О преобразовании, двойственном к преобразованию Радона—Киприянова

Полный текст

1. Некоторые представления преобразования Радона$–$ Киприянова. В работе И. А. Киприянова и Л. Н. Ляхова [5] было введено <<специальное>> преобразование Радона, которое в дальнейшем получило название преобразование Радона$–$ Киприянова (обозначение $K_{\gamma }$ ). Данная работа посвящена нахождению преобразования, двойственного (сопряженного) к $K_{\gamma }$ $—$ преобразованию в одномерном и многомерном случаях.

1.1. Определение преобразования Радона$–$ Киприянова $K_{\gamma }$. В евклидовом пространстве точек ${ℝ}_n$ рассмотрим полупространство

${ℝ}_n^{+}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{x}_1\mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>.}$

Функции $f\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определенные на множестве ${ℝ}_n^{+}$, для которых возможно четное продолжение по переменной $x_1$ в ${ℝ}_n$, сохраняющее класс своей принадлежности, назовем $x_1$ -четными по Киприянову. В случае непрерывно дифференцируемых функций $x_1$ -четность по Киприянову означает, что

$\frac{{\partial }^{2m-1}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_1^{2m-1}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{x_1\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0}$

для любого натурального числа $m$ (см. [4, с.~21]).

Через $S_{ev}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_n^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначим подпространство пространства Л. Шварца основных функций, состоящее из $x_1$ -четных по Киприянову функций.

Следуя [3], будем использовать следующее определение дельта-функции, сосредоточенной на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерной поверхности $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ в ${ℝ}_n^{+}$:

${\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\Gamma \mathrm{,}$

где $d\Gamma$ $—$ элемент поверхности $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$.

Определение 1. Преобразованием Радона$–$ Киприянова функции $f$, следуя [5], будем называть следующую конструкцию:

$K_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo>;</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Pi }_{x_1}^{\gamma }\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p-⟨x\mathrm{,}\xi ⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_1^{\gamma }dx\mathrm{,}\gamma \mathrm{<mo>></mo>0,}$ (1)

где $⟨x\mathrm{,}\xi ⟩$ $—$ скалярное произведение $n$ -мерных векторов, и мы полагаем, что $\xi$ $—$ единичный вектор нормали к плоскости (при этом $\mathrm{<mo>|</mo>}p\mathrm{<mo>|</mo>}$ $—$ расстояние от начала координат до плоскости $⟨x\mathrm{,}\xi ⟩\mathrm{<mo>=</mo>}p$ ), а символ ${\Pi }_{x_1}^{\gamma }$ обозначает действие оператора Пуассона (см. [6]) по переменной $x_1$:

${\Pi }_{x_1}^{\gamma }g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\Gamma \left(\frac{\gamma +1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{\gamma }{2}\right)\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\cos {\alpha }_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{\displaystyle \sin }}^{\gamma -1}\alpha d\alpha \mathrm{.}$ (2)

1.2. Представление $K_{\gamma }$ -преобразования в евклидовом пространстве вращения вокруг весовой оси координат. Раскрывая действие оператора Пуассона, получим

$K_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo>;</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p-⟨\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\cos \alpha \mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1\mathrm{,}{\xi }_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{\displaystyle \sin }}^{\gamma -1}\alpha d\alpha x_1^{\gamma }dx\mathrm{,}$

где

$C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\Gamma \left(\frac{\gamma +1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{\gamma }{2}\right)\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)}\mathrm{.}$

Рассмотрим евклидово полупространство ${ℝ}_{n+1}^{+}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{z}_2\mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>}$, которое получается из исходного полупространства ${ℝ}_n^{+}$ вращением $x_1\to \sqrt{z_1^2+z_2^2}$ на угол $\pi$. Следуя [8], функции $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определенной на множестве ${ℝ}_n^{+}$, поставим в соответствие функцию от вращения

$\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sqrt{z_1^2+z_2^2}\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $z\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}_{n+1}^{+}$, $x^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Функция $\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определена в области ${ℝ}_{n+1}^{+}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}z\mathrm{<mo>:</mo>}{z}_2\mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>}$. Введем антиполярные координаты

$z_1\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_1\cos \alpha \mathrm{,}{z}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_1\sin \alpha \mathrm{<mo>;</mo>}$

так как $\mathrm{0<mo><</mo>}\alpha \mathrm{<mo><</mo>}\pi$ и $x_1\mathrm{<mo>></mo>0}$, то $-\infty \mathrm{<mo><</mo>}{z}_1\mathrm{<mo><</mo>}+\infty$, $\mathrm{0<mo><</mo>}{z}_2\mathrm{<mo><</mo>}+\infty$. При этом

$x_1^{\gamma -1}{{\displaystyle \sin }}^{\gamma -1}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}{z}_2^{\gamma -1}\mathrm{,}{x}_{1}d{x}_{1}d\alpha d{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}dz\mathrm{.}$

Следовательно,

$K_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo>;</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_{n+1}^{+}}{\int }}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p-⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}_2^{\gamma -1}dz\mathrm{.}$ (3)

Здесь $⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩$ $—$ скалярное произведение $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерных векторов $z\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\tilde{\xi }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1\mathrm{,0,}{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где ${\xi }^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{\xi }_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_n$, а $p\mathrm{<mo>=</mo>}⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩$ $—$ уравнение гиперплоскости, параллельной координатной оси $O{z}_2$.

Представление (3) есть представление преобразования Радона$–$ Киприянова в виде специального весового преобразования Радона.

Воспользовавшись определением $\delta$ -функции, сосредоточенной на гиперплоскости $p\mathrm{<mo>=</mo>}⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩$, получим

$K_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo>;</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{{\mathrm{<mo>\{</mo>}p\mathrm{<mo>=</mo>}⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩\mathrm{<mo>\}</mo>}}^{+}}{\int }}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}_2^{\gamma -1}d\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (4)

где ${\mathrm{<mo>\{</mo>}⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩\mathrm{<mo>=</mo>}p\mathrm{<mo>\}</mo>}}^{+}$ $—$ часть гиперплоскости в ${ℝ}_{n+1}^{+}$, определяемая неравенством $z_2\mathrm{<mo>></mo>0}$, $d\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ элемент этой гиперплоскости. Как обычно (см. [1,2,11]), ориентация гиперплоскости ${\mathrm{<mo>\{</mo>}⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩\mathrm{<mo>=</mo>}p\mathrm{<mo>\}</mo>}}^{+}$ выбрана так, чтобы она являлась границей полупространства ${\mathrm{<mo>\{</mo>}⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩\mathrm{<mo><</mo>}p\mathrm{<mo>\}</mo>}}^{+}$.

1.3. Представление $K_{\gamma }$ -преобразования в локальных координатах касательной плоскости. Важно отметить, что указанное выше вращение евклидова пространства вокруг оси $O{x}_1$ сводит преобразование Радона$–$ Киприянова (1) к весовому преобразованию Радона (3) в ${ℝ}_{n+1}^{+}$, представляющему собой интеграл по гиперплоскости параллельной координатной оси $O{z}_2$.

Принадлежность оси координат $O{z}_2$ гиперплоскости $⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩\mathrm{<mo>=</mo>0}$ порождает локальную систему координат, в которой одной из координатных осей является ось $O{z}_2$. Другие оси декартовой системы координат на этой плоскости выберем лежащими в линии пересечения гиперплоскости $z_2\mathrm{<mo>=</mo>0}$ с гиперплоскостью $⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Этот набор координатных осей обозначим $y^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Ясно, что гиперплоскость интегрирования является линейным многообразием размерности $n$ в евклидовом пространстве ${ℝ}_{n+1}^{+}$. Точки гиперплоскости интегрирования в ${ℝ}_{n+1}^{+}$ имеют следующие локальные координаты: $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_2\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $y^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а $\mathrm{<mo>|</mo>}p\mathrm{<mo>|</mo>}$ $—$ расстояние от гиперплоскости до начала координат.

Множество касательных плоскостей к сфере, проходящих через ее центр, называется касательным расслоением сферы. Каждая плоскость касательного расслоения перпендикулярна соответствующему вектору нормали $\tilde{\xi }$, лежащему в координатной гиперплоскости $z_2\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Мы фиксируем нормаль $\xi$ исходной гиперплоскости интегрирования в определении преобразования Радона$–$ Киприянова (1) и (4) и обозначаем исходную гиперплоскость интегрирования символом ${\xi }^{\perp }$. В евклидовом полупространстве <<вращения>> ${ℝ}_{n+1}^{+}$ вектором нормали к плоскости интегрирования является вектор $\tilde{\xi }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1\mathrm{,0,}{\xi }_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1\mathrm{,0,}{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В конструкции (4) эту гиперплоскость в ${ℝ}_{n+1}^{+}$ обозначим тем же символом ${\xi }^{\perp }$.

Итак, имеем следующую систему локальных координат в евклидовом полупространстве ${ℝ}_{n+1}^{+}$:

$y\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_2\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{y}_{\perp }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_2\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tilde{\xi }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,}\dots \mathrm{,0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tilde{\xi }\cdot p\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (5)

Используя эти обозначения переменных, формулы (3) и (4) можем записать в виде интеграла по плоскости ${\xi }^{\perp }$, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору $\tilde{\xi }$, в виде

$K_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{{\xi }^{\perp }}{\int }}\tilde{f}\left(\tilde{\xi }p+y_{\perp }\right)z_2^{\gamma -1}d\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_{\perp }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (6)

2. Основные результаты. Оператор, двойственный $K_{\gamma }$, получен интегрированием по ${ℝ}_1^{+}$ по переменной $p$ (теорема 1) и интегрированием по евклидову полупространству ${ℝ}_n^{+}$ (теорема 2). Последнее получено дополнительным интегрированием по поверхности сферы в ${ℝ}_n^{+}$ при условии, что $p$ $—$ радиальная переменная. Двойственное преобразование $K_{\gamma \mathrm{,}\xi }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}$ определено в следующем утверждении.

Теорема 1. Для функций $f\in S_{ev}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_n^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $g\in S_{ev}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_1^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ справедливо равенство

${\displaystyle \underset{{ℝ}_1}{\int }}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dp\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{\xi \mathrm{,}\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_1^{\gamma }d{x}_{1}d{x}^{\prime }\mathrm{,}$

где

$K_{\gamma \mathrm{,}\xi }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Pi }_{x_1}^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}⟨\xi \mathrm{,}x⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (7)

Равенство (7) равносильно равенству

$K_{\gamma \mathrm{,}\xi }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Pi }_{{\xi }_1}^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}⟨\xi \mathrm{,}x⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Следствие 1. Пусть $f\in S_{ev}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_n^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $g\in S_{ev}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_1^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда

${\displaystyle \underset{S_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}{\displaystyle \underset{{ℝ}_1}{\int }}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dpdS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_1^{\gamma }d{x}_{1}dd{x}^{\prime }\mathrm{,}$

где

$K_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{S_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}{\Pi }_{x_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}⟨\xi \mathrm{,}x⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (8)

Равенство (8) эквивалентно равенству

$K_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{S_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}{\Pi }_{{\xi }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}⟨\xi \mathrm{,}x⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (9)

Теорема 2. Для функции $f$ и $g$, принадлежащих пространству основных функций $S_{ev}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_n^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, справедлива следующая формула:

$K_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo>*</mo>}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo>*</mo>}f{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{.}$ (10)

3. Оператор, двойственный к преобразованию Радона$–$Киприянова.

3.1. Доказательство теоремы 1. Пусть $g\mathrm{<mo>=</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in S_{ev}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_1^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Рассмотрим следующую линейную форму от произведения преобразования Радона$–$ Киприянова на функцию $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in S_{ev}$, $p\in {ℝ}_1^{+}$:

${\displaystyle \underset{{ℝ}_1^{+}}{\int }}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dp\mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_1^{+}}{\int }}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dp{\displaystyle \underset{{\xi }^{\perp }}{\int }}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{\xi }p+y_{\perp }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}_2^{\gamma -1}d\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_{\perp }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$ (11)

внутренний интеграл записан в локальной системе координат (5). Здесь $\tilde{\xi }p+y_{\perp }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_2\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}y$ $—$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерный вектор. Замена переменных

$z\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{\xi }p+y_{\perp }\Rightarrow p\mathrm{<mo>=</mo>}⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩\mathrm{,}$

имеет якобиан, равный $\frac{D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_{\perp }+p\tilde{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>1}$ ), и приводит выражение (11) к виду

${\displaystyle \underset{{ℝ}_1^{+}}{\int }}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dp\mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_1^{+}}{\int }}{\displaystyle \underset{{\xi }^{\perp }}{\int }}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}_2^{\gamma -1}d\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_{\perp }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dp\mathrm{.}$ (12)

Учитывая, что гиперплоскость ${\xi }^{\perp }$ определена в евклидовом полупространстве $x_2\mathrm{<mo>></mo>0}$, выражение (12) запишем в координатах пространства вращений ${ℝ}_{n+1}^{+}$ (имеются в виду первоначальные координаты $z\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ), т.е. в следующем виде:

${\displaystyle \underset{{ℝ}_1}{\int }}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dp\mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_{n+1}^{+}}{\int }}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}⟨\tilde{\xi }\mathrm{,}z⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}_2^{\gamma -1}d{z}_{1}d{z}_{2}d{x}^{\prime }\mathrm{.}$

Здесь скалярное произведение $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерных векторов совпадает со скалярным произведением $n$ -мерных векторов: $⟨\tilde{\xi }\mathrm{,}z⟩\mathrm{<mo>=</mo>}⟨\xi \mathrm{,}x⟩$. Поэтому, введя цилиндрические координаты

$z_1\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_1\cos \alpha \mathrm{,}{z}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_1\sin \alpha \mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}\mathrm{0<mo><</mo>}\alpha \mathrm{<mo><</mo>}\pi \mathrm{,}d{z}_{1}d{z}_{2}d{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{1}d{x}_{1}d\alpha d{x}^{\prime }\mathrm{,}$

получим

${\displaystyle \underset{{ℝ}_1^{+}}{\int }}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dp\mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Big⟨\xi \mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\cos \alpha \mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Bnb⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{\displaystyle \sin }}^{\gamma -1}\alpha d\alpha x_1^{\gamma }d{x}_{1}dd{x}^{\prime }\mathrm{.}$

Воспользовавшись определением оператора Пуассона (2) и видом константы $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, это выражение можем записать в сокращенной форме:

${\displaystyle \underset{{ℝ}_1}{\int }}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dp\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Pi }_{x_1}^{\gamma }g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}⟨\xi \mathrm{,}x⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_1^{\gamma }d{x}_{1}d{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Pi }_{{\xi }_1}^{\gamma }g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}⟨\xi \mathrm{,}x⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_1^{\gamma }d{x}_{1}d{x}^{\prime }\mathrm{.}$

Теперь, введя обозначения

$K_{\gamma \mathrm{,}\xi }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Pi }_{x_1}^{\gamma }g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}⟨\xi \mathrm{,}x⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{или}{K}_{\gamma \mathrm{,}\xi }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Pi }_{{\xi }_1}^{\gamma }g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}⟨\xi \mathrm{,}x⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

получим (10).

Определение 2. Двойственным оператором к преобразованию Радона$–$ Киприянова в ${ℝ}_1^{+}$ называется оператор $K_{\gamma \mathrm{,}\xi }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}$.

Доказательство следствия \rom\refc2.1.. Вернемся к равенству (4). Интегрирование по $n$ -мерной сфере $S_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\xi \mathrm{<mo>:</mo><mo>|</mo>}\xi \mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1<mo>\}</mo>}$ приведет к равенству

${\displaystyle \underset{S_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}{\displaystyle \underset{{ℝ}_1^{+}}{\int }}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dpdS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Pi }_{x_1}^{\gamma }\left({\displaystyle \underset{S_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}⟨\xi \mathrm{,}x⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mi>\; </mi>}{x}_1^{\gamma }d{x}_{1}dd{x}^{\prime }\mathrm{.}$

Остается воспользоваться обозначением (8) или (9).

Определение 3. Двойственным оператором к преобразованию Радона$–$ Киприянова в ${ℝ}_n^{+}$ называется оператор $K_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}$.

4. $K_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}$ -Преобразование свертки функций с $K_{\gamma }$ -преобразованием. Свертка радиальных функций в евклидовом пространстве ${ℝ}_n$ определяется по формуле (см. [7, 9])

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo>*</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}x-y\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dy\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}{S}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_1}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}^{r}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\rho }^{n-1}d\rho \mathrm{,}r\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>,}\rho \mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo>,}$

где $\mathrm{<mo>|</mo>}{S}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}$ $—$ площадь поверхности единичной сферы в ${ℝ}_n$, $T^x$ $—$ обобщенный сдвиг Пуассона:

$T^{\rho }v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}}g\left(\sqrt{r^2+{\rho }^2-2r\rho \cos \beta }\right){{\displaystyle \sin }}^{n-2}\beta d\beta \mathrm{.}$

Для произвольного числа $\gamma \mathrm{<mo>></mo>0}$ обобщенной сверткой Пуассона (сверткой Пуассона) называется выражение (см. [4, 6])

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo>*</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_1^{+}}{\int }}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}^{\rho }v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{r}^{\gamma }dr\mathrm{,}\gamma \mathrm{<mo>></mo>0,}$

где

$T^{\rho }v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\Gamma \left(\frac{\gamma +1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{\gamma }{2}\right)\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}}g\left(\sqrt{r^2+{\rho }^2-2r\rho \cos \beta }\right){{\displaystyle \sin }}^{\gamma -1}\beta d\beta \mathrm{.}$

Для цели наших исследований мы используем обобщенный сдвиг смешанного типа, определенный при $\gamma \mathrm{<mo>></mo>0}$ в [4] формулой

$T_x^{y}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\Gamma \left(\frac{\gamma +1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{\gamma }{2}\right)\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}}f\left(\sqrt{x_1^2+y_1^2-2x_1{y}_1\cos \alpha }\mathrm{,}{x}_2-y_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n-y_n\right)\mathrm{<mi>\; </mi>}{{\displaystyle \sin }}^{\gamma -1}\alpha d\alpha \mathrm{.}$

Преобразование Радона$–$ Киприянова обобщенной свертки основных функций $S_{ev}$ определено в [8] следующим равенством:

$K_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo>*</mo>}g{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_1}{\int }}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{.}$

Таким образом, преобразование Радона$–$ Киприянова свертки Пуассона оказывается одномерной (и обычной) сверткой преобразований Радона$–$ Киприянова свертывателей. Похожее свойство проявляется для преобразования двойственного к преобразованию Радона$–$ Киприянова.

4.1. Доказательство теоремы 2. Пусть функции $f$ и $g$ принадлежат пространству основных функций $S_{ev}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_n^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Докажем справедливость равенства (10), т.е.

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo>*</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo>*</mo>}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Воспользуемся представлением действия оператора $K_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}$ по формуле (8). Имеем

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}\mathrm{<mo>*</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}{T}_y^x{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\Pi }_{{\xi }_1}^{\gamma }g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo>;</mo>}⟨y\mathrm{,}\xi ⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_1^{\gamma }dy\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}{\displaystyle \underset{{\mathbb{S}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}{T}_y^x{\Pi }_{{\xi }_1}^{\gamma }g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo>;</mo>}⟨y\mathrm{,}\xi ⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_1^{\gamma }dy\mathrm{.}$

Здесь оператор обобщенного сдвига и оператор Пуассона действуют по разным переменным, поэтому, воспользовавшись перестановочностью обобщенного сдвига в весовой билинейной форме с показателем веса $x^{\gamma }$, имеем

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo>*</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}^{x}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_1^{\gamma }dy\mathrm{.}$

Согласно определению (9) оператора $K_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}$ получим

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo>*</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}{T}^{x}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left({\displaystyle \underset{S_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}{\int }}{\Pi }_{y_1}^{\gamma }g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}⟨y\mathrm{,}\xi ⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)y_1^{\gamma }dy\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}{T}^{x}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{S_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}{\int }}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}⟨y\mathrm{,}\xi ⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mi>\; </mi>}dS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_1^{\gamma }dy\mathrm{,}$

где введено обозначение

$G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}⟨y\mathrm{,}\xi ⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Pi }_{y_1}^{\gamma }g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}⟨y\mathrm{,}\xi ⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Каждая из функций $f$ и $g$ принадлежат основному классу функций, поэтому можно применить теорему Лебега о перестановке пределов интегрирования. В результате получим равенство

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo>*</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{S_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}{\int }}{\displaystyle \underset{{ℝ}_n^{+}}{\int }}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}⟨y\mathrm{,}\xi ⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}^{x}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_1^{\gamma }dydS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Учитывая действие оператора Пуассона (2), запишем

$G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}⟨y\mathrm{,}\xi ⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{y}_1{\xi }_1\cos \beta +y_2{\xi }_2+\dots \mathrm{,}{y}_n{\xi }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{{\displaystyle \sin }}^{\gamma -1}\beta d\beta \mathrm{.}$ (13)

Как в доказательстве теоремы 1, воспользуемся процедурой вращения. При этом учтем, что

$\sqrt{x_1^2+y_1^2-2x_1{y}_1\cos \alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1-y_1\cos \alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+y_1^2{{\displaystyle \sin }}^2\alpha }\mathrm{,}$

и векторы размерности $n-1$, участвующие в скалярном произведении $⟨y\mathrm{,}\xi ⟩$, транслируются в векторы размерности $n$ и имеют следующие координаты:

$y\to \tilde{z}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1\mathrm{,0,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\xi \to \tilde{\xi }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1\mathrm{,0,}{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В результате получим

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo>*</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{S_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}{\int }}{\displaystyle \underset{{ℝ}_{n+1}^{+}}{\int }}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{x}-z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}⟨z\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}_2^{\gamma -1}dzdS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $z\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1\mathrm{,}{z}_2\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\tilde{x}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,0,}{x}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и поэтому $\tilde{x}-z\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1-z_1\mathrm{,}{z}_2\mathrm{,}{x}^{\prime }-y^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Введем $n$ -мерные локальные координаты

$\tilde{\xi }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,}\dots \mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tilde{\xi }\cdot p\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{y}_{\perp }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_2\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}y\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_2\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Произведем замену переменных

$z\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{x}-\zeta -s\tilde{\xi }\mathrm{,}\tilde{x}-z\mathrm{<mo>=</mo>}s\tilde{\xi }+\zeta \mathrm{,}\text{где}\zeta \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\zeta }_1\mathrm{,}{z}_2\mathrm{,}{\zeta }_3\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\zeta }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\tilde{\xi }}^{\perp }\mathrm{.}$

Якобиан этой замены равен $\frac{D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>1}$, и мы имеем

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo>*</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{S_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}{\int }}{\displaystyle \underset{{ℝ}_1^{+}}{\int }}{\displaystyle \underset{{\tilde{\xi }}^{\perp }}{\int }}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\tilde{\xi }+\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}_2^{\gamma -1}d\zeta G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}⟨\tilde{x}\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dsdS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Здесь внутренний интеграл есть преобразование Радона$–$ Киприянова, записанное в виде интеграла по касательной плоскости ${\xi }^{\perp }$ (см. формулу (6)). Следовательно,

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo>*</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{S_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}{\int }}{\displaystyle \underset{{ℝ}_1^{+}}{\int }}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dsdS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{S_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}{\int }}{\displaystyle \underset{{ℝ}_1^{+}}{\int }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Pi }_{x_1}^{\gamma }g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dsdS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В последнем равенстве воспользовались обозначением (13). Но $⟨\tilde{x}\mathrm{,}\tilde{\xi }⟩\mathrm{<mo>=</mo>}⟨x\mathrm{,}\xi ⟩$, поэтому внутренний интеграл представляет собой классическую свертку по переменной $p$. В результате

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo>*</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{S_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}}{\int }}{\Pi }_{x_1}^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>*</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Полученное выражение есть двойственный оператор к преобразованию Радона$–$ Киприянова от свертки функций по переменной $p$, т.е.

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}g\mathrm{<mo>*</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{K}_{\gamma }{}^{\mathrm{<mo>\#</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>*</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Доказательство закончено.

Об авторах

Лев Николаевич Ляхов

Воронежский государственный университет; Липецкий государственный педагогический университет имени П. П. Семенова-Тян-Шанского

Автор, ответственный за переписку.
Email: levnlya@mail.ru
Россия, Воронеж; Липецк

Владимир Анатольевич Калитвин

Липецкий государственный педагогический университет имени П. П. Семенова-Тян-Шанского

Email: kalitvin@gmail.com
Россия, Липецк

Марина Геннадьевна Лапшина

Липецкий государственный педагогический университет имени П. П. Семенова-Тян-Шанского

Email: marina.lapsh@ya.ru
Россия, Липецк

Список литературы

Дополнительные файлы