородного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости. Эти формулы Римана содержат неявные функции характеристик уравнения (2.1). Из формул Римана (3.2), (3.3) и критерия корректности (2.4), (2.5), (3.31) выведены уже известные формулы классического решения (4.3), (4.4) и критерий корректности (2.4), (3.31), (4.2) первой смешанной задачи (4.1), (2.2), (2.3) для неоднородного модельного телеграфного уравнения со специальными переменными коэффициентами в первой четверти плоскости, которые ранее были установлены автором в [5]. Последние результаты служат подтверждением справедливости полученных формул Римана (3.2), (3.3) и критерия корректности (2.4), (2.5), (3.31) настоящей работы.

Об авторах

Федор Егорович Ломовцев

Белорусский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: lomovcev@bsu.by
Белоруссия, Минск

Список литературы

Барановская С. Н. О классическом решении первой смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения/ Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. — Минск: БГУ, 1991.
Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976.
Корнев В. В. Резольвентный подход к методу Фурье в смешанной задаче для неоднородного волнового уравнения// Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Информ. — 2016. — 16, № 4. — С. 403–412.
Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973.
Ломовцев Ф. Е. Первая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на полупрямой// Ж. Белорус. гос. ун-та. Мат. Информ. — 2021. — № 1. — С. 18–38.
Ломовцев Ф. Е. Метод вспомогательных смешанных задач для полуограниченной струны// Тез. докл. Междунар. мат. конф. ≪VI Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям≫ (Минск, 7–10 декабря 2015 г.). — Минск: Ин-т мат. НАН Беларуси, 2015. — 2. — С. 74–75.
Ломовцев Ф. Е. Глобальная теорема корректности по Адамару первой смешанной задачи для волнового уравнения в полуполосе плоскости// Весн. Гродз. дзярж. ˘ун-та iм. Я. Купалы. Сер. 2. — 2021. —11, № 1. — С. 68–82.
Ломовцев Ф. Е. О необходимых и достаточных условиях однозначной разрешимости задачи Коши для гиперболических дифференциальных уравнений второго порядка с переменной областью определения операторных коэффициентов// Диффер. уравн. — 1992. — 28, № 5. — С. 873–886.
Ломовцев Ф. Е. Задача Гурса для сопряжённого модельного телеграфного уравнения со скоростью a(x, t) в верхней полуплоскости// Вестн. Полоцк. гос. ун-та. Сер. С. Фундам. науки. — 2022. — № 4. — С. 92–102.
Новиков Е. Н. Смешанные задачи для уравнения вынужденных колебаний ограниченной струны при нестационарных граничных условиях с первой и второй косыми производными. — Минск: Ин-т мат. НАН Беларуси, 2017.
Тихонов А. Н. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 2004.
Хромов А. П. Классическое и обобщенное решения смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения// Докл. РАН. — 2019. — 484, № 1. — С. 18–20.
Хромов А. П. Необходимые и достаточные условия существования классического решения смешанной задачи для однородного волнового уравнения в случае суммируемого потенциала// Диффер. уравн. — 2019. — 55, № 5. — С. 717–731.
Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных / Препринт. — Киев: Ин-т мат. АН УССР, 1990.
Lomovtsev F. E. Conclusion of the smoothness criterion for the right-hand side of the model telegraph equation with the rate a(x, t) by the correction method// Мат. Междунар. конф. ≪XXXIV Воронежская весенняя математическая школа ≪Понтрягинские чтения-XXХII≫ (Воронеж, 3-9 мая 2021 г.). — Воронеж: Изд. дом ВГУ, 2021. — С. 284–287.
Lomovtsev F. Е. The smoothness criterion for the classical solution to inhomogeneous model telegraph equation at the rate a(x, t) on the half-line// Тр. 10 Междунар. науч. семин. AMADE-2021 (Минск, 13–17 сентября 2021Ёг.). — Минск: БГУ, 2022. — С. 43–53.
Lomovtsev F. E. Global correctness theorem of the first mixed problem for the model telegraph equation at the rate a(x, t) in the half-strip of the plane// Весн. Гродз. дзярж. ˘ун-та iм. Я. Купалы. Сер. 2. — 2021. — 11, № 3. — С. 13–26.
Lomovtsev F. E. Global correctness theorem to the first mixed problem for the general telegraph equation with variable coefficients on the segment// Пробл. физ. мат. техн. — 2022. — № 1 (50). — С. 62–73.
Lomovtsev F. E. Riemann formula of the classical solution to the first mixed problem for the general telegraph equation with variable coefficients on the half-line// Тез. докл. Междунар. мат. конф. ≪VII Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям≫ (Минск, 1-4 июня 2021 г.). — Минск: Ин-т мат. НАН Беларуси, 2021. — С. 201–203.
Lomovtsev F. E. Generalized Riemann formula of the classical solution to the Cauchy problem for the general telegraph equation with variable coefficients// Мат. Междунар. конф. ≪XXXIV Воронежская весенняя математическая школа ≪Понтрягинские чтения-XXХII≫ (Воронеж, 3-9 мая 2021 г.). — Воронеж: Изд. дом ВГУ, 2021. — С. 288–289.
Schauder J. Über lineare elliptiche Differentialgleichungen zweiter Ordnung// Math. Z. — 1934. — 38. — P. 257–282.
Schwartz L. Theorie des distributions. — Paris: Hermann, 1950–1951.

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Криволинейный характеристический треугольник в .

Скачать (583KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Криволинейные характеристический и критический треугольники и в .

Скачать (733KB)

Метаданные

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация