Обратная задача для оператора Штурма—Лиувилля с замороженным аргументом на временной шкале

1. Введение

Целью статьи является исследование обратной спектральной задачи для оператора Штурма - Лиувилля с замороженным аргументом на временной шкале. Под временными шкалами обычно подразумеваются произвольные замкнутые множества $T\subseteq$. Дифференциальные операторы на временных шкалах обобщают классические дифференциальные и разностные операторы, поскольку содержат $\Delta$ - производную (см. [9, 10, 17]).

В последнее время возник интерес к обратным спектральным задачам для дифференциальных операторов на временных шкалах (см. [1, 6, 19, 20, 23, 24, 26]). Подобные задачи заключаются в восстановлении операторов по их спектральным характеристикам. Наиболее полные результаты в этом направлении получены для классического оператора Штурма - Лиувилля на отрезке (см. [2, 3, 15]). Постановка и изучение обратных задач существенно зависят от структуры рассматриваемой временной шкалы, что приводит к необходимости тех или иных ограничений. Наиболее общий вид временных шкал, на которых к настоящему моменту получено решение обратной задачи, представляет собой объединение конечного числа отрезков и изолированных точек (см. [1, 19]).

Обратные задачи для оператора Штурма - Лиувилля с замороженным аргументом на отрезке изучались в ряде работ [7, 11, 13, 14, 18, 21, 25]. Данный оператор определяется дифференциальным выражением Штурма - Лиувилля с замороженным аргументом

$\mathcal{l}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{y^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{0<mo><</mo>}x\mathrm{<mo><</mo>}r\mathrm{,}$

где $\gamma \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ фиксировано. В отличие от классического оператора Штурма - Лиувилля, операторы с замороженным аргументом являются нелокальными. По этой причине методы классической теории обратных задач [2, 3, 15] для них неприменимы. В то же время, нелокальные операторы имеют приложения во многих областях математики и естествознания (см. [4, 5, 16]).

Задача восстановления потенциала $q$ по спектру краевой задачи

$\mathcal{l}y\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda y\mathrm{,}{y}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\alpha \mathrm{,}\beta \in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1<mo>\}</mo>,}$

исследовалась в работах [11, 13, 14, 25]. В [13] изучался случай произвольного $\gamma \mathrm{<mo>/</mo>}r\in \mathbb{Q}$, и было дано полное описание так называемых невырожденных и вырожденных случаев в зависимости от значений тройки параметров $\gamma \mathrm{<mo>/</mo>}r$, $\alpha$ и $\beta$. В частности, краевые условия Дирихле ( $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\beta \mathrm{<mo>=</mo>0}$ ) соответствуют вырожденному случаю при любых $\gamma \mathrm{<mo>/</mo>}r\in \mathbb{Q}$. В невырожденном случае потенциал однозначно восстанавливается по спектру, а в вырожденном для единственности восстановления требуется дополнительная информация (например, задание $q$ на части интервала). Также были получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. В невырожденном случае последние включают лишь асимптотику спектра

${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\pi }^2}{r^2}{\left(n-\frac{\alpha +\beta }{2}+\frac{{\kappa }_n}{n}\right)}^2\mathrm{,}n⩾\mathrm{1,}{\mathrm{<mo>\{</mo>}{\kappa }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}\in l_2\mathrm{.}$

В вырожденном случае добавляется условие совпадения некоторой бесконечной части собственных значений с собственными значениями соответствующего оператора с нулевым потенциалом. Для иррационального случая $\gamma \mathrm{<mo>/</mo>}r\in \mathbb{Q}$ в работе [25] была доказана единственность восстановления потенциала по спектру при любых $\alpha$ и $\beta$. Что касается обратных спектральных задач для операторов с замороженным аргументом на временных шкалах, ранее они не рассматривались.

В настоящей работе рассматривается краевая задача для уравнения Штурма - Лиувилля с замороженным аргументом на временной шкале $T$ специального вида:

$-y^{\Delta \Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in T\mathrm{,}$ (1)

$y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (2)

где

$T\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}da-\gamma \mathrm{,}lb-a\mathrm{.}$ (3)

Структура (3) является одной из простейших, которые позволяют выявить существенные отличия от случая отрезка.

В работе исследуется восстановление потенциала $q\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по спектру краевой задачи (1)(2). Установлены условия на величины $d$, $\gamma$ и $l$, при которых выполняется теорема единственности решения обратной задачи (теорема 1). В частности, единственность восстановления будет иметь место, если $l\mathrm{<mo>=</mo>}k\gamma$, $k\in \mathbb{N}$. Здесь наблюдается отличие от случая уравнения с замороженным аргументом на отрезке, т.е. при $\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}a$ и $r\mathrm{<mo>=</mo>}a+l$, в котором потенциал не восстанавливается однозначно по спектру краевой задачи Дирихле ни при каком рациональном $k$. Также получены алгоритм восстановления потенциала (алгоритм 1), необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи (теорема 5). Особый вид характеристической функции (18) значительно усложняет исследование в сравнении со случаем отрезка. В частности, характеризация спектра не исчерпывается одной лишь асимптотикой, как в невырожденном случае оператора на отрезке.

2. Постановка обратной задачи. Теорема единственности

Рассмотрим уравнение (1) на временной шкале (3) с непрерывным потенциалом $q\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Пусть $C_{\Delta }^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\in \mathbb{N}$, обозначает класс функций, имеющих $n$ -ю $\Delta$ - производную, непрерывную на $T$. Определим решения как функции $y\in C_{\Delta }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, для которых выполняется тождество (1). Те $\lambda$, при которых существуют ненулевые решения $y$, удовлетворяющие условиям Дирихле (2), называются собственными значениями.

Так как временная шкала $T$ имеет вид (3), для любой $f\in C_{\Delta }^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеем (см. [20, 26 ])

$f^{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d}\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>}\gamma \mathrm{,}{f}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ (4)

где классическая производная $f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ существует, а равенство $f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{f}^{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ выполнено в силу непрерывности. Применяя данную формулу к решению $y$ уравнения (1) и его $\Delta$ "=производной, получим, что уравнение (1) эквивалентно системе уравнений

$\left(\begin{array}{cc}-{y^{\text{'}}}^{\text{'}}{x}_1+q{x}_{1}y\gamma \lambda y{x}_1& x_1\in \gamma \\ -{y^{\text{'}}}^{\text{'}}{x}_2+q{x}_{2}y\gamma \lambda y{x}_2& x_2\in a\mathrm{,}b\end{array}\right.$ (5)

с условиями скачков

$\left(\begin{array}{c}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ y^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}1& d\\ d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& 1-\lambda d^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ y^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{.}$ (6)

Также из (4) получается, что условие $y\in C_{\Delta }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ эквивалентно условию $y\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cap C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, где $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ "$—$ класс дважды непрерывно дифференцируемых функций на $B$ в обычном смысле.

Введем решения $S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ первого уравнения в (5) при начальных условиях

$S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}{S}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1<mo>;</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}{C}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$

Для этих функций известны следующие формулы (см. [11]):

$S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\sin \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\rho }\mathrm{,}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\cos \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{\gamma }{\overset{x}{\int }}}\frac{\sin \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\rho }q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{,}x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}$ (7)

здесь и далее $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}{\rho }^2$. Любое решение системы (5)-(6) на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ может быть представлено в виде

$y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}AS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+BC\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (8)

С учетом (6) при $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ имеем

$y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+d{y}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-d^2\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-d\lambda y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+dy\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\sin \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\rho }+B{\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}}\frac{\sin \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\rho }q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{.}$ (9)

Подставив представления (8) и (9) в краевые условия (2), получим следующую систему линейных уравнений относительно $A$ и $B$:

$AS\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+BC\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}A\left(d\cos \rho l+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1}-d^2\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\frac{\sin \rho l}{\rho }\right)+B\left(\cos \rho l+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}dq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-d\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\frac{\sin \rho l}{\rho }+{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}}\frac{\sin \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\rho }q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right)\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Число $\lambda$ является собственным значением краевой задачи (1)(2) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение этой системы. Определитель системы $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называется характеристической функцией краевой задачи (1)(2). Он является целой функцией порядка $\mathrm{1<mo>/</mo>2}$. Спектром краевой задачи (1)(2) называется последовательность нулей ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}$ характеристической функции (с учетом кратности).

Используя формулы (7), получим

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-c_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\sin \rho \gamma }{\rho }-c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \rho \gamma -$

$-\frac{\sin \rho \gamma }{\rho }{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}}\frac{\sin \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\rho }q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt-c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\gamma }{\int }}}\frac{\sin \rho t}{\rho }q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt-dq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{{\displaystyle \sin }}^2\rho \gamma }{{\rho }^2}\mathrm{,}$ (10)

где

$c_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \rho l-d\rho \sin \rho l\mathrm{,}{c}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\cos \rho l+\frac{1-d^2\lambda }{\rho }\sin \rho l\mathrm{.}$

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1 Из положительных нулей функции $c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно составить такую последовательность ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{z}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$, что системы ${\mathrm{<mo>\{</mo>}\sin z_{n}t\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$ и $\mathrm{<mo>\{</mo>1<mo>\}</mo>}\cup {\mathrm{<mo>\{</mo>}\cos z_{n}t\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$ являются базисами Рисса в $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство. Рассмотрим уравнение

$g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{dz}{d^2{z}^2-1}-\tan zl\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Если $z$ "$—$ ненулевой корень данного уравнения, то число $z$ является нулем $c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Заметим, что функция $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ непрерывна и монотонна на любом интервале, не содержащем точек $\pm \mathrm{1<mo>/</mo>}d$, $\pm \pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}l$, $n\in$. С помощью теоремы о промежуточном значении можно показать, что каждому интервалу

$I_n\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\frac{\pi n}{l}-\frac{\pi }{2l}\mathrm{,}\frac{\pi n}{l}+\frac{\pi }{2l}\right)\mathrm{,}n\in \mathbb{N}$,

принадлежит не менее одного нуля $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Выберем в качестве $z_n$ любой нуль из $I_n$, $n\in$, тогда все $z_n\mathrm{<mo>></mo>0}$ и различны.

Используя стандартную технику с применением теоремы Руше (см. [15]), можно доказать, что последовательность нулей $c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет вид ${\mathrm{<mo>\{</mo>}-z_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}\cup {\mathrm{<mo>\{</mo>}{z}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}$ и выполнены асимптотические формулы

$z_n\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi n}{l}+\frac{1}{d\pi n}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\mathrm{,}n\in \mathbb{N}$. (11)

Докажем, что ${\mathrm{<mo>\{</mo>}\sin z_{n}t\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$ является базисом Рисса; для $\mathrm{<mo>\{</mo>1<mo>\}</mo>}\cup {\mathrm{<mo>\{</mo>}\cos z_{n}t\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$ доказательство аналогично. Согласно [15, утверждение 1.8.5], достаточно доказать полноту системы ${\mathrm{<mo>\{</mo>}\sin z_{n}t\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$.

Пусть $f\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin z_{n}tdt\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Тогда функция

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\lambda -z_0^2}{\rho c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \rho tdt$

является целой по $\lambda$. Используя стандартную оценку (см. [15])

$\mathrm{<mo>|</mo>}\sin \rho l\mathrm{<mo>|</mo>}⩾M^{-1}{e}^{\mathrm{<mo>|</mo>}Im\rho \mathrm{<mo>|</mo>}l}\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}\rho \mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}\frac{\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{l}\mathrm{,}n\in \mathrm{,}n⩾N^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}$

получим, что $\mathrm{<mo>|</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}⩽M$ на окружностях $\mathrm{<mo>|</mo>}\lambda \mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}l{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$ при достаточно больших $n\in$. Тогда из принципа максимума модуля и теоремы Лиувилля следует, что $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv C$. В то же время имеем

${\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \rho tdt\mathrm{<mo>=</mo>}o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\rho c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\lambda -z_0^2}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n+1}{d}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

при $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}l$ в силу леммы Римана - Лебега. Отсюда следует, что возможно только $C\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Тогда $f\equiv 0$, и полнота системы ${\mathrm{<mo>\{</mo>}\sin z_{n}t\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$ доказана.

Рассмотрим следующую обратную задачу.

Обратная задача 1 По спектру ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}$ восстановить потенциал $q$.

Докажем утверждение, которое позволяет свести обратную задачу к нахождению $q$ из характеристической функции.

Утверждение 1 Характеристическая функция $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ строится однозначно по спектру ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}$.

Доказательство. Обозначим $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\rho }^{-1}\sin \rho \gamma$. Из представления (10) легко получается асимптотика

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}{d}^2\rho \sin \rho l\cos \rho \gamma +O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{\mathrm{<mo>|</mo>}Im\rho \mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma +l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}& \gamma ⩽l\text{èëè}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\\ -dq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{s}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho e^{\mathrm{<mo>|</mo>}Im\rho \mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma +l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}& \gamma \mathrm{<mo>></mo>}l\text{è}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \mathrm{0,}\end{array}\right.\lambda \to \infty \mathrm{.}$ (12)

Пусть $k_0$ "$—$ кратность нуля в спектре. Без потери общности можно предположить, что нуль встречается только среди первых $k_0$ членов спектра, т.е. ${\lambda }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{k_0-2}\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{k_0-1}\mathrm{<mo>=</mo>0}$. По теореме Адамара, характеристическая функция определяется с точностью до некоторой постоянной $C\ne 0$:

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}CG\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\lambda }^{k_0}{\displaystyle \prod _{n\mathrm{<mo>=</mo>}{k}_0}^{\infty }}\left(1-\frac{\lambda }{{\lambda }_n}\right)\mathrm{.}$ (13)

Согласно (12), тип построенного бесконечного произведения $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ может быть равен либо $\gamma +l$, либо $2\gamma$. Если тип равен $\gamma +l$, то постоянная $C$ в (13) определяется первой асимптотической формулой в (12). Пусть теперь тип равен $2\gamma$, что возможно только при $\gamma \mathrm{<mo>></mo>}l$ и $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$. Определим

$C_1\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{\lambda \to -\infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{s^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Из (10) видно, что $C_1\mathrm{<mo>=</mo>}-dq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}C$. Также из (10) и (13) следует, что

$G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-C_1{s}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{d^2\rho \sin \rho d_2\cos \rho \gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{C}\mathrm{,}\lambda \to -\infty \mathrm{,}$

$C\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{\lambda \to -\infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{d^2\rho \sin \rho l\cos \rho \gamma }{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-C_1{s}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Таким образом, $C$ определяется однозначно, и лемма доказана.

Докажем теорему единственности решения обратной задачи 1. Доказательство основано на вычислении коэффициентов разложений функции $q$ по базисам ${\mathrm{<mo>\{</mo>}\sin \pi nt\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma \mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$ и ${\mathrm{<mo>\{</mo>}\sin z_{n}t\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$ на отрезках $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Эти коэффициенты вычисляются путем подстановки значений $\lambda \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi n\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$ и $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}{z}_n^2$ в представление (10), если $c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi n\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$, $n\in$. Данный подход аналогичен тому, который был использован в [25] для доказательства теоремы единственности.

Теорема 1 Обозначим через ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\tilde{\lambda }}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}$ спектр краевой задачи (1)(2) с некоторым потенциалом $\tilde{q}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Если функции $c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\rho }^{-1}\sin \rho \gamma$ не имеют общих нулей, то из равенства ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\tilde{\lambda }}_n{\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}$ следует $q\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{q}$.

Доказательство. Согласно утверждению 1, функция $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ однозначно определяется заданием своих нулей ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}$. Обозначим через $\tilde{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ характеристическую функцию краевой задачи (1)(2) с потенциалом $\tilde{q}$. Таким образом, если ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\tilde{\lambda }}_n{\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}$, то $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Подставив в представление (10) значения $\lambda \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi n\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$, получим соотношения

$\Delta \left({\left(\frac{\pi n}{\gamma }\right)}^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{k}_n\left({\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n+1}-\frac{\gamma }{\pi n}{\varkappa }_n\right)\mathrm{,}{k}_n{c}_2\left({\left(\frac{\pi n}{\gamma }\right)}^2\right)\mathrm{,}{\varkappa }_n{\displaystyle \underset{0}{\overset{\gamma }{\int }}}\sin \frac{\pi n}{\gamma }tq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{,}$

откуда приходим к формуле

${\varkappa }_n\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{\pi n}{k_n\gamma }\left(\Delta \left({\left(\frac{\pi n}{\gamma }\right)}^2\right)+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^n{k}_n\right)\mathrm{,}n⩾1.$ (14)

Аналогично получается равенство

${\displaystyle \underset{0}{\overset{\gamma }{\int }}}\sin \frac{\pi n}{\gamma }t\tilde{q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}{\varkappa }_n\mathrm{,}n⩾\mathrm{1,}$

с теми же ${\varkappa }_n$. Тогда

${\displaystyle \underset{0}{\overset{\gamma }{\int }}}\sin \frac{\pi n}{\gamma }t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\tilde{q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>0,}n⩾\mathrm{1,}$

и из полноты системы ${\mathrm{<mo>\{</mo>}\sin \pi nt\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma \mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$ в $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ следует, что $q\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{q}$ на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Подставим в характеристическую функцию $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}{z}_n^2$. Полнота системы ${\mathrm{<mo>\{</mo>}\sin z_{n}t\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$ в $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ была доказана в лемме 1. Действуя так же, как в первой части доказательства, получаем для коэффициентов

${\xi }_n{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\sin z_{n}tq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt$,

формулы

${\xi }_n\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{z_n^2}{\sin z_n\gamma }\left(\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_n^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+c_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_n^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\sin z_n\gamma }{z_n}+dq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{{\displaystyle \sin }}^2{z}_n\gamma }{z_n^2}\right)\mathrm{,}n⩾\mathrm{1,}$ (15)

и равенство $q\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{q}$ на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Основываясь на формулах (14) и (15), получим следующий алгоритм восстановления.

Алгоритм 1 Пусть функции $c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не имеют общих нулей. Восстановление потенциала по ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}$ производится в следующей последовательности: [1.]

1. Построить $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. утверждение 1);.

2. Вычислить коэффициенты ${\varkappa }_n$ по формуле (14) и найти

$q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{2}{\gamma }{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{\varkappa }_n\sin \frac{\pi n}{\gamma }t\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

3. Вычислить коэффициенты ${\xi }_n$ по формуле (15) и построить

$q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{\xi }_n{\chi }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где система ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\chi }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$ является биортогональной к базису ${\mathrm{<mo>\{</mo>}\sin z_{n}t\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}$ в $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Утверждение 2 Можно гарантировать, что $c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не имеют общих нулей, наложив одно из трех ограничений на $d$, $\gamma$ и $l$: [ (i)]

1.  имеет место равенство $l\mathrm{<mo>=</mo>}k\gamma$ при некотором $k\in$;

2.  числа $\pi l\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma$ и $\pi d\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma$ рациональны;

3.  числа $l\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma$, $\pi d\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma$ рациональны и $\cos l\mathrm{<mo>/</mo>}d\ne 0$.

Доказательство. Если выполнено (2), то $c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi n\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{nk}d$. Пусть выполнено (2) или (3) и $c_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi n\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ при некотором $n\in$. Тогда $\cos \pi nl\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma \ne 0$ и

$\left(1-{\left(\frac{\pi n}{\gamma }d\right)}^2\right)\tan \frac{\pi nl}{\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi n}{\gamma }d\mathrm{.}$ (16)

Если выполнено (2), то $\pi nl\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma \in \mathbb{Q}$, и $\tan \pi nl\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma$ является иррациональным числом (см. [22]). Тогда в (16) слева имеем либо нуль, либо иррациональное число, а справа "$—$ ненулевое рациональное число; противоречие.

Если выполнено (2), то $\pi nl\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma$ обозначает рациональное число градусов, и согласно [22]

$\tan \frac{\pi nl}{\gamma }\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\backslash \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}\cup \mathrm{<mo>\{</mo>}\pm \mathrm{1<mo>\}</mo>.}$

Случаи иррационального и нулевого $\tan \pi nl\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma$ аналогичны (2). Если же $\tan \pi nl\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}\pm 1$, то (16) приводит к противоречию потому, что рациональное число $\pi nd\mathrm{<mo>/</mo>}\gamma$ не может быть корнем ни одного из квадратных уравнений $1-x^2\mathrm{<mo>=</mo>}\pm x$.

3. Необходимые и достаточные условия

Далее получим необходимые и достаточные условия на спектр в случае

$l\mathrm{<mo>=</mo>}\gamma \mathrm{,}q\in W_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cap W_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (17)

При выполнении данных условий формулу (10) можно переписать в виде

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{d^2\rho }{2}\sin 2\rho l-d\cos 2\rho l-\frac{\sin 2\rho l}{\rho }-dq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{{\displaystyle \sin }}^2\rho l}{{\rho }^2}+$

$+\left[\frac{{\rho }^2{d}^2-1}{{\rho }^2}\sin \rho l-\frac{d}{\rho }\cos \rho l\right]{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \rho tdt-\frac{\sin \rho l}{{\rho }^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l}{\int }}}\sin \rho tq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{.}$ (18)

Выполнив подстановки $\lambda \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi n\mathrm{<mo>/</mo>}l{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$ и $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}{z}_n^2$ в (18), с помощью интегрирования по частям получим следующее утверждение.

Утверждение 3 При $n\in$ имеют место формулы

$\Delta \left({\left(\frac{\pi n}{l}\right)}^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-d+d{\left(\frac{l}{\pi n}\right)}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\kappa }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_n^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^n\frac{\sin z_{n}l}{z_n^3}\left[\frac{1}{d^2}+q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\eta }_n\right]$

с некоторыми последовательностями ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\kappa }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}\mathrm{,<mo>\{</mo>}{\eta }_n{\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}\in l_2$.

Введем обозначения

$Q_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{z}{\overset{b}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{,}{Q}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{l-z}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{.}$

Интегрируя по частям, получаем представление

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{d^2\rho }{2}\sin 2\rho l-d\cos 2\rho l-\frac{\sin 2\rho l}{\rho }+d^{2}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\sin \rho l}{\rho }-d^2\frac{\sin 2\rho l}{2\rho }q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2\rho }{\displaystyle \underset{0}{\overset{2l}{\int }}}\sin \rho tW\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{,}$ (19)

где функция $W\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,2}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ имеет вид

$W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}-dq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-dq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-Q_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+d^2{q}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-Q_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}& t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ -dq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-dq\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-Q_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+d^2{q}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-Q_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}l-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}& t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}l\mathrm{,2}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}\end{array}\right.$

Используя формулу (19), с помощью стандартной техники [15] можно получить асимптотику спектра.

Теорема 2 Справедливы следующие асимптотические формулы:

${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\rho }_n^2\mathrm{,}{\rho }_n\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi n}{2l}+\frac{2}{d\pi n}+\frac{4l{\delta }_{n}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\pi }^2{n}^2}+\frac{{\mu }_n}{n^2}\mathrm{,}n\in \text{}\text{}\mathbb{N}$. (20)

где ${\delta }_n\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \pi n\mathrm{<mo>/</mo>2}$, ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mu }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}\in l_2$.

С помощью этих асимптотик формула (13) может быть уточнена следующим образом:

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}l{d}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda -{\lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \prod _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\lambda }_n-\lambda }{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi n}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}$ (21)

(доказательство аналогично доказательству теоремы 1.1.4 в [15] для классического оператора Штурма - Лиувилля).

Пусть теперь задана произвольная последовательность ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}$, члены которой удовлетворяют асимптотическим формулам

${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\rho }_n^2\mathrm{,}{\rho }_n\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi n}{2l}+\frac{2}{d\pi n}+\frac{4l{\delta }_{n}u}{{\pi }^2{n}^2}+\frac{{\mu }_n}{n^2}\mathrm{,}n\in \mathrm{,}$ (22)

где $u\in$ C, ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mu }_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾1}\in l_2$. Наша следующая цель "$—$ получить условия, которые нужно наложить на данную последовательность, чтобы она являлась спектром некоторой краевой задачи (1)(2) в частном случае (17).

Теорема 3 Пусть функция $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ построена по формуле (21) с произвольными числами ${\lambda }_n$ вида (22). Имеет место представление

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+C_0\frac{\sin 2\rho l}{\rho }+{\displaystyle \underset{0}{\overset{2l}{\int }}}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\sin \rho t}{2\rho }dt\mathrm{,}W\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,2}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (23)

где

$\tilde{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{d^2\rho }{2}\sin 2\rho l-d\cos 2\rho l+d^{2}u\frac{\sin \rho l}{\rho }\mathrm{.}$

Доказательство. Доказательство теоремы основано на технике, примененной в [12], где представление для другой характеристической функции было получено с меньшим числом слагаемых.

1. Обозначим через ${\tilde{\lambda }}_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\rho }}_n^2$, $n⩾0$, нули функции $\tilde{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; при этом ${\tilde{\rho }}_n$ имеют ту же асимптотику, что и ${\rho }_n$ в формулах (20). Заметим, что $\tilde{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ восстанавливается по формуле (21), если в ней заменить ${\lambda }_n$ на ${\tilde{\lambda }}_n$. Рассмотрим числа

${\theta }_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi k}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\tilde{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_{\lambda \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi k}{2l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{,}k\in \mathrm{.}$

Введем функцию ${\Delta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{d}^2\rho \mathrm{<mo>/</mo>2}\sin 2\rho l$. Используя (21), запишем представление

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Delta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \prod _{n\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\frac{{\lambda }_n-\lambda }{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi n}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-\lambda }\mathrm{,}$

и, аналогично,

$\tilde{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Delta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\tilde{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tilde{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \prod _{n\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\frac{{\tilde{\lambda }}_n-\lambda }{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi n}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-\lambda }\mathrm{.}$

С учетом этих представлений имеем

${\theta }_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi k}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\Delta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{]}^{\prime }{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\lambda \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi k}{2l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\left[\left({\tilde{\lambda }}_k-{\left(\frac{\pi k}{2l}\right)}^2\right){\tilde{d}}_k-\left({\lambda }_k-{\left(\frac{\pi k}{2l}\right)}^2\right)d_k\right]\mathrm{,}k\in \mathrm{,}$ (24)

где

$d_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{n\ne k}}\frac{{\lambda }_n-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi k}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi n}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi k}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{,}{\tilde{d}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{n\ne k}}\frac{{\tilde{\lambda }}_n-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi k}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi n}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi k}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{.}$

Далее оценим $d_k$ (для ${\tilde{d}}_k$ вычисления аналогичны) и ${\tilde{d}}_k-d_k$. Перепишем первый коэффициент в виде

$d_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}n⩽N\mathrm{,}\\ n\ne k\end{array}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+x_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\exp H_k\mathrm{,}{H}_k{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\mathrm{<mo>></mo>}N\mathrm{,}\\ n\ne k\end{array}}}\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+x_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{x}_{n\mathrm{,}k}\frac{{\lambda }_n-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi n}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi n}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\pi k}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{,}$ (25)

с некоторым фиксированным $N$. В силу (22) имеем ${\lambda }_n-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi n\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и можно выбрать такое $N$, не зависящее от $k$, что $\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>1<mo>/</mo>2}$ при $n\mathrm{<mo>></mo>}N$. Используя разложение Тейлора для $\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+x_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, можно оценить

$\mathrm{<mo>|</mo>}{H}_k\mathrm{<mo>|</mo>}⩽2{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\mathrm{<mo>></mo>}N\mathrm{,}\\ n\ne k\end{array}}}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo>|</mo>}⩽2C{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>></mo>}k}}\frac{1}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (26)

Тогда из (25) мы получим, что $d_k\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Покажем, что $d_k-{\tilde{d}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{k}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для этого запишем

$d_k-{\tilde{d}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}n⩽N\mathrm{,}\\ n\ne k\end{array}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+x_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}n⩽N\mathrm{,}\\ n\ne k\end{array}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+{\tilde{x}}_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\exp H_k+{\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}n⩽N\mathrm{,}\\ n\ne k\end{array}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+{\tilde{x}}_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\exp H_k-\exp {\tilde{H}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где ${\tilde{H}}_k$ и ${\tilde{x}}_{n\mathrm{,}k}$ вводятся аналогично $H_k$ и $x_{n\mathrm{,}k}$. Первое слагаемое в данном равенстве оценивается как $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{k}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, поскольку $x_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{k}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\tilde{x}}_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{k}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $n\mathrm{<mo><</mo>}N$, а также выполнено (26). Для оценки второго слагаемого заметим, что из разложения Тейлора для $\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+x_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\mathrm{<mo>></mo>}N$, можно получить формулу

$H_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\mathrm{<mo>></mo>}N\mathrm{,}\\ n\ne k\end{array}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{n\mathrm{,}k}+O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{n\mathrm{,}k}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$

формула такого же вида имеет место для ${\tilde{H}}_k$. Используя их и формулу оценки разности значений функции через ее производную, получим

$\mathrm{<mo>|</mo>}\exp H_k-\exp {\tilde{H}}_k\mathrm{<mo>|</mo>}⩽\underset{z\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{H}_k\mathrm{,}{\tilde{H}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}\exp z\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{H}_k-{\tilde{H}}_k\mathrm{<mo>|</mo>}⩽$

$⩽C{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\mathrm{<mo>></mo>}N\mathrm{,}\\ n\ne k\end{array}}}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_{n\mathrm{,}k}-{\tilde{x}}_{n\mathrm{,}k}\mathrm{<mo>|</mo>}+C{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\mathrm{<mo>></mo>}N\mathrm{,}\\ n\ne k\end{array}}}\frac{1}{k^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}⩽C{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\mathrm{<mo>></mo>}N\mathrm{,}\\ n\ne k\end{array}}}\frac{{\widehat{\mu }}_n}{n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}^2-k^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\frac{C}{k^2}\mathrm{,}$

где ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\widehat{\mu }}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{n⩾0}\in l_2$ в силу асимптотических формул (22). При этом

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n⩾\mathrm{1,}\\ n\ne k\end{array}}}\frac{{\widehat{\mu }}_n}{n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}^2-k^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}⩽\frac{1}{k}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n⩾\mathrm{1,}\\ n\ne k\end{array}}}\frac{{\widehat{\mu }}_n}{n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}⩽\frac{1}{k}\sqrt{{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{\widehat{\mu }}_n^2}\sqrt{{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n⩾\mathrm{1,}\\ n\ne k\end{array}}}\frac{1}{n^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}}⩽\frac{C}{k^2}\mathrm{,}$

следовательно, $\mathrm{<mo>|</mo>}\exp H_k-\exp {\tilde{H}}_k\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{k}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $d_k-{\tilde{d}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{k}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Из асимптотик (22) следует, что

${\lambda }_k-{\tilde{\lambda }}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\nu }_k}{k}\mathrm{,}{\lambda }_k-{\left(\frac{\pi k}{2l}\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\tilde{\lambda }}_k-{\left(\frac{\pi k}{2l}\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где последовательность ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\nu }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k⩾1}\in l_2$. Тогда

$k\left[\left({\lambda }_k-{\left(\frac{\pi k}{2l}\right)}^2\right)d_k-\left({\tilde{\lambda }}_k-{\left(\frac{\pi k}{2l}\right)}^2\right){\tilde{d}}_k\right]\mathrm{<mo>=</mo>}k\left[d_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_k-{\tilde{\lambda }}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\left({\tilde{\lambda }}_k-{\left(\frac{\pi k}{2l}\right)}^2\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_k-{\tilde{d}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\in l_2\mathrm{,}$

и из (24) мы получаем, что ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\theta }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{k⩾1}\in l_2$.

2. Так как система ${\mathrm{<mo>\{</mo>}\sin \pi kt\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}}_{k⩾1}$ является ортогональным базисом в пространстве $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,2}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, существует функция $W\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,2}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, для которой

${\displaystyle \underset{0}{\overset{2l}{\int }}}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \frac{\pi k}{2l}tdt\mathrm{<mo>=</mo>2}{\theta }_k\mathrm{.}$

Введем в рассмотрение функции

$\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2l}{\int }}}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \rho tdt\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lambda \frac{\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\tilde{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\Delta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d^2\sin 2\rho l}+\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Функция $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является целой. Действуя аналогично доказательству в части 1, можно показать, что $\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}⩽M\mathrm{<mo>/</mo>}{k}^2$ на каждой окружности $\mathrm{<mo>|</mo>}\lambda \mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi k\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\pi \mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>4}l{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2$, $k\mathrm{<mo>></mo>}N$. Отсюда следует, что функция $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ограничена по модулю во всей плоскости, и по теореме Лиувилля $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv C_0$. Таким образом, представление (23) доказано.

Построим $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по формуле (21) с заданными ${\lambda }_n$ с асимптотикой (22). Мы доказали, что данная функция имеет вид (23) с некоторыми $W\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,2}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $C_0\in$ C. Легко заметить, что функция $W$ определяется единственным образом:

$W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{\beta }_n\sin \frac{\pi n}{2l}t\mathrm{,}{\beta }_n\frac{\pi n}{l}\Delta \left({\left(\frac{\pi n}{2l}\right)}^2\right)+\frac{\pi n}{l}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n}d-2d^{2}u{\delta }_n\mathrm{,}n\in \mathrm{.}$ (27)