О спектральных свойствах одного разностного оператора с инволюцией

Аннотация

Рассматривается разностный оператор с инволюцией, действующий в комплексном гильбертовом пространстве l₂(ℤ). При помощи метода подобных операторов он приводится к диагональному (блочно—диагональному) виду, что позволяет получить различные спектральные характеристики исходного оператора и построить для него биинвариантные подпространства.

Полный текст

1. Введение

В последнее время (см., например, [5—11,19,22,24,30] и ссылки в них) рассматривались дифференциальные операторы первого порядка с инволюцией. Исследование таких операторов производилось различными методами, например, в [8–10] — резольвентным методом.

В [5, 6, 19, 22, 24] применялся к дифференциальным операторам с инволюцией метод подобных операторов. В настоящей работе рассматривается не дифференциальный, а разностный оператор с инволюцией. С помощью метода подобных операторов получены условия его диагонализации (блочной диагонализации), что позволяет оценивать спектральные характеристики этого оператора. Отметим, что проблема диагонализации некоторых классов операторов рассматривалась, например, в [12, 21, 26].

Отметим, что применяется та же модификация метода подобных операторов, что при исследовании дифференциальных операторов первого порядка с инволюцией в [19, 22, 24] (без предвари- тельного преобразования подобия). Эта модификация представлена в работах [2, 23], на теоремы из этих работ мы и будем опираться в дальнейшем. Другие примеры применения этой модификации можно найти в [3].

Перейдем к постановке задачи. В работе, как обычно, через $\mathbb{Z}$ обозначена группа целых чисел, $\mathbb{N}$ $—$ множество натуральных чисел, ${\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\cup \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$. Везде символом $$ обозначено гильбертово пространство и символом $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в $\mathcal{H}$, с нормой

$\parallel X\parallel \underset{\parallel x\parallel \le 1}{\sup }\parallel Xx\parallel$, $x\in \mathcal{H}$, $X\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Введем в рассмотрение следующие два пространства последовательностей, вначале напомнив, что под последовательностью мы понимаем отображение из $\mathbb{Z}$ в $ℂ$. Введем в рассмотрение гильбертово пространство $l_2\mathrm{<mo>=</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ суммируемых с квадратом модуля комплексных последовательностей $x:\mathbb{Z}\to ℂ$. Скалярное произведение в $l_2$ задается формулой

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}x\mathrm{,}y:\mathbb{Z}\to ℂ\mathrm{,}$

и норма, порождаемая этим скалярным произведением, имеет вид

$\parallel x{\parallel }_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{.}$

Векторы $e_k$, $k\in \mathbb{Z}$, удовлетворяющие условию $e_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\delta }_{nk}$, $n\mathrm{,}k\in \mathbb{Z}$, ${\delta }_{nk}$ — символ Кронекера, образуют безусловный ортонормированный базис в $l_2$. Также в дальнейшем будем использовать банахово пространство $l_1\mathrm{<mo>=</mo>}{l}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ комплексных суммируемых последовательностей, т.е. $x:\mathbb{Z}\to ℂ$, $x\in l_1$,

$\parallel x{\parallel }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo><</mo>}\infty \mathrm{.}$

Определение 1 (см.х[20]) Оператор $A:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$ называется нормальным, если $\overline{D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{H}$ и выполнены 2 условия: $D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\parallel Ax\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\parallel A^{\mathrm{<mo>*</mo>}}x\parallel$, для всех $x\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. При этом если $A\mathrm{<mo>=</mo>}{A}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, то оператор $A$ называется самосопряженным.

В пространстве $l_2$ рассмотрим линейный оператор $A:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset l_2\to l_2$, действующий по формуле $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Ax\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}an+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $n\in \mathbb{Z}$, $a\mathrm{,}b\in ℂ$, $x\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, с областью определения

$D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in l_2\mathrm{<mo>:</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}nx\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Рассматриваемый оператор $A$ является нормальным. В случае, если $a\mathrm{,}b\in ℝ$, то оператор $A$ будет самосопряженным.

Спектральные характеристики оператора $A$ известны. А именно, его простыми изолированными собственными значениями являются числа ${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}an+b$, $n\in \mathbb{Z}$, соответствующими собственными векторами $—$ векторы стандартного базиса $\mathrm{<mo>\{</mo>}{e}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ пространства $l_2$, спектральные проекторы Рисса $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\sigma }_n\mathrm{,}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где ${\sigma }_n\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}an+b\mathrm{<mo>\}</mo>}$, задаются формулой $P_{n}x\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}_n$, $n\in \mathbb{Z}$. Также введем обозначение

$P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo>}\le n}}{P}_i\mathrm{,}n\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{.}$

Оператор $A$ в дальнейшем будет играть роль невозмущенного оператора. Также важно отметить выполнение двух условий, которые понадобятся для возможности применения модификации метода подобных операторов из [2] (это условие разделенности спектра (1) и условие (6)):

$\underset{i\ne j}{\inf }dist{\sigma }_i\mathrm{,}{\sigma }_{j}a\underset{i\in }{\sup }\sum _{n\in \mathbb{Z}\backslash i}{ai-n}^{-2}\infty \mathrm{.}$

Возмутим оператор $A$ ограниченным оператором $B\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, действующим по формуле

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Bx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{c}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+c_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$

где последовательности $c_1:\mathbb{Z}\to ℂ$, $c_2:\mathbb{Z}\to ℂ$, $c_0:\mathbb{Z}\to ℂ$, суммируемы с квадратом, т.е. $c_1\mathrm{,}{c}_2\mathrm{,}{c}_0\in l_2$.

Напомним, что оператор $\mathcal{E}\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называется инволюцией, если ${\mathcal{E}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}I$, где $I$ $—$ тождественный оператор в $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В нашем случае $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{E}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $n\in \mathbb{Z}$, $\mathcal{E}\mathrm{<mo>=</mo>}{l}_2$, поэтому ${\mathcal{E}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}I$ и $B$ $—$ оператор с инволюцией.

Далее рассматривается возмущенный оператор $A-B:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset l_2\to l_2$. Сразу же остановимся на одном важном вопросе. Оператор $A-B$ не есть разностный аналог дифференциального оператора первого порядка с инволюцией. Это совершенно другой оператор, не связанный с дифференциальным, но его спектральные свойства удобно изучать с помощью той же модификации метода подобных операторов из [2, 23], что и для дифференциального оператора с инволюцией. Более того, для дифференциального оператора с инволюцией вначале применяют предварительное преобразование подобия. Для оператора $A-B$ такого делать не надо. А также отметим, что оператор $A-B$ можно рассматривать как хороший иллюстративный пример применения метода, так как для него далее будут построены три различные допустимые тройки.

Отметим, что рассматриваемая в работе проблема близка к проблеме оценки собственных значений бесконечных трехдиагональных матриц со скалярными или матричными элементами (см. [7,25,27$–$29,31$–$33]). При этом в [7] исследование также проводилось с помощью метода подобных операторов, но из=за специфики рассматриваемых в ней блочных трехдиагональных матриц использовалась другая модификация метода подобных операторов, разработанная в статье [4]. В [27$–$29, 31$–$33] использовался другой подход к решению задачи оценки собственных значений, связанный с приближениями их собственными значениями усеченных (конечных) трехдиагональных матриц.

Трехдиагональные матрицы специального типа также возникают при дискретизации дифференциальных уравнений второго порядка. У них последовательности $c_1\mathrm{,}{c}_2:\mathbb{Z}\to ℂ$ — постоянные и каждый элемент этих последовательностей равен единице, а последовательность $c_0:\mathbb{Z}\to ℂ$ нулевая. Они не укладываются в приводимую ниже схему. Поэтому для них удобны другие модификации метода подобных операторов (см. [13-16]). Заметим, что если возмущение $B$ рассматривать как элемент пространства $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то и для исследуемого оператора $A-B$ подойдет одна из модификаций метода подобных операторов из [15, 16], связанная с использованием в качестве пространства допустимых возмущений пространства $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Оператор—возмущение $B\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$принадлежит более узкому операторному пространству, вложенному в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, двустороннему идеалу операторов Гильберта— Шмидта ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Как обычно, норма в ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется формулой $\parallel X{\parallel }_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X{X}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}$. Здесь $tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X{X}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ след оператора $X{X}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, принадлежащего двустороннему идеалу ${\mathcal{G}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ядерных операторов из $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с нормой

$\parallel X{\parallel }_1\mathrm{<mo>=</mo>}tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X{X}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{s}_n\mathrm{,}$

где $s_n$ $—$ последовательность $s$ =чисел оператора $X$. Формула $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X{Y}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяет скалярное произведение в ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Мы будем использовать стандартные свойства идеала ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из, например, [17, 18].

Пусть $\mathrm{<mo>\{</mo>}{Q}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ система ортопроекторов из $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, образующая разложение единицы, т.е. обладающая свойствами $Q_n{Q}_m\mathrm{<mo>=</mo>}{Q}_m{Q}_n\mathrm{<mo>=</mo>0}$ при $n\ne m$ и

${\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{Q}_{n}x\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{,}x\in l_2\mathrm{.}$

Тогда в ${}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно ввести эквивалентную норму по формуле

$\parallel X{\parallel }_2^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\in \mathbb{Z}}}\parallel P_{i}X{P}_j{\parallel }_2^2\mathrm{.}$

Оператор Гильберта$–$ Шмидта имеет матрицу Гильберта$–$ Шмидта: для $X\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $X\sim \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при выполнении условия

${\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_{ij}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo><</mo>}\infty$

имеем

$\parallel X{\parallel }_2^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_{ij}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{.}$

Возмущение $B$, очевидно, принадлежит ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и

$\parallel B{\parallel }_2^2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}{c}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{c}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{c}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{.}$

Перейдем к краткому описанию метода.

2. Об используемом методе исследования

Определение 2 (см.[4])  Два линейных оператора $A_i:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathcal{H}\subset \to \mathcal{H}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор $U\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что

$UD\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{A}_{1}Ux\mathrm{<mo>=</mo>}U{A}_{2}x\mathrm{,}x\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Оператор $U$ называется оператором преобразования оператора $A_1$ в оператор $A_2$.

Подобные операторы интересны тем, что зная спектральные свойства одного оператора, мы знаем и спектральные свойства другого. Соответствующий результат удобно привести в виде следующей леммы.

Лемма 1  Пусть $A_i:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, $—$ подобные операторы и $U\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ оператор преобразования. Имеют место следующие утверждения.

1.  $Im{A}_1\mathrm{<mo>=</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Im{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

2.  $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\sigma }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, $—$ спектр, дискретный, непрерывный и остаточный спектры операторов $A_i$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$.

3.  Пусть $e$ $—$ собственный вектор оператора $A_2$, отвечающий собственному значению $\lambda$, $A_{2}e\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda e$; тогда $Ue$ $—$ собственный вектор оператора $A_1$, причем $A_{1}Ue\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda Ue$.

4.  Если оператор $A_2$ допускает разложение $A_2\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{21}\oplus A_{22}$, где $A_{2k}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_2{\mathrm{<mo>|</mo>}}_k$, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, $—$ сужение $A_2$ на ${\mathcal{H}}_k$ относительно прямой суммы $\mathcal{H}{\mathrm{<mo>=</mo>}}_1\mathcal{H}{\oplus }_2$ инвариантных относительно $A_2$ подпространств ${\mathcal{H}}_1$, ${\mathcal{H}}_2$, то подпространства ${\tilde{\mathcal{H}}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{H}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, инвариантны относительно оператора $A_1$ и $A_1\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{11}\oplus A_{12}$, где $A_{1k}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_1\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{\mathcal{H}}}_k$, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, относительно разложения $\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mathcal{H}}}_1\oplus {\tilde{\mathcal{H}}}_2$. Кроме того, если $P$ $—$ проектор, осуществляющий разложение $\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{H}}_1\oplus {\mathcal{H}}_2$ (т.е. ${\mathcal{H}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}ImP$ $—$ образ проектора $P$, ${\mathcal{H}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}Im\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I-P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ образ дополнительного проектора $I-P$ ), то проектор $\tilde{P}\in End\mathcal{H}$, осуществляющий разложение $\mathcal{H}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\mathcal{H}}}_1\oplus {\tilde{\mathcal{H}}}_2$, определяется формулой $\tilde{P}\mathrm{<mo>=</mo>}UP{U}^{-1}$.

5.  Если оператор $A_2$ является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов $T_2:{ℝ}_{+}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (полугруппы класса $C_0$ ), то оператор $A_1$ является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов

$T_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}U{T}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}^{-1}\mathrm{,}t\ge \mathrm{0,}{T}_1:{ℝ}_{+}\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Определение 3 (см. [2, 23])  Пусть $\mathcal{M}\subset \left|\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right.$ $—$ банахово пространство с нормой $\parallel \cdot {\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ и $J:\mathcal{M}\to \mathcal{M}$, $\Gamma :\mathcal{M}\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $J\mathrm{,}\Gamma \in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ трансформаторы (т.е. линейные операторы, действующие в пространстве линейных операторов). Тройку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{M}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ назовем допустимой тройкой для оператора $A$, а $\mathcal{M}$ $—$ допустимым пространством возмущений, если выполнены следующие условия: [ (i)]

(i). $J$ и $\Gamma$ $—$ непрерывные трансформаторы, причем $J$ $—$ проектор и $J^2\mathrm{<mo>=</mo>}J$;

(ii). $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и имеют место равенства $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{<mo>=</mo>}X-JX$ для любого $X\in$, выполняемые на векторах из $D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, причем $Y\mathrm{<mo>=</mo>}\Gamma X$ единственное решение уравнения $AY-YA\mathrm{<mo>=</mo>}X-JX$, удовлетворяющее условию $JY\mathrm{<mo>=</mo>0}$;

(iii). $X\Gamma Y\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Y\in \mathcal{M}$ для любых $X\mathrm{,}Y\in \mathcal{M}$, и существует такая постоянная $\gamma \mathrm{<mo>></mo>0}$, что

$\parallel \Gamma \parallel \le \gamma \mathrm{,}\max \mathrm{<mo>\{</mo>}\parallel X\Gamma Y{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Y{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\le \gamma \parallel X{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\parallel Y{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$

для любых $X\mathrm{,}Y\in$;

(iv). $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}JY\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ для всех $X\mathrm{,}Y\in \mathcal{M}$;

(v). для любых $X\in \mathcal{M}$ и $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ можно указать такое число ${\lambda }_{\epsilon }\in \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что

$\parallel X{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-{\lambda }_{\epsilon }I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\parallel \le \epsilon \mathrm{.}$

Отметим, что для одного невозмущенного оператора иногда можно построить несколько разных допустимых троек. Мы построим три допустимые тройки.

Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{M}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ некоторая допустимая тройка. Оператор преобразования оператора $A-B$, $B\in \mathcal{M}$, в оператор $A-JX$, $X\in \mathcal{M}$, имеющий по сравнению с $A-B$ более простую структуру, в виде $U\mathrm{<mo>=</mo>}I+\Gamma X$. Мы будем рассматривать два случая: $JB\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и $JB\ne 0$.

Теорема 1. (см.[2, 23]) Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{M}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ допустимая для оператора $A$ тройка, $JB\mathrm{<mo>=</mo>0}$, и выполнено условие

$3\gamma \parallel B{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\parallel J\parallel \mathrm{<mo><</mo>1.}$                                                    (1)

Тогда оператор $A-B$ подобен оператору $A-J{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, т.е. имеет место равенство

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+\Gamma X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+\Gamma X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A-J{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                 (2)

где $X\in \mathcal{M}$ $—$ решение уравнения

$\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}B\Gamma X-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{,}$                        (3)

причем единственное. Оно может быть найдено методом простых итераций $X_{n+1}\mathrm{<mo>=</mo>}\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $n\ge 0$, где $X_0\mathrm{<mo>=</mo>0,}{X}_1\mathrm{<mo>=</mo>}B\mathrm{,}\dots$.

Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{M}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ допустимая для оператора $A$ тройка, $JB\ne 0$ и выполнено условие

$4\gamma \parallel B{\parallel }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\parallel J\parallel \mathrm{<mo><</mo>1.}$

Тогда имеет место равенство (2), где оператор $X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in \mathcal{M}$ $—$ решение уравнения

${\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}B\Gamma X-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}JB-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\Gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{,}$      (4)

и оно может быть найдено методом простых итераций $X_{i+1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>0,1,2,}\dots$, $X_0\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Заметим, что условия определения 3 $—$ это условия корректного определения операторов $J\mathrm{,}\Gamma \in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и, в частности, операторов $\Phi :\mathcal{M}\to \mathcal{M}$, ${\Phi }_1:\mathcal{M}\to \mathcal{M}$ в правой части уравнений (3), (4).

Следствие 1 Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{M}\mathrm{,}J\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ допустимая тройка для оператора $A$, оператор $B\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет условию (1) и оператор $A-J{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, где $X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ $—$ решение нелинейного операторного уравнения (3), является генератором полугруппы операторов $\tilde{T}:{ℝ}_{+}\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда оператор $A-B$ является генератором полугруппы операторов $T:{ℝ}_{+}\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определенной равенствами

$T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+\Gamma X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\tilde{T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+\Gamma X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{,}t\in {ℝ}_{+}\mathrm{.}$

3. Основные результаты

Применим к исходному оператору $A-B$ все рассуждения из работы [2], еще раз подчеркнув, что он полностью удовлетворяет условиям, накладываемым на возмущенный оператор в этой работе.

Начнем с построения семейства трансформаторов $J_k$, ${\Gamma }_k\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$, используя для этого матричный подход, согласно [2]. Также обозначим $J$ и $\Gamma$ через $J_0$ и ${\Gamma }_0$ соответственно.

Трансформаторы $J\mathrm{,}\Gamma \in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $J_k\mathrm{,}{\Gamma }_k\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$, определяются для оператора $X\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, имеющего матрицу $X\sim \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{,}j\in \mathbb{Z}$, через свои матрицы следующим образом:

$\begin{array}{l}{JX}_{ij}\left\{\begin{array}{ll}{x}_{ij}\mathrm{,}& ij\mathrm{,}\\ \mathrm{0,}& i\ne j\mathrm{,}\end{array}\right.\\ {J_{k}X}_{ij}\left\{\begin{array}{ll}{x}_{ij}\mathrm{,}& \max ij\le k\mathrm{,}\\ x_{ij}& ij\mathrm{,}ik\mathrm{,}\\ \mathrm{0,}& \mathrm{в} \mathrm{противном} \mathrm{случае}\end{array}\right.\begin{array}{}\\ \\ \end{array}\end{array}\begin{array}{l}{\Gamma X}_{ij}\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{0,}& i\ne j\\ \frac{x_{ij}}{ai-j}& ij\end{array}\right.\\ {{\Gamma }_{k}X}_{ij}\left\{\begin{array}{ll}0,& \max ij\le k,\\ 0,& ij,ik\mathrm{,}\\ \frac{x_{ij}}{ai-j}& \mathrm{в} \mathrm{противном} \mathrm{случае}\end{array}\right.\end{array}$

Отметим, что оператор $J\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется формулой

$JX\mathrm{<mo>=</mo>}{J}_{0}X\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in \mathbb{Z}}}{P}_{i}X{P}_i\mathrm{,}$

а оператор $J_k\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$, $—$ формулой

$J_{k}X\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k}}{P}_{i}X{P}_i+P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}X{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}X\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}k\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{.}$

Подчеркнем, что если оператор $X$ из ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то операторы $J_{k}X$ и ${\Gamma }_{k}X$ при любом $k\ge 0$ определены корректно, их матрицы являются матрицами Гильберта$–$ Шмидта и константа $\gamma$ из определения 3 равна $\mathrm{1<mo>/</mo><mo>|</mo>}a\mathrm{<mo>|</mo>}$.

Отметим, что возмущение $B$ можно также рассматривать как оператор из $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда в качестве пространства допустимых возмущений удобно брать также $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и для любого $X\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ операторы $J_{k}X$ и ${\Gamma }_{k}X$, $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$, также принадлежат $\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и их матричные элементы определяются теми же формулами (см., например, [14, 15]). Но в этом случае константа $\gamma$ оценивается величиной $\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}{\gamma }_k\mathrm{<mo>=</mo>}C\mathrm{<mo>|</mo>}a{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1}$, где точное значение константы $C$ неизвестно, а известна лишь ее оценка $C\le 5$ (см. [1]).

Теорема 2. (см.23, [3.5]) Тройка $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{J}_k\mathrm{,}{\Gamma }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является допустимой тройкой для невозмущенного оператора $A$ при любом $k\ge 0$.

Теорема 3. (см.[23, лемма 1]) Тройка $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{J}_k\mathrm{,}{\Gamma }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является допустимой тройкой при любом $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$.

Из [3, теорема 5.3] (для $\mathcal{M}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ), а также теоремы 1 и леммы 1 (для $\mathcal{M}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ) немедленно вытекает следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть $B\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и выполнено одно из следующих условий:

$3\parallel B{\parallel }_2\mathrm{<mo><</mo><mo>|</mo>}a\mathrm{<mo>|</mo>,}$                                                           (5)

$15\parallel B\parallel \mathrm{<mo><</mo><mo>|</mo>}a\mathrm{<mo>|</mo>.}$                                                          (6)

Тогда оператор $A-B$ подобен оператору $A-J{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, имеющему диагональную матрицу, где $X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in \mathcal{M}$ $—$ решение рассматриваемого в $$ нелинейного уравнения (2). При этом в случае условия (5) выполнено $X\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а в случае условия (6) $—$ $X\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Отметим, что оба условия (5) и (6) очень ограничительны, поэтому удобно рассмотреть другое пространство допустимых возмущений ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, в котором возможна блочная диагонализация оператора $A-B$ при отсутствии условий на малость нормы оператора $B$.

Теперь, следуя работам [2, 23], рассмотрим для ненулевого $X\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ двустороннюю последовательность вещественных чисел вида

${\alpha }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\parallel X{\parallel }_2^{-\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\max \mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}\ge n\mathrm{,}k\in \mathbb{Z}}}\parallel P_{k}X{\parallel }_2^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>4}}\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}k\mathrm{<mo>|</mo>}\ge n\mathrm{,}k\in \mathbb{Z}}}\parallel X{P}_k{\parallel }_2^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>4}}\mathrm{<mo>\}</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

Обозначим ${\alpha }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\alpha }_n$. Введем в рассмотрение подпространство ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ операторов из ${\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, представимых в виде $X\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_{l}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $X\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}_r$, где $X_r\mathrm{,}{X}_l\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}{\alpha }_n{P}_n\mathrm{.}$

Норма в ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется формулой $\parallel X{\parallel }_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}\max \mathrm{<mo>\{</mo>}\parallel X_l{\parallel }_2\mathrm{,}\parallel X_r{\parallel }_2\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Сразу же отметим, что так как ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то трансформаторы $J$ и $\Gamma$ определены, при этом $J\mathrm{,}\Gamma \in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Причем легко показать, что они переводят ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в ${\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Из [2, теорема 5.7] следует теорема о блочной диагонализации оператора $A$.

Теорема 5.  Существует такое $k\ge 0$, что оператор $A-B$ подобен блочно=диагональному оператору

$\tilde{A}\mathrm{<mo>=</mo>}A-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}X{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k}}{P}_{i}X{P}_i\mathrm{,}$

где $X\in {\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ есть решение уравнения (4). Преобразование подобия оператора $A-B$ в оператор $\tilde{A}$ осуществляет такой оператор $U\mathrm{<mo>=</mo>}I+{\Gamma }_{k}X\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что $U-I\in {\mathcal{G}}_{\mathrm{2,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Перейдем к оценке спектральных характеристик оператора $A-B$, используя, опять же, результаты из [2, 3]. Из [2, замечание 6.2], а также теоремы 5 и леммы 1 немедленно вытекает

Следствие 2  Собственные векторы ${\tilde{e}}_i$, $i\in \mathbb{Z}$, оператора $A-B$ образуют в пространстве $l_2$ базис Рисса, базис Бари со скобками и $p$ =базис со скобками при $p\ge 2$.

Теорема 6. Спектр $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ оператора $A-B$ допускает представление в виде объединения взаимно непересекающихся конечных множеств ${\tilde{\sigma }}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${\tilde{\sigma }}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, при этом

${\tilde{\sigma }}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}Im{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

${\tilde{\sigma }}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A-P_i{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{\mathcal{H}}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\mathcal{H}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}Im{P}_i\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}$

$\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{\sigma }}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \cup }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k}{\cup }}{\tilde{\sigma }}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где множество ${\tilde{\sigma }}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ содержит не более чем $2k+1$ собственных значений, множества ${\tilde{\sigma }}_i\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\tilde{\lambda }}_i\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, одноточечны. Для собственных значений ${\tilde{\lambda }}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, оператора $A-B$ и соответствующих собственных векторов ${\tilde{e}}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, имеют место асимптотические оценки

$\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{\lambda }}_i-ai-b\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}{\delta }_i\mathrm{,}\parallel {\tilde{e}}_i-e_i\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_{i^{\prime }}\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}$

где последовательности ${\delta }_i\in l_1$ и ${\delta }_{i^{\prime }}\in l_2$.

Обозначим через ${\tilde{P}}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, спектральные проекторы оператора $A-B$, построенные по спектральным множествам ${\tilde{\sigma }}_i\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\tilde{\lambda }}_i\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, ${\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\sigma }}_k\mathrm{,}A-B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$.

Имеет место следующая теорема, вытекающая из [2, теорема 6.3] и леммы 1.

Теорема 7. Спектральные проекторы связаны соотношениями

${\tilde{P}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_i{U}^{-1}+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{P}_i{U}^{-1}\mathrm{,}{\tilde{P}}_i-P_i\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{P}_i-P_i{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}^{-1}\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k\mathrm{,}$

${\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{U}^{-1}+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{U}^{-1}\mathrm{,}{\tilde{P}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{U}^{-1}\mathrm{,}$

где $U\mathrm{<mo>=</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$,

$U^{-1}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^j{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^j\mathrm{.}$

При этом $\parallel {\tilde{P}}_i-P_i{\parallel }_2\le {\eta }_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, и последовательность $\eta$ принадлежит $l_2$.

Определение 4. Нетривиальное замкнутое линейное подпространство ${\mathcal{H}}_0\subset \mathcal{H}$ называется биинвариантным для линейного замкнутого оператора $\mathcal{E}:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$, если ${\mathcal{H}}_0$ и его ортогональное дополнение ${\mathcal{H}}_0^{\perp }$ инвариантны относительно $\mathcal{E}$.

Очевидно, что если оператор $\mathcal{E}$ перестановочен с некоторым ортопроектором $Q$, то подпространства $ImQ$ и $KerQ$ являются биинвариантными для оператора $\mathcal{E}$.

Таким образом, подпространства $Im{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $Im{P}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, образуют в пространстве $l_2$ базис из подпространств (см. определение в [1]), а также счетную систему биинвариантных подпространств для невозмущенного оператора $A$.

Определение 5.  (см.[17]) Пусть ${\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$ $—$ базис из подпространств в пространстве $\mathcal{H}$, $U\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и оператор $I+U$ обратим. Тогда подпространства $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$, образуют в пространстве $\mathcal{H}$ базис из подпространств, эквивалентный ортогональному, или спрямляемый, или базис Рисса из подпространств.

Определение 6.  Пусть $A_i:D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$ подобны, $A_{1}U\mathrm{<mo>=</mo>}U{A}_2$, $U\in \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Пусть также подпространства ${\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$ $—$ биинвариантны для оператора $A_2$. Тогда подпространства $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\mathcal{H}}_n$, $n\in \mathbb{Z}$, назовем для оператора $A_1$ биинвариантными подпространствами Рисса. Если же $U\in {\mathcal{G}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то назовем их биинвариантыми для $A_1$ подпространствами Бари.

Из основной теоремы о подобии (теоремы 5) операторов $A-B$ и $A-J_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ немедленно следует

Теорема 8.  Подпространства ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_i$, $\mathrm{<mo>|</mo>}i\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+{\Gamma }_k{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, образуют в пространстве $l_2$ базис Бари из подпространств и систему Бари биинвариантных подпространств для оператора $A-B$.

Далее предполагается, что невозмущенный оператор $A$ самосопряжен (т.е. $a\mathrm{,}b\in ℝ$ ).

Из следствия 2 вытекает следующее утверждение.

Теорема 9. Оператор $i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является генератором сильно непрерывной группы операторов $T_0:ℝ\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{l}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и эта группа подобна группе ${\tilde{T}}_0:ℝ\to \mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вида

${\tilde{T}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A-P_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}t}{P}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k}}{e}^{i{\tilde{\lambda }}_n{I}_{n}t}{P}_n\mathrm{,}$

где через $I_n$ обозначен тождественный оператор в ${\mathcal{H}}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{I}_m{P}_n$, $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}k$, а через $I_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ тождественный оператор в ${\mathcal{H}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.