Inequalities for the best “angular” approximation and the smoothness modulus of a function in the Lorentz space

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we consider the Lorentz space Lp,τ(Tm) of 2π-periodic functions of several variables, the best “angular” approximation of such functions by trigonometric polynomials, and the mixed smoothness modulus of functions from this space. The properties of the mixed smoothness modulus are given and strengthened versions of the direct and inverse theorems on the “angular” approximations are proved.

About the authors

G. Akishev

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Казахстанский филиал

Author for correspondence.
Email: akishev_g@mail.ru
Kazakhstan, Астана

References

  1. Акишев Г. Оценки наилучших приближений функций класса логарифмической гладкости в пространстве Лоренца// Тр. ИММ УрО РАН. — 2017. — 23, № 3. — С. 3–21.
  2. Акишев Г. Оценки наилучших приближений функций класса Никольского — Бесова в пространстве Лоренца тригонометрическими полиномами// Тр. ИММ УрО РАН. — 2020. — 26, № 2. — С. 5–27.
  3. Акишев Г. Неравенства для наилучшего приближения «углом» и модуля гладкости функции в пространстве Лоренца// Мат. Междунар. Воронеж. весенней мат. школы «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения–XXXIV» (Воронеж, 3–9 мая 2023 г.). — Воронеж: ВГУ, 2023. — С. 37–38.
  4. Аманов Т. И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. — Алма-Ата: Наука, 1976.
  5. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Гостехиздат, 1947.
  6. Бабенко А. Г. О в неравенстве Джексона — Стечкина для наилучших L2-приближений функций тригонометрическими полиномами// Тр. Ин-та мат. мех. УрО РАН. — 2001. — 7, № 1. — С. 30–46.
  7. Бердышев В. И. О теореме Джексона в Lp// Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. — 1967. — 88. — С. 3–16.
  8. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. — М.: Наука, 1975.
  9. Бугров Я. С. Приближение тригонометрическими полиномами функций многих переменных//в кн.: Труды научного объединения преподавателей физико-математических факультетов педагогических институтов Дальнего Востока. Т. 1. — Хабаровск, 1962. — С. 1–28.
  10. Иванов В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближения в метрике Lp для 0 < p < 1 // Мат. заметки. — 1975. — 56, № 2. — С. 15–40.
  11. Иванов В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближения периодических функций в работах С. Б. Стечкина и их развитие// Тр. ИММ УрО РАН. — 2010. — 16, № 4. — С. 5–17.
  12. Иванов В. И. Константы Джексона и константыЮнга в векторных Lp-пространствах// Изв. Тульск. гос. ун-та. — 1995. — 1, № 1. — С. 67–85.
  13. Иванов В. И., Смирнов О. И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. — Тула: ТулГУ, 1995.
  14. Конейчук Н. П. Точная константа в неравенстве Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций// Докл. АН СССР. — 1962. — 145, № 3. — С. 314–315.
  15. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977.
  16. Новиков С. Я. Последовательности функций в симметричных пространствах. — Самара: Самар. ун-т, 2008.
  17. Потапов М. К. О приближении «углом»// Proc. Conf. Constructive Theory of Functions. — Budapesht: Akad. Kiado, 1972. — С. 371–399.
  18. Потапов М. К. Приближение «углом» и теоремы вложения// Math. Balkan. — 1972. — 2. — С. 183–198.
  19. Потапов М. К. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения «углом»// Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. — 1972. — 117. — С. 256–291.
  20. Руновский К. В. Прямая теорема теории приближений для общего модуля гладкости// Мат. заметки. — 2014. — 95, № 6. — С. 899–910.
  21. Руновский К. В., Омельченко Н. В. Смешанный обобщенный модуль гладкости и приближение «углом» из тригонометрических полиномов// Мат. заметки. — 2016. — 100, № 3. — С. 421–432.
  22. Смаилов Е. С., Есмаганбетов М. Г., Шаяхметова Б. К. О дифференциальных свойствах функций в L p 1 , p 2 [0,2π] 2 в кн.: Сб. науч. тр. «Современные вопросы теории функции и функционального анализа». — Караганда, 1988. — С. 86–100.
  23. Смирнов О. И. Приближение в пространстве Lp(Tm) «углом»// Изв. Тульск. гос. ун-та. — 1995. — 1, № 1. — С. 116–123.
  24. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. — М.: Мир, 1974.
  25. Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций// Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1951. — 15, № 3. — С. 219–242.
  26. Стечкин С. Б. О теореме Колмогорова — Селиверстова// Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1953. — 17, № 6. — С. 499–512.
  27. Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Lp, 0 < p < 1 // Мат. сб. — 1975. — 98, № 3. — С. 395–415.
  28. Стороженко Э. А., Освальд П. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn), 0 < p < 1// Сиб. мат. ж. — 1978. — 19, № 4. — С. 888–901.
  29. Тиман М. Ф. Особенности основных теорем конструктивной теории функций в пространствах Lp//АН Азерб. ССР. — 1965. — С. 18–25.
  30. Тиман М. Ф. О теореме Джексона в пространствах Lp// Укр. мат. ж. — 1966. — 1. — С. 134–137.
  31. Тиман А. Ф., Тиман М. Ф. Обобщенный модуль непрерывности и наилучшее приближение в среднем// Докл. АН СССР. — 1950. — 71. — С. 17–19.
  32. Тиман М. Ф. Обратные теоремы конструктивной теории функций в пространствах Lp // Мат. сб. — 1958. — 46, № 1. — С. 125–132.
  33. Черных Н. И. О неравенстве Джексона в Lp(0, 2π) с точной константой// Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. — 1992. — 198. — С. 232–241.
  34. Akgun R. Approximation by polynomials in rearrangement invariant quasi Banach function spaces// Banach J. Math. Anal. — 2012. — 6, № 2. — P. 113–131.
  35. Gogatishvili A., Opic B., Tikhonov S., Trebels W. Ulyanov-type inequalities between Lorentz–Zygmund spaces// J. Fourier Anal. Appl. — 2014. — 20. — P. 1020–1049.
  36. Creekmore J. Type and cotype in Lorentz Lp,q spaces// Proc. K¨on. Ned. Akad. Wetensch. — 1981. — 84, № 2. — P. 145–152.
  37. Gurbea G. P., Cuerva J., Perez C., Extrapolation with weights, rearrangement function spaces, modular inequalities and applications to singular integrals// Adv. Math. — 2006. — 203. — P. 256–318.
  38. Yurt H., Guven A. Multivariate approximation theorems in weighted Lorentz spaces// Mediterr. J. Math. — 2015. — 12. — P. 863–876.
  39. Jackson D. Über die Genauigkeit der Annaheruny stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Frades und trigonometrischen Summen gegebener Ordnung. — Göttingen, 1911.
  40. Jafarov S. Z. Approximation by trigonometric polynomials in rearrangement invariant quasi Banach function spaces// Mediterr. J. Math. — 2015. — 12. — P. 37–50.
  41. Johansson H. Embedding of H p ω in some Lorentz spases// Res. Rept. Univ. Umea. — 1975. — 6. — P. 1–36.
  42. Kokilashvili V., Yildirir Y. E. On the approximation by trigonometric polynomials in weighted Lorentz spaces// J. Funct. Spaces Appl. — 2010. — 8. — P. 67–86.
  43. Potapov M. K., Simonov B. V., Tikhonov S. Yu. Mixed moduli of smoothness in Lp,q, 1 < p < ∞: A survey// Surv. Approx. Theory. — 2013. — 8. — P. 1–57.
  44. Quade E. S. Trigonometric approximation in the mean// Duke Math. J. — 1937. — 3. — P. 529–543.
  45. Salem R. Sur certaines fonctions continues et le propriétés de leur séries de Fourier// C. R. Acad. Sci. — 1935. — 201. — P. 703–705.
  46. Taberski R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders// Comment. Math. Prace Mat. — 1976–1977. — 19, № 2. — P. 389–400.
  47. Taberski R. Indirect approximation theorems in Lp-metrics (1 < p < ∞)// Banach Center Publ. — 1979. — 4. — P. 247–259.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Akishev G.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».