Групповой анализ системы McKean

Аннотация

В работе исследуется кинетическая система уравнений McKean двух групп частиц. Система представляет собой кинетическое уравнение Больцмана, и для этой модели импульс и энергия не сохраняются. При помощи методов группового анализа получено решение, представляющее плотность частиц газа. Аналогичным образом можно найти точные решения для других кинетических моделей.

Полный текст

1. Введение. Метод группового анализа является широко известным методом поиска решений, в частности, инвариантных решений уравнений математической физики. Подробно этот метод описан в [5, 10, 15]. Общее описание уравнения Больцмана описано в [3]. В [6, 7] О. В. Ильин получил оптимальную систему одномерных подалгебр и классов инвариантных решений для стационарной кинетической модели Бродуэлла и одномерного интегро-дифференциального уравнения Больцмана для максвелловских частиц с неупругими столкновениями. В [9] приведены результаты группового анализа уравнений Больцмана и Власова. Решения кинетических систем, использующие разложения Пенлеве, были найдены в [4, 8, 13, 14]. Асимптотическая устойчивость для моделей Больцмана, а также численное исследование представлены в [1, 2, 11, 12].

Рассмотрим одномерную систему McKean (см. [4, 13, 14]):

${\partial }_{t}u+{\partial }_{x}u\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in ℝ\mathrm{,}t\mathrm{<mo>></mo>0,}$ (1)

${\partial }_{t}v-{\partial }_{x}v\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (2)

Здесь $u\mathrm{<mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $v\mathrm{<mo>=</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ плотности групп частиц со скоростями $c\mathrm{<mo>=</mo>1,}-1$, $\epsilon$ $—$ параметр Кнудсена из кинетической теории газов. Данная система описывает одноатомный разреженный газ, состоящий их двух групп частиц. Система McKean является неинтегрируемой системой, т.е. для нее тест Пенлеве неприменим (см. [13]). Взаимодействие происходит следующим образом. Частица из первой группы, взаимодействуя с частицей второй группы, переходят в две частицы второй группы. Аналогично две частицы второй группы, взаимодействуя сами с собой, переходят в частицу первой группы и второй группы соответственно.

2. Формулы группового анализа. Рассмотрим систему уравнений в частных производных

$F_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{,}{u}_t\mathrm{,}{u}_x\mathrm{,}{u}_{tt}\mathrm{,}{u}_{xt}\mathrm{,}{u}_{xx}\mathrm{,}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (3)

$F_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{,}{v}_t\mathrm{,}{v}_x\mathrm{,}{v}_{tt}\mathrm{,}{v}_{xt}\mathrm{,}{v}_{xx}\mathrm{,}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (4)

где $u\mathrm{<mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $v\mathrm{<mo>=</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ являются неизвестными функциями. Согласно методу группового анализа, ищем продолженный оператор в форме

$\underset{1}{X}\mathrm{<mo>=</mo>}\xi \frac{\partial }{\partial x}+\eta \frac{\partial }{\partial t}+\zeta \frac{\partial }{\partial u}+\chi \frac{\partial }{\partial v}+{\zeta }_1\frac{\partial }{\partial u_x}+{\zeta }_2\frac{\partial }{\partial u_t}+{\chi }_1\frac{\partial }{\partial v_x}+{\chi }_2\frac{\partial }{\partial v_t}\mathrm{,}$

где $\xi \mathrm{<mo>=</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\eta \mathrm{<mo>=</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\chi \mathrm{<mo>=</mo>}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Здесь

$X\mathrm{<mo>=</mo>}\xi \frac{\partial }{\partial x}+\eta \frac{\partial }{\partial t}+\zeta \frac{\partial }{\partial u}+\chi \frac{\partial }{\partial v}$ (5)

является инфинитезимальным оператором группы. Инвариант группы и оператора (5) является функцией $I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$XI\mathrm{<mo>=</mo>}\xi \frac{\partial I}{\partial x}+\eta \frac{\partial I}{\partial t}+\zeta \frac{\partial I}{\partial u}+\chi \frac{\partial I}{\partial v}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ (6)

Координаты первого продолжения оператора определяются следующим образом:

${\zeta }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_x{D}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_t{D}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\zeta }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_x{D}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_t{D}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

${\chi }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v_x{D}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v_t{D}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\chi }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v_x{D}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v_t{D}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $D_x$, $D_t$ являются операторами полного дифференцирования по $x$ и $t$:

$D_x\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial }{\partial x}+u_x\frac{\partial }{\partial u}+v_x\frac{\partial }{\partial v}+u_{xx}\frac{\partial }{\partial u_x}+u_{xt}\frac{\partial }{\partial u_t}+v_{xx}\frac{\partial }{\partial v_x}+v_{xt}\frac{\partial }{\partial v_t}+\dots \mathrm{,}$

$D_t\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial }{\partial t}+u_t\frac{\partial }{\partial u}+v_t\frac{\partial }{\partial v}+u_{xt}\frac{\partial }{\partial u_x}+u_{tt}\frac{\partial }{\partial u_t}+v_{xt}\frac{\partial }{\partial v_x}+v_{tt}\frac{\partial }{\partial v_t}+\dots \mathrm{.}$

Имеем

${\zeta }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\zeta }_x+{\zeta }_u{u}_x+{\zeta }_v{v}_x-u_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_x+{\xi }_u{u}_x+{\xi }_v{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_x+{\eta }_u{u}_x+{\eta }_v{v}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (7)

${\zeta }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\zeta }_t+{\zeta }_u{u}_t+{\zeta }_v{v}_t-u_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_t+{\xi }_u{u}_t+{\xi }_v{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_x+{\eta }_u{u}_t+{\eta }_v{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{и}{\chi }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }_x+u_x{\chi }_u+v_x{\chi }_v-v_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_x+u_x{\xi }_u+v_x{\xi }_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_x+u_x{\eta }_u+v_x{\eta }_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (8)

${\chi }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\xi }_t+{\xi }_u{u}_t+{\xi }_v{v}_t-v_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_t+{\xi }_u{u}_t+{\xi }_v{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_t+{\eta }_u{u}_t+{\eta }_v{v}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (9)

Потребуем, чтобы

$\underset{1}{X}{F}_1{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{F_1\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_2\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\underset{1}{X}{F}_2{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{F_1\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_2\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ (10)

Соотношения (10) называются инвариантными условиями.

3. Приложение метода группового анализа. Подставим

$F_1\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_t+u_x-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{F}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_t-v_x+\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

в инвариантные условия (10):

$\underset{1}{X}{F}_1{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{F_1\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_2\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\zeta }_2+{\zeta }_1-\frac{2}{\epsilon }v\chi +\frac{1}{\epsilon }u\chi +\frac{1}{\epsilon }v\zeta \right){\mathrm{<mo>|</mo>}}_{F_1\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_2\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{,}$ (11)

$\underset{1}{X}{F}_2{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{F_1\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_2\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\chi }_2-{\chi }_1+\frac{2}{\epsilon }v\chi -\frac{1}{\epsilon }\chi u-\frac{1}{\epsilon }v\zeta \right){\mathrm{<mo>|</mo>}}_{F_1\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_2\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{.}$ (12)

Заменяя $u_t$, $v_t$ на $-u_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\epsilon$, $v_x-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\epsilon$ и принимая во внимание выражения (7)$–$(9) для координат первого продолжения из первого уравнения (11), имеем:

$u_x\mathrm{<mo>:</mo>}-{\xi }_t-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }_u+{\xi }_v\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\eta }_t+{\eta }_u\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{\epsilon }{\eta }_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\xi }_x+{\eta }_x\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$u_x^2\mathrm{<mo>:</mo>}{\xi }_u-{\eta }_u-{\xi }_u+{\eta }_u\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$v_x\mathrm{<mo>:</mo>}{\zeta }_v-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_v+{\zeta }_v-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_v\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$u_x{v}_x\mathrm{<mo>:</mo>}-{\xi }_v+{\eta }_v-{\xi }_v+{\eta }_v\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$\mathrm{1<mo>:</mo>}{\zeta }_t+{\zeta }_u\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\zeta }_v\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_t-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_u\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_v\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\zeta }_x-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_x-\frac{2}{\epsilon }v\chi +\frac{1}{\epsilon }u\chi +\frac{1}{\epsilon }v\zeta \mathrm{.}$

Из второго уравнения (12):

$u_x\mathrm{<mo>:</mo>}{\chi }_u-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_u-{\chi }_u-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_u\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$u_x{v}_x\mathrm{<mo>:</mo>}{\xi }_u+{\eta }_u+{\xi }_u+\eta -u\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$v_x\mathrm{<mo>:</mo>}{\chi }_v-{\xi }_t-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }_u+{\xi }_v\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\eta }_t-{\eta }_u\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\eta }_v\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_v-{\chi }_v+{\xi }_x+{\eta }_x-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_v\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$v_x^2\mathrm{<mo>:</mo>}-{\xi }_v-{\eta }_v+{\xi }_v+{\eta }_v\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$\mathrm{1<mo>:</mo>}{\chi }_t+{\chi }_u\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\chi }_v\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_t+\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_u\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-$

$-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_v\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\chi }_x-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_x+\frac{2}{\epsilon }v\chi -\frac{1}{\epsilon }\chi u-\frac{1}{\epsilon }v\zeta \mathrm{.}$

Перепишем систему в более компактной форме:

${\eta }_v\mathrm{<mo>=</mo>}{\xi }_v\mathrm{,}2\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_u-{\xi }_t+{\eta }_t+{\eta }_x-{\xi }_x\mathrm{<mo>=</mo>0,}{\zeta }_v-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_v\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left({\zeta }_u-{\zeta }_v-{\eta }_t-{\eta }_u\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\eta }_v\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\eta }_x\right)+{\zeta }_x+{\zeta }_t-\frac{2}{\epsilon }v\chi +\frac{1}{\epsilon }u\chi +\frac{1}{\epsilon }v\zeta \mathrm{<mo>=</mo>0,}$ $$

${\eta }_u\mathrm{<mo>=</mo>}-{\xi }_u\mathrm{,}{\chi }_u+\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_u\mathrm{<mo>=</mo>0,}2\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_v-{\eta }_t-{\xi }_t+{\eta }_x+{\xi }_x\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

$\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left({\chi }_u-{\chi }_v+{\eta }_t+\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_u-\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}^2-uv\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\eta }_v-{\eta }_x\right)+{\chi }_t-{\chi }_x+\frac{2}{\epsilon }v\chi -\frac{1}{\epsilon }\chi u-\frac{1}{\epsilon }v\zeta \mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Интегрируя систему, получаем

$\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\alpha t+\beta \mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\alpha x+\gamma \mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\alpha u\mathrm{,}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\alpha v\mathrm{,}$

где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ $—$ произвольные константы.

Характеристическая система для (6) имеет вид

$\frac{dt}{\eta }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{dx}{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{du}{\zeta }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{dv}{\chi }\text{или}\frac{dt}{\alpha t+\beta }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{dx}{\alpha x+\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{du}{-\alpha u}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{dv}{-\alpha v}\mathrm{.}$

Интегрируя, получаем

$\omega \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\alpha x+\gamma }{\alpha t+\beta }\mathrm{,}$

где $\alpha$, $\gamma$, $\beta$ $—$ константы интегрирования. Инвариантное решение будем искать в виде

$u\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}v\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ (13)

где $\Phi$, $\Psi$ $—$ неизвестные функции автомодельных переменных, которые требуется определить. Подставляем (13) в (1)$–$(2):

$\frac{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Phi +\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t-\alpha x+\beta -\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }^{\prime }}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\Psi }^2-\Phi \Psi }{{\alpha }^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\epsilon }\mathrm{,}$

$\frac{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Psi -\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t+\alpha x+\beta +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Psi }^{\prime }}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3}\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{{\Phi }^2-\Psi \Psi }{{\alpha }^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\epsilon }$

или

${\alpha }^2\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{)}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{\Psi }^2-\Phi \Psi \mathrm{,}{\alpha }^2\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{)}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{\Psi }^2-\Phi \Psi$

(здесь дифференцирование производится по переменной $\omega$ ). Интегрируя, получим

$\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1+\omega }{1-\omega }\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}C\mathrm{,}$

где $C$ $—$ константа интегрирования. Для нахождения функции $\Psi$ имеем упрощенное уравнение Риккати

${\Psi }^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2{\omega }^2-2\omega }{\epsilon {\alpha }^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\Psi }^2+\left(\frac{-C-\epsilon {\alpha }^2+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\epsilon {\alpha }^2+C\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\omega -\epsilon {\alpha }^2{\omega }^2}{\epsilon {\alpha }^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\Psi \mathrm{.}$

Можем записать частное решение при $C\mathrm{<mo>=</mo>0}$:

$\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{2\epsilon {\alpha }^2}{2+2{\alpha }^2\epsilon C_1+2\omega \epsilon {\alpha }^2{C}_1+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ln \frac{\omega +1}{\omega -1}}\mathrm{,}\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1+\omega }{1-\omega }\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (14)

где $C_1$ $—$ произвольная константа интегрирования. Неотрицательность решения может быть достигнута посредством выбора константы $C_1$ в области $x$, $t$.