О математических моделях вирусологии, использованных для изучения пандемии Covid-19

Аннотация

Представлен обзор отечественных и зарубежных работ, посвященных построению и исследованию математических моделей вирусологии, использованных при изучении пандемии новой коронавирусной инфекции COVID-19.

Полный текст

Завершившаяся пандемия COVID-19 оказала влияние на все стороны жизни и нашла отражение в научных публикациях по самым разнообразным наукам. Не остались в стороне и математические науки. Публикации, посвященные математическим моделям вирусологии COVID-19, начинают появляться в научной печати в 2020 г. При этом используются разнообразные математические методы. Так, различными авторами строились модели, основанные преимущественно на методах математического анализа: это обыкновенные дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения с дробными производными, уравнения с частными производными, вариационные методы. Поскольку построенные уравнения чаще всего не решаются аналитически, многие статьи содержат помимо аналитической модели также и численные расчеты (см., например, [4, 63]). В значительном числе работ применялись вероятностные и статистические методы: стохастические дифференциальные уравнения, анализ временных рядов и др. Ряд статей посвящен статистике пандемии коронавируса в отдельных странах (см., например, [8]) и сравнению протекания пандемии в разных странах (см., например, [56, 82]). Имеются статьи, опирающиеся на методы теории исследования операций и посвященные изучению организации логистики в условиях нехватки ресурсов (аппаратов ИВЛ, палат и персонала в больницах и т. п.; см. [79]), а также управление темпами развития пандемии с помощью немедикаментозных мер (социального дистанцирования, масочного режима) и вакцинации (см., например, [96]). Наконец, много статей посвящено компьютерным методам самой разнообразной тематики: от вычисления математических моделей эпидемий на суперкомпьютерах до обнаружения симптомов коронавируса на снимках легких в компьютерной томографии. Конечно, указанное деление по тематике в большой степени условно, поскольку для моделирования распространения пандемии чаще всего используются комбинированные методы, или проводится сравнение разных методов моделирования (например, аналитических и стохастических).

Обсудим модели, использованные для изучения различных аспектов эпидемии. По сравнению с обычной моделью SIR (<<восприимчивый $—$ инфицированный $—$ устраненный>>) в статьях про COVID-19 встречается великое множество различных модификаций. Это связано с особенностями протекания COVID-19: большое количество бессимптомных зараженных, при этом неизвестно, насколько они заразны сами; очень разная степень тяжести протекания: от самой легкой до смертельно опасной, когда требуется искусственная вентиляция легких с помощью аппарата ИВЛ. Кроме того, особенно в начале пандемии, тестирование было весьма неточным, что тоже учитывается в некоторых стохастических моделях.

COVID-19 $—$ новый вирус, и было неизвестно, насколько вероятно повторное заражение, поэтому первые модели вовсе не учитывали его возможность. Вскоре, однако, стало ясно, что иммунитета хватает примерно на 4 месяца, вакцины вовсе не защищают от заражения (а лишь защищают от тяжелого течения болезни), и стали появляться модели, учитывающие повторные заражения, и статьи, посвященные волнам пандемии (см., например, [55]). Кроме того, за время развития пандемии появлялись новые штаммы, обладающие своими особенностями; например, когда появился штамм омикрон (с преимущественно легким протеканием болезни), стало важно различать количество инфицированных и количество госпитализированных.

Базовые модели обозначаются аббревиатурами, буквы в которых чаще всего (но не всегда $—$ в зависимости от авторов работы) обозначают следующие доли изучаемой популяции:

A $—$ ailing (заболевшие) или asymptomatic (бессимптомные);

C $—$ confirmed (подтвержденные);

D $—$ diagnosed (диагностированные) или deceased [dead] (умершие);

E $—$ exposed (инфицированные) или extinct (умершие);

H $—$ hospitalized (госпитализированные) или healed (выздоровевшие);

I $—$ infectious (заразные);

Q $—$ quarantine (находящиеся в карантине);

R $—$ recovered (выздоровевшие) или removed (выбывшие из исследования);

S $—$ susceptible (восприимчивые);

Si $—$ sick (больные);

T $—$ threatened (находящиеся под угрозой заражения);

U $—$ unindentified infected (невыявленные инфицированные);

V $—$ vaccinated (вакцинированные).

Базовые математические модели эпидемий учитывают следующие доли популяции:

SIS (susceptible $—$ infected $—$ susceptible: восприимчивые $—$ зараженные $—$ восприимчивые);

SIR (susceptible $—$ infected $—$ removed: восприимчивые $—$ зараженные $—$ выбывшие (устраненные) из исследования);

SIRD (susceptible $—$ infected $—$ recovered $—$ dead: восприимчивые $—$ зараженные $—$ выздоровевшие $—$ умершие, т.е. в этой модели уточняется причина выбытия индивида из исследования);

SEIR (susceptible $—$ exposed $—$ infectious $—$ removed: восприимчивые $—$ зараженные $—$ заразные$–$выбывшие).

Взаимное перемещение индивидов между этими категориями описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, причем происходит по сложным схемам (см., например, [19] и рис. 1).

Рис. 1. Переходы между различными категориями популяции (схема из [19]).

Приведем перечень наиболее распространенных моделей:

SEIR [49, 76, 85]; SIRD [43, 52]; SEIR-HCD [6]; SIDARTHE [40];

SQEIAR [10]; SQAIRD [8]; SEIRD [3, 4]; SEAIR [18];

SEAIHR [96]; SIQD [64]; SUC [53]; SEIRA [27];

SEIHR [67]; SIDR [55]; SEIRS [98]; SIHRDP [56];

SEIQR [33]; SQIR [83]; vSIRS [61]; SEIS [87].

Уже само это разнообразие моделей говорит о том, что нет хорошего понимания, как распространяется COVID-19 и какие именно параметры наиболее значимы для моделей.

Часто обыкновенные дифференциальные уравнения каким-либо образом обобщаются: например, превращаются в соответствующие уравнения с производными дробного порядка или в стохастические дифференциальные уравнения.

Рассмотрим, например, как отражены эти особенности протекания COVID-19 в двух работах Н. И. Еремеевой [3, 4]. В [4] автор указывает, что «SEIRD-модель относится к классу дифференциальных математических моделей, что дает возможность оперативно проводить эксперименты для прогнозирования распространения заболевания и расчета степени влияния на развитие процесса определенных параметров». Это замечание применимо и к большинству указанных выше моделей $—$ параметры подбираются на основе экспериментальных данных в той или иной стране, области и т. п. В этой работе автор приходит к выводу о том, что недостаточно долгий карантин дает только временный эффект, что приводит в конце концов к новому пику заболеваемости. При этом важную роль играет <<популяционный иммунитет>>. Жесткие меры не всегда эффективны, лучше действуют более длительные и более мягкие меры. В [3] автор указывает особенности модели, пригодные для изучения именно COVID-19:

(i) в отличие от базовой модели, учитывается, что латентные носители COVID-19 являются в некоторой степени заразными;

(ii) у существенного количества инфицированных болезнь протекает бессимптомно;

(iii) выявленные больные изолируются (госпитализируются), и вероятность заражения от них резко уменьшается;

(iv) карантинные меры имеют массовый характер, учитывается как степень их жесткости, так и момент введения;

(v) зависимость между скоростью изменения относительного числа заболевших и относительным количеством заразных и восприимчивых может быть нелинейной.

Аналитические модели с дробными производными. При распространении пандемии COVID-19 постепенно стали проясняться ее особенности, и стало понятно, что обычные модели работают не очень хорошо из-за того, что не обладают эффектом памяти. Более подходящим средством исследования стали считать модели с дробными производными разных видов. Среди аналитических моделей таких моделей большинство в нашей выборке (см., например, [11, 14, 15, 30, 40, 43, 46, 51, 54, 59, 62, 69, 77, 78, 85, 90, 101] и др.).

В качестве примера аналитической модели с применением вероятностных методов упомянем работу [43], в которой тесно переплетены самые разные аспекты и методы:

(i) впервые используются переменные индексы памяти в SIRD-модели;

(ii) применяется дробная SIRD-модель с несоизмеримыми дробными порядками (с производной Капуто);

(iii) идентификация универсальной эволюции COVID-19 по регионам;

(iv) немарковский процесс (т.е. процесс с долгой памятью, зависящий не только от непосредственно предшествующего состояния);

(v) масштабирование по степенному закону;

(vi) временные ряды 23 стран изучаются с помощью фрактального формализма;

(vii) используются динамические системы с эффектом памяти.

Стохастический процесс $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называется мультимасштабным, если это процесс со стационарными приращениями и

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{t}^{\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+1}\forall t\in \mathcal{F}\mathrm{,}\alpha \in \mathcal{L}\mathrm{,}$

где $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$ $—$ интервалы в $ℝ$, $\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ функция масштаба. Статистическая эволюция временного ряда имеет вид

$K_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{⟨\mathrm{<mo>|</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{\alpha }⟩}{⟨\mathrm{<mo>|</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{\alpha }⟩}\mathrm{<mo>;</mo>}$

обобщенный показатель Хёрста

$H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{K}_{\alpha }\sim {\left(\frac{\tau }{\theta }\right)}^{\alpha H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{\tau }_{\max }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (1)

Если $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv const$, то мультимасштабности нет. Временной ряд может меняться по степенному закону, если спектральная плотность $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\propto f^{-\beta }$.

При применении этой модели страны разделились на группы с похожим числом Хёрста $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

(i) Латинская Америка (Чили, Эквадор, Аргентина, Перу, Бразилия, Колумбия, Мексика);

(ii) Россия, Турция, Саудовская Аравия, Иран, Индия;

(iii) Европа (европейские страны).

Модель может быть описана следующим образом. Сначала рассматривается система связанных обыкновенных дифференциальных уравнений

$\begin{array}{ll}\frac{dS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}-rS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \frac{dI\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}rS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \frac{dR\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\alpha I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \frac{dD\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}dI\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \end{array}$ (2)

где $r$, $a$, $d$ $—$ скорости заражения, выздоровления и смерти. Скорость заражения $—$ параметр системы, который меняется в зависимости от $t^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$:

$r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}+\zeta r_0\mathrm{,}\zeta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Система (2) представляет марковский процесс, когда предыдущие состояния не влияют на текущие условия. Чтобы приблизить ее к реальности, авторы ее преобразуют в систему, зависящую от времени:

$\begin{array}{ll}\frac{dS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}-r{\displaystyle {\int }_{t_0}^t}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\mathrm{,}\hfill \\ \frac{dI\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{t_0}^t}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}rS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}d{t}^{\prime }\mathrm{,}\hfill \\ \frac{dR\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\alpha {\displaystyle {\int }_{t_0}^t}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\mathrm{,}\hfill \\ \frac{dD\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}d{\displaystyle {\int }_{t_0}^t}\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\mathrm{,}\hfill \end{array}$ (3)

где

$\varkappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{q-2}\mathrm{,}\mathrm{0<mo><</mo>}q\le 1.$

Если взять такое ядро $\varkappa$, то получится модель дробного порядка

$\begin{array}{ll}{}_{t_0}^C{D}_t^{q}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}-rS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ {}_{t_0}^C{D}_t^{q}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}rS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ {}_{t_0}^C{D}_t^{q}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\alpha I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ {}_{t_0}^C{D}_t^{q}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}dI\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill \end{array}$ (4)

с дробной производной Капуто:

${}_{t_0}^C{D}_t^{q}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle {\int }_{t_0}^t}\frac{f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^q}d\tau \mathrm{,}\mathrm{0<mo><</mo>}q\le 1.$

Производная Капуто взята потому, что она имеет степенное ядро, где скорость затухания непосредственно зависит от дробных порядков. Когда дробный порядок меняется, соответственно меняется и <<длина памяти>>. При $q\mathrm{<mo>=</mo>1}$ получается <<система без памяти>>. Пусть $q$ зависит от времени:

$\begin{array}{llll}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \triangleq q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \hfill & -\text{зависимость только от времени}\mathrm{,}\hfill \\ q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \triangleq q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \hfill & -\text{память прошлого слаба}\mathrm{,}\hfill \\ q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \triangleq q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \hfill & -\text{память прошлого сильна}\mathrm{.}\hfill \end{array}$

Оказалось, что в разных странах это происходит по-разному; кроме того, нужно рассматривать разные временные интервалы. Далее авторы находят неустойчивую точку равновесия численно и подбирают параметры на основе реальных данных с помощью формулы

$\text{RMSE}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\frac{1}{T}\left({\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>1}}^T}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{I}_{\text{rd}}-I_{\text{ap}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_{\text{rd}}-R_{\text{ap}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}_{\text{rd}}-D_{\text{ap}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\right)}\mathrm{,}$

где RMSE $—$ корень из среднеквадратичной погрешности, <<rd>> $—$ реальные данные, <<ap>> $—$ аппроксимация, $I$, $R$, $D$ $—$ количества инфицированных, поправившихся и умерших соответственно.

В статьях по теме COVID-19 используются и другие виды дробных производных. Особенно удобной является дробно-фрактальная производная Атангана $—$ Балеану (или Атангана $—$ Балеану $—$ Капуто), специально разработанная для моделирования естественных процессов (см. [9, 16, 32, 47, 58, 72]).

Определение производной Атангана $—$ Балеану $—$ Капуто можно найти в [51], где рассматривается модель с несингулярной дробной производной

${}_0^{ABC}{D}_t^{\gamma }\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{n-\gamma }{\displaystyle {\int }_0^t}\frac{{\partial }^n\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial w^n}\times E_{\gamma }\left[\frac{-\gamma }{n-\gamma }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\gamma }\right]dw\mathrm{,}n-\mathrm{1<mo><</mo>}\gamma \le n\mathrm{,}$

с ядром Миттаг-Леффлера

$E_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\frac{x^j}{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\gamma +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Затем получена аппроксимация для ${}_0^{ABC}{D}_t^{\gamma }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^l$ с помощью разложения по обобщенным многочленам Лежандра

${\Psi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>0}}^i}\left(\begin{array}{c}l\\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}l+i\\ i\end{array}\right){\left(\frac{y-a}{a}\right)}^i\mathrm{,}$

что позволяет получить нелинейную систему алгебраических уравнений, которая затем решается численно с помощью метода коллокации. В этой статье рассматривается модель SEAIR (susceptible $—$ exposed $—$ infected $—$ asymptomatically infected $—$ recovered: восприимчивые $—$ инфицированные $—$ бессимптомные инфицированные $—$ выздоровевшие).

В [56] рассматривается модель SIHRDP (восприимчивые $—$ зараженные, но не госпитализированные $—$ госпитализированные $—$ выздоровевшие $—$ умершие $—$ изолированные) с длительной памятью и вакцинацией для описания многоволновых пиков. Подгонка параметров модели была произведена по данным Франции, Индии, США и Аргентины; обнаружено, что нелокальная модель имеет лучший эффект подгонки, чем классическая. Разные параметры в разных странах получаются из-за разных стратегий вакцинации, принятых в этих странах.

Основная цель статьи [56] $—$ дать прогноз для указанных стран, насколько поможет вакцинация при применяемых стратегиях. Утверждается, что во Франции вакцинация не поможет совсем, в Индии будет много госпитализаций, но вакцинация существенно поможет, в США и Аргентине вакцинация будет эффективной.

В [30] рассматривается модель, основанная на дробных производных Капуто (в том числе несоизмеримых порядков). При этом учитываются ежедневные новые случаи, ежедневные дополнительные тяжелые случаи и ежедневные смерти. Эта модель исследуется с помощью бифуркационных диаграмм, показателей Ляпунова, временных рядов и фазовых портретов. Порядки дробных производных могут меняться с течением времени. Оказалось, что количество новых случаев, новых тяжелых случаев и смертей характеризуются хаотическим поведением без какой-либо возможности эффективно контролировать болезнь.

В [37] рассматривается комбинированная модель передачи инфекции COVID-19: локальное распространение моделируется с помощью члена реакции-диффузии, добавленного к обыкновенным дифференциальным уравнениям, моделирующим распространение инфекции по сети с узлами (где узлы $—$ это, например, города, когда люди путешествуют за короткое время на дальние расстояния).

Одной из довольно популярных тем статей про COVID-19 является исследование совместного распространения COVID-19 с другими болезнями (например, вместе с туберкулезом; см. [69]). В [68] рассматривается модель дробного порядка для совместной динамики коронавируса, лихорадки денге и ВИЧ. Существование и единственность решения построенной модели находится с помощью принципа сжимающих отображений Банаха; кроме того, изучается устойчивость решения в смысле Хайерса$–$ Улама. Авторы применяют метод разложения Лапласа$–$ Адомяна для исследования модели с помощью трех различных дробных производных: Капуто, Капуто$–$ Фабрицио и Атангана$–$ Балеану. Также проводится анализ устойчивости итерационных схем. Делается вывод о том, что усилия по сдерживанию распространения коронавируса на низком уровне существенно снизят совместную инфекцию коронавируса и денге и коронавируса и ВИЧ.

В целом модели с дробными производными проявили себя лучше, чем модели с производными целого порядка. В [100] проведен анализ временных рядов COVID-19 в Китае до 22.03.2020 и сделан вывод, что уравнениями с дробными производными при моделировании COVID-19 надо пользоваться с осторожностью, поскольку конкретные особенности распространения в конкретной местности могут не обнаруживать нелокального поведения. Это может быть связано с быстрым совершенствованием систем здравоохранения, которое поможет устранить эффект памяти в случае распространения COVID-19.

Двумя существенными недостатками для точности прогнозов являются неизвестные доли незадокументированных случаев COVID-19 и уровни немедикаментозных вмешательств, которые очень неоднородны в разных местах в разное время. Поэтому в [28] разработан метод, позволяющий оценить уровень неоднородности занижения данных в разных муниципалитетах Бразилии. Пандемия происходила во всем мире и наложилась на местные традиционные особенности разных народов и их менталитет.

Вероятностные методы и модели течения пандемии. При изучении пандемии COVID-19 используются различные вероятностные методы и модели.

Статья [86] посвящена вероятностным прогнозам смертности от COVID-19 в США. Для оптимального принятия решений (о планировании действий правительства и распределении ресурсов) требуется не просто точечный прогноз, а прогноз вероятностного распределения или интервальный прогноз. Вероятностные прогнозы были предоставлены несколькими группами прогнозистов, а затем объединены. Используется набор данных, опубликованный в Центре прогнозов COVID-19. Оказалось, что доступность прогнозов от разных участников сильно различается в течение 40 недель исследования. Для оценки точности методов комбинирования прогнозов используются разные вероятностные методы. Оказалось, что в первые недели пандемии медиана была очень полезна; затем предпочтительнее было простое среднее, а на длительных сроках лучше всего себя зарекомендовала модель комбинирования с весами, обратно пропорциональными исторической точности отдельных групп прогнозирования.

В [87] изучаются стохастические модели эпидемий. Получена эпидемическая эквивалентность состояний между немарковской моделью SEIS и марковской моделью SIS: при некоторых соотношениях между параметрами процесса стационарные решения в немарковской модели SEIS можно найти из марковской SIS. При этом уменьшается вычислительная сложность и определяется эпидемический порог SEIS.

Обсудим более подробно основные идеи этой статьи. Время, чтобы индивид стал заразным после контакта с больным, меняется от одного индивида к другому, поскольку для этого требуется, чтобы воспроизвелось большое количество вируса, а каждый организм индивидуален. Поэтому наиболее адекватной моделью кажется немарковская модель SEIS (восприимчивый $—$ инфицированный $—$ заразный $—$ восприимчивый). Для нее вводятся следующие параметры: $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ проявившиеся за день, $B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ проявившиеся ко дню $\tau$ (за все предыдущие дни), $\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ поправившиеся за день, $\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ поправившиеся ко дню $\tau$ (за все предыдущие дни). Далее осуществляется переход от дискретной к непрерывной форме немарковской модели и отмечается, что любая марковская SIS-модель в сложных сетях может быть представлена как немарковская SEIS.

Марковская модель SIS среднего поля с дискретным временем задается уравнениями

$p_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-p_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(1-{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-p_j^I{a}_{ij}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{p}_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (5)

где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}A$ $—$ матрица смежности графа (сети, по которой все передается) $—$ это так называемый <<подход микроскопической марковской цепи>>. В непрерывной форме модель имеет вид

$\frac{d{p}_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dt}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-p_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\beta }^M{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{a}_{ij}{p}_j^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\gamma }^M{p}_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (6)

Предполагается, что заразиться можно только от одного соседа, поэтому произведение преобразуется в сумму.

В немарковской модели подвергшийся воздействию может стать заразным за разное время (так называемое кумулятивное проявление):

$B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tau }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{\tau }^{\prime }\mathrm{,}{\displaystyle {\int }_0^T}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo><</mo>1.}$

Наряду с этим в статье рассматривается и случайное проявление:

$B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}0\le b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \mathrm{1,}$

$\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tau }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{\tau }^{\prime }\mathrm{,}{\displaystyle {\int }_0^T}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>1,}\overline{\Gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}-\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В дискретном случае модель SEIS имеет вид

$\begin{array}{ll}{p}_i^E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\tau \mathrm{<mo>=</mo>0}}^{T-1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-p_i^E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\Gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\mathcal{P}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ p_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\tau \mathrm{<mo>=</mo>0}}^{T-1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-p_i^E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\Gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\mathcal{P}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \end{array}$ (7)

где

${\mathcal{P}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}-{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-p_j^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{a}_{ij}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В марковской модели $p_i^S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+p_i^E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+p_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$. В немарковской ( $I\subset E$ ) $p_i^S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+p_i^E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ (потому что не известно, кто заразен, а кто нет). В марковской модели вероятность переходов $E\to I$, $E\to S$, $I\to S$, $S\to E$ постоянна в любой момент.

В непрерывном случае уравнения преобразуются следующим образом:

$1-{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-p_j^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{a}_{ij}\beta \Delta \tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{p}_j^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{a}_{ij}\beta \Delta \tau +O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta {\tau }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

и для достаточно малого $\Delta \tau$ членом $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta {\tau }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пренебрегают. Таким образом получается система уравнений, которая может быть преобразована в систему для непрерывного случая:

$\begin{array}{ll}{p}_i^E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-p_i^E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{p}_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\Gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }_{ij}\beta d\tau \mathrm{,}\hfill \\ p_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-p_i^E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{p}_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\Gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }_{ij}\beta d\tau \mathrm{,}\hfill \end{array}$ (8)

где $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ функция Хевисайда. В дальнейшем $\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ считаются непрерывными в окрестности $\tau$ (т.е. функция $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не требуется). Дальнейшие преобразования системы позволяют обнаружить эпидемический порог. Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}_i^E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}_i^I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ начало эпидемического процесса. Матрица $A$ для связного графа неотрицательна и неприводима. Глобально асимптотически устойчивая точка получается при условии

$\frac{1}{\beta {\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>></mo>}{\displaystyle {\int }_0^T}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\Gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{,}$

где ${\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ максимальное собственное значение матрицы $A$.

Стационарное состояние немарковского процесса распространения SEIS можно получить из марковской модели SIS с помощью соотношения

$\frac{{\beta }^M}{{\gamma }^M}\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }^{NM}{\displaystyle {\int }_0^T}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\Gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{.}$ (9)

Эпидемический порог для марковской модели SIS равен

${\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\gamma }{\beta }\mathrm{.}$ (10)

Численный анализ модели проводится методом Монте-Карло, граф содержит около 1000 узлов и 4000$–$6000 однонаправленных связей (в статье рассматривается несколько примеров). Вероятности вычисляются с помощью генератора случайных чисел Бернулли с вероятностью $a_{ij}\beta$. В некоторых примерах получилась большая погрешность модели. Авторы объясняют это тем, что в реальной жизни совместные события не всегда независимы (как требуется для корректного действия применяемых законов из теории вероятности). Размеры погрешности оказались больше в областях с низкой инфицированностью, а в областях со средней и высокой инфицированностью получается хорошее приближение.

Модели, связанные с управлением течением эпидемии. Во многих статьях рассматриваются модели, связанные с теми или иными способами контроля распространения заболевания. Особенно это стало актуально с появлением в широком употреблении вакцин от коронавируса, когда появились новые возможности такого контроля.

В [35] рассматриваются так называемые вакцинные игры: в рассматриваемой ситуации часть населения подвергается обязательной вакцинации (это те слои, которые подвержены наибольшему риску заражения и могут стать распространителями: врачи, учителя, водители общественного транспорта и т. п.), а остальная (бóльшая) часть населения принимает решение о вакцинации самостоятельно. При принятии решения о вакцинации эта часть населения ориентируется на накопленную информацию о протекании пандемии (ежедневное количество новых случаев); функция отклика при этом нелинейна. При этом оптимизируются затраты: с одной стороны, цена вакцины и доставки, а с другой $—$ цена лечения в случае болезни. Учитывается и то, что вакцин может не хватать на все население. Кроме того, учитывается возможность того, что вакцинация не помогла (не была успешной в отдельных случаях), и то, что срок действия вакцины ограничен, иммунитет со временем затухает, т.е. возможно повторное инфицирование.

В статье рассматривается модель SIRVS (восприимчивые $—$ острая инфекция $—$ поправившиеся $—$ вакцинированные $—$ восприимчивые), и для них получается следующая система уравнений:

$\begin{array}{ll}\frac{dS}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\mu N-\sigma \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta S+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Sx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\beta SI}{N}+\phi V+\varkappa R-\mu S\mathrm{,}\hfill \\ \frac{dI}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\beta SI}{N}-\gamma I-qI-\mu I\mathrm{,}\hfill \\ \frac{dR}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\gamma I+qI-\mu R-\varkappa R\mathrm{,}\hfill \\ \frac{dV}{dt}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\sigma \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta S+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Sx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\phi V-\mu V\mathrm{,}\hfill \end{array}$ (11)

где параметры имеют следующие значения: $\theta$ $—$ доля тех, кто вакцинирован обязательно, потому что их работа связана с повышенным риском; $x$ $—$ доля тех, кто вакцинировался добровольно; $\sigma$ $—$ эффективность вакцины; $\phi$ $—$ скорость затухания иммунитета; $\beta$ $—$ эффективная скорость передачи; $\gamma$ $—$ скорость выздоровления; $q\mathrm{<mo>=</mo>}{q}_0\cdot {\gamma }_2$, где $q_0$ $—$ карантин, ${\gamma }_2$ $—$ лечение после карантина; $\rho$ ( $\mathrm{0<mo><</mo>}\rho \mathrm{<mo><</mo>1}$ ) $—$ ограничение поставок вакцины. Переходы между категориями в популяции указаны на рис. 2.

Рис. 2. Переходы между различными категориями популяции (схема из [35]).

Далее делается замена переменных $s\mathrm{<mo>=</mo>}S\mathrm{<mo>/</mo>}N$, $v\mathrm{<mo>=</mo>}V\mathrm{<mo>/</mo>}N$, $r\mathrm{<mo>=</mo>}R\mathrm{<mo>/</mo>}N$, $i\mathrm{<mo>=</mo>}I\mathrm{<mo>/</mo>}N$, уравнения элементарным образом преобразуются для них, и уравнение для $R$ исключается (потому что $s+i+r+v\mathrm{<mo>=</mo>1}$ ). К полученной системе еще следует добавить уравнения, связанные с принятием решения о вакцинировании, что и делается в статье дальше.

Параметр $x$ (число вакцинированных добровольно) меняется в зависимости от поведения в связи с принятием решения о вакцинировании в динамической игре принятия решения (когда индивиды наблюдают ежедневное количество новых заражений). Здесь возникают следующие параметры и переменные: $c_v$ $—$ цена вакцинации; $c_i$ $—$ цена инфекции (лечения и смерти); $\beta I$ $—$ скорость передачи инфекции; риск инфекции для не вакцинированных $\beta i\cdot c_i$; риск заражения для неуспешно вакцинированных $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\beta i\cdot c_i$; риск заражения для людей с временным отводом от вакцинации $\sigma \phi \cdot \beta i\cdot c_i$. Полная система для рисков имеет следующий вид

$\begin{array}{llll}{f}_v\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}-c_v-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\beta i\cdot c_i-\sigma \phi \cdot \beta i\cdot c_i\mathrm{,}\hfill & \hfill & \text{(риск вакцинированных)}\text{,}\hfill \\ f_n\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}-\beta i\cdot c_i\mathrm{,}\hfill & \hfill & \text{(риск невакцинированных)}\text{,}\hfill \end{array}$ (12)

$g_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{f}_v-f_n$ $—$ первая информационная функция (цена вакцинации), $g_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\beta Nsi$ $—$ количество новых случаев в день, в зависимости от которого меняется значимость заражений,

$g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}m{g}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{g}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\text{общая цена}\text{,}$ (13)

$m$ $—$ вес: если $m\mathrm{<mo>=</mo>1}$, то все зависит от цены вакцинации; если $m\mathrm{<mo>=</mo>0}$, то все зависит от распространения инфекции. На основе этих переменных строится уравнение о принятии решения о вакцинировании на основе настоящего и прошлого (с экспоненциальным затуханием значимости, как это обычно принято в разных моделях поведенческой экономики):

$M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\epsilon g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_{t-\tau }^t}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\alpha e^{-\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}d\eta \mathrm{.}$ (14)

К нему добавляется уравнение для изменения поведения:

$\frac{dx}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}\nu x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\frac{1}{1+e^{-bM\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}-\frac{1}{2}\right)\mathrm{.}$ (15)

Эти два уравнения добавляются к первоначальной системе и ищутся равновесия полной получившейся системы: равновесие без болезни без добровольной вакцинации

$E_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\frac{\phi +\mu }{\phi +\mu +\sigma \rho \theta }\mathrm{,}\mathrm{0,}\frac{\sigma \rho \theta }{\phi +\mu +\sigma \rho \theta }\mathrm{,}0\right)\mathrm{<mo>;</mo>}$

равновесие без болезни с полностью добровольной вакцинацией

$E_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\frac{\phi +\mu }{\phi +\mu +\sigma \rho }\mathrm{,}\mathrm{0,}\frac{\sigma \rho }{\phi +\mu +\sigma \rho }\mathrm{,}0\right)\mathrm{.}$

Вычислительными методами находится число воспроизводства $R_0\mathrm{<mo>=</mo>}\beta \mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma +q+\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и с его учетом получаются еще две точки граничного равновесия $E_3$, $E_4$. Изучаются условия их устойчивости. Показано, что точка $E_2$ всегда неустойчива, а точки $E_1$, $E_3$, $E_4$ могут быть при определенных условиях локально асимптотически устойчивыми. При некоторых условиях имеется также еще одна внутренняя точка равновесия, и в ней может происходить бифуркация Хопфа.

Эта модель применима к разным эпидемиям, и в последнем разделе статьи авторы конкретизируют ее для коронавируса. Там же рассматривается зависимость скорости передачи инфекции и эффективности вакцин от вариантов коронавируса ( $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $o$ ). Оказалось, что для варианта омикрон $R_0\mathrm{<mo>=</mo>6,0076}$, и даже если все население будет вакцинировано двумя дозами вакцины Pfizer, $R_v^0\mathrm{<mo>=</mo>}{R}_v^1\mathrm{<mo>=</mo>1,3206<mo>></mo>1}$, и сдержать распространение инфекции не получится, поэтому авторы в качестве дополнительной меры предлагают установить карантин.

Максимальная эффективность бустерной дозы в Великобритании (против штамма альфа) $\mathrm{75<mi>\%</mi>}$, что даже лучше, чем наилучшая вакцинная эффективность первых двух доз (которая указана в статье для разных стран и варьируется около $\mathrm{60<mi>\%</mi>}$ ). Обращает на себя внимание обстоятельность и добросовестность авторов: они не указывают нереальные значения эффективности вакцин (например, Pfizer), которые декларировались в начале их использования: более $\mathrm{90<mi>\%</mi>}$.

В игре, рассмотренной в статье, участвуют (принимают решение) отдельные индивиды, но производится она в интересах государств: надо, чтобы вакцинированных было достаточно для <<коллективного иммунитета>>. В нашей стране параметры в <<вакцинационной игре>> иные: в России вакцины поставлялись по госзакупкам, для населения они были бесплатными, значит, <<цена вакцинации>> не имела бы значения. Вакцин было достаточно, проблем с количеством поставок тоже не возникало. Дело в том, что вакцины от такой новой инфекции в принципе не могут быть безопасными: для корректного тестирования вакцин требуется период 5$–$10 лет, а за это время пандемия закончилась естественным путем (соображение, неприменимое к другим, давним и хорошо проверенным вакцинам и другим эпидемиям <<общего вида>>, рассматриваемым в статье). Поэтому наше население выбирало между конкурирующими рисками: умереть от коронавируса или пострадать от вакцины (например, получить инвалидность); пострадать от вакцины $—$ или потерять работу, потому что решение о степени общности вакцинации было оставлено руководителям предприятий на местах, и некоторые из них принимали решение о поголовной вакцинации, несмотря на противопоказания и на тот факт, что многие уже переболели (как было, например, в Казани: местные власти запретили невакцинированным пользоваться общественным транспортом, хотя формально вакцинация считалась добровольной).

Кроме того, очень скоро стало ясно, что вакцины слабо защищают от распространения инфекции, и важна только защита от тяжелого течения болезни и от смерти (поэтому количество новых случаев за день вряд ли было бы определяющим при принятии людьми решения о вакцинации, особенно в случае легко протекающего заболевагтя, вызванного штаммом омикрон; скорее имело бы значение количество ежедневных госпитализаций и смертей).

В [96] рассматривается оптимальная политика управления пандемией с учетом количества заражений среди населения и экономических последствий. Производится многоцелевая оптимизация с помощью генетического алгоритма. В статье используется модель SEAIHR (восприимчивые $—$ инфицированные $—$ бессимптомные зараженные $—$ инфицированные с симптомами $—$ госпитализированные $—$ поправившиеся), и далее приведена схема переходов между ними:

Рис. 3. Переходы между различными категориями популяции (схема из [96]).

При этом используются следующие параметры: $c$ $—$ частота контактов, $\beta$ $—$ вероятность передачи при контакте, $q$ $—$ доля выявленных на карантине, $\theta$ $—$ коэффициент, показывающий, во сколько раз меньше инфекция передается от бессимптомных. Эта модель относится к достаточно раннему этапу пандемии, когда еще ничего не было известно о повторных заражениях и не было вакцин. Для многоцелевой оптимизации берутся два веса и две функции цены: $J_1$ для снижения количества зараженных и $J_2$ для снижения негативных последствий для экономики:

$J_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum }E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{J}_2\mathrm{<mo>=</mo>}-{\eta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_0+c_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\eta }_{2}q\mathrm{,}$

Имеется значительное количество статей, где оптимизируются разные параметры и аспекты пандемии. Например, в [52] делается прогноз оптимального периода карантина для трехфазной модели SIRD; в [10] осуществляется проектирование оптимального управления импульсными моделями SQEIAR.

Многие работы связаны с оптимизацией ресурсов и логистикой во время пандемии. В [79] предлагается осуществлять назначение некоторых машин скорой помощи только для обслуживания больных, инфицированных COVID-19, чтобы снизить вероятность заражения персонала и снизить вероятность простоя машин и уменьшить время реагирования. Это делается в два этапа: сначала производится оптимизация групп скорой помощи с максимальным охватом экстренных вызовов, а затем решается приблизительная модель очереди гиперкубов (AHQM) для оценки производительности первого этапа. Это хорошо известная модель; авторы приспосабливают ее к особенностям течения пандемии коронавируса. Сделаны следующие выводы: 1) время реагирования (в Мюнхене) не уменьшается из-за низкого количества вызовов и низкой вероятности заражения; 2) однако при длительном времени изоляции и высокой вероятности заражений все рассмотренные аспекты (снижение вероятности заражения персонала, снижение простоя машин и снижение времени реагирования) будут улучшаться.

В [95] рассматривается оптимизация ресурсов, в частности, оптимизируется распределение аппаратов ИВЛ. Особенности модели включают неопределенность непроверенных бессимптомных инфекций и краткосрочную миграцию людей. Скорость передачи вируса меняется в пространстве и времени в зависимости от немедикаментозных мер $—$ масок, социального дистанцирования и изоляции. Минимизируется общее ожидаемое число новых инфицированных и умерших людей. Находится компромисс между потерями (с весом) и рисками катастрофических сценариев.

В [86] указано, что вероятностные (краткосрочные) прогнозы требуются для эффективного распределения ресурсов.

Наконец, среди моделей поведенческой экономики можно отметить статью [29] о влиянии домашних животных на субъективное благополучие людей во время пандемии. В ней производится многомерный анализ данных 215 владельцев домашних животных в США на основе теории основных потребностей (как людей, так и животных): в автономии, родстве и компетентности. Оказалось, что поддержка потребностей домашних животных повышает субъективное благополучие и уменьшает стресс и одиночество людей, вызванные социальной изоляцией во время пандемии COVID-19. Кроме того, психологический стресс снижает субъективное благополучие, а ощущение одиночества во время COVID-19 $—$ нет.

Компьютерные вычислительные модели. Во многих моделях вычисления столь громоздки, что они должны производиться на мощных компьютерах; кроме того, для некоторых моделей разработаны специфические компьютерные методы (например, основанные на искусственном интеллекте, обучении нейросетей и т. п.). В частности, это касается статистических моделей временных рядов.

В [57] используется серая модель Ричардса GERM $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,}{e}^{at}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Она рассчитывается с помощью генетического алгоритма и показывает, по мнению авторов, лучшие результаты, чем семь других пороговых моделей. Модель Ричардса является моделью роста и предсказывает ежедневное число подтвержденных случаев заражения.

Список наиболее употребительных таких моделей также приведен в [57]:

GM $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ модель <<серый ящик>> с одной переменной и одним уравнением первого порядка;

Verhulst $—$ модель <<серый ящик>> Ферхюльста;

ARGM $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ авторегрессионная модель <<серый ящик>>;

ONGM $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ оптимизированная модель NGM $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,}k\mathrm{,}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$;

ENGM $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ точная неоднородная модель <<серый ящик>>;

ARIMA $—$ авторегрессионная проинтегрированная модель подвижного среднего;

NGBM $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ нелинейная модель <<серый ящик>> Бернулли;

GRM $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ модель <<серый ящик>> Ричардса;

GERM $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,}{e}^{at}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ расширенная (extend) модель <<серый ящик>> Ричардса.

В классической модели роста используется уравнение Ферхюльста

$C^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}rC\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(1-\frac{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{K}\right)\mathrm{,}$ ь(16)

где $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ кумулятивное число заражений. Логистическая модель Ричардса является его обобщением:

$C^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}rC\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(1-{\left(\frac{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{K}\right)}^{\alpha }\right)\mathrm{.}$ (17)

В результате дальнейшего обобщения авторы приходят к расширенной серой модели Ричардса GERM $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,}{e}^{at}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$\frac{d{x}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dt}+a{x}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b{e}^{at}+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\gamma }\mathrm{<mo>;</mo>}$ (18)

если $\gamma \mathrm{<mo>=</mo>0}$, то GERM $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,}{e}^{at}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \text{GM}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,}{e}^{at}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $y^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{1-\gamma }$, уравнение примет вид

$\frac{d{y}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dt}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a{y}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b{e}^{at}+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$ (19)

его решение

$y^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(y^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{a+1}}-\frac{c}{a}\right)e^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\frac{b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{a+\alpha }}{e}^{\alpha t}+\frac{c}{a}\mathrm{<mo>;</mo>}$

отсюда получается

${\widehat{x}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\widehat{x}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\widehat{x}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

На основе этого строится численная схема решения по методу трапеций, а затем оптимизируются параметры, входящие в уравнение, на основе реальных данных (с помощью разных метрик, в частности, RMSE и др.). Этот метод хорошо работает даже для небольших выборок, а для больших выборок лучше подходит процесс ARIMA.

В [82] с помощью агентного моделирования изучается модель SEIR для 57 наций, рассматривающая кинетику смерти и процесс от заражения до смерти. Данные взяты из базы до 26.04.2020 г. Модель SEIR не дает хороших долгосрочных прогнозов из-за неопределенности параметров. Для каждой страны производились статистическое усреднение и численная оптимизация: оптимизируется разница между предсказаниями модели с реальными данными из базы. Было построено две модели и проведено сравнение между ними.

Краткий обзор других тем компьютерных моделей. Модели эпидемии COVID-19 работают не очень хорошо: обнаруживаются разброс прогнозов, заниженные прогнозы, что затрудняет принятие решений и выработку политики. Поэтому в [32] предлагается еще одна модель, рассматривающая отношение числа заражений к смертности (вероятно, речь идет о выявленных заражениях). В указанной работе уже говорится о переходе COVID-19 к сезонности, т.е. к зависимости от окружающей температуры.

В [41] строится причинно-следственная связь по Грейнджеру и производится регрессионный анализ по следующим переменным: температура, осадки, солнечная радиация, относительная влажность, <<реакция на COVID-19>> для 36 стран 5 континентов. Вычисления производились с помощью обучения случайного леса. Самым важным параметром оказалась температура воздуха (некоторые другие параметры вовсе оказались незначимыми) $—$ в 24 странах из 36. Сильнее всего она влияет на рассматриваемое отношение числа заражений к смертности в тропических странах, так что прогнозы будут точнее, если включать в них температуру воздуха.

В [7, 12, 24, 42] рассматриваются модели, построенные на основе рентгеновских снимков. В частности, в [7] изучается построение прогноза на основе теории вероятностей. Прогнозируются вероятности возникновения и продолжительность периодов развития болезни, а фактическими данными служат рентгеновские снимки грудной клетки больных. Они обрабатываются с помощью нейросети. В [24] рассматривается сегментация рентгеновских изображений с помощью машинного обучения.

Имеются также исследования, связанные с соцсетями, социальными отношениями. Например, в [23] изучается влияние процесса нагнетания паники со стороны средств массовой информации и соцсетей на общество в связи с распространением пандемии COVID-19, а в [65] производится классификация историй о коронавирусе на сайтах проверки фактов. Пандемия COVID-19 затронула все стороны жизни, в том числе и вызвала страхи и появление фейковых новостей.

Некоторые статьи посвящены запретительным мерам на перемещение в связи с распространением COVID-19 и их осуществлению и контролю с помощью информационных технологий. Так, в [33] на основе модели SEIQR рассматривается протокол отслеживания контактов при чрезмерном распространении COVID-19. В [45] производится моделирование с помощью эволюционной игры для пограничного контроля в условиях пандемии.

В [80] рассматриваются передача инфекции и профилактика в мегаполисах. Для транспортных потоков строится соответствующая система реакции-диффузии. На процесс реакции-диффузии влияют ограничение передвижения, социальное дистанцирование и тестирование. При этом получаются следующие выводы: ограничение передвижения между пригородными регионами оказывается полезным только тогда, когда там имеются разные числа воспроизводства. Социальное дистанцирование снижает пик заражения в пригородах. В мегаполисе пик заражений снижается, если в пригородах $—$ рассеивается (т.е. некоторые меры приводят не к улучшению ситуации в целом, а к перераспределению случаев заражения). Эффективность тестирования тоже с трудом поддается оценке, поскольку сильно зависит от мест размещения бригад, производящих тестирование, и здесь получаются сильно неоднозначные результаты.