On the asymptotic stability of one equation with a discrete retarded argument

Abstract

In this paper, we consider a functional differential equation with a discrete retarded argument, a constant delay, and a term without delay. The problem of the asymptotic stability of this equation is reduced to the problem of studying the spectrum of the operator of shift along trajectories. Simple coefficient necessary conditions for the asymptotic stability of this equation are obtained.

Full Text

1. Введение

Настоящая работа посвящена асимптотической устойчивости уравнения

$\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+ax\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+bx\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+cx\left(\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>0,}t\in {ℝ}_{+}\mathrm{,}\hfill & \hfill \\ x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \end{array}\right.$                     (1)

где $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c\in ℝ$, начальная функция $\psi$ считается суммируемой, а через $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ обозначена целая часть числа.

Непрерывно-дискретными системами функционально-дифференциальных уравнений называются такие системы, состояние которых описывается двумя группами взаимосвязанных переменных: одни переменные являются функциями непрерывного времени и удовлетворяют дифференциальным уравнениям; другие являются функциями дискретного времени и удовлетворяют разностным уравнениям. В настоящем исследовании мы также называем такие системы гибридными.

Дифференциальные уравнения, содержащие дискретный запаздывающий аргумент, интересны тем, что к ним сводятся некоторые гибридные системы. В частности, уравнение (1) эквивалентно следующей гибридной системе:

$\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}\left(t\right)+ax\left(t\right)+bx\left(t-1\right) =y\left(n\right),t\in [n\mathrm{,}n+1),& \\ x\left(t\right) = \psi \left(t\right),t\in [-1,0),& n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_0\mathrm{,}\\ y\left(n\right) =-cx\left(n\right)& \end{array}\right.$       (2)

где ${\mathbb{N}}_0\left\{0,1,2,\dots \right\}.$.

Гибридные системы такого рода возникают при исследовании технических объектов с импульсным и цифровым управлением. Кроме того, такие гибридные системы используются для моделирования процессов экономической динамики, состояние которых описывается функцией непрерывного времени, однако управленческие решения принимаются дискретно по времени или наблюдения некоторых показателей доступны дискретно по времени [2].

Устойчивость гибридных систем исследуются следующими методами: [ (i)]

1. подходы, основанные на метода Ляпунова (см. [2, 3, 7]);
2. принцип неподвижной точки (см. [10]0;
3. W - метод Азбелева (см. [5, 9]);
4. интегрирование по шагам и сведение гибридной системе к системе разностных уравнений (см. [4, 8, 11, 13$–$15]).

Отметим, что последний подход наиболее эффективно применяется для гибридных систем, в которых подсистема с непрерывным временем является системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Именно для этого класса систем данный подход позволяет получить необходимые и достаточные условия устойчивости в терминах коэффициентах системы.

Для гибридных систем, в которых подсистема с непрерывным временем является системой дифференциальных уравнений с запаздыванием, как правило, ограничиваются достаточными условиями устойчивости. Отметим, что система (2) при $b\ne 0$ относится именно к этому классу. Насколько известно автору работы, до сих пор не были разработаны методы получения коэффициентных необходимых и достаточных условий устойчивости для таких систем.

Задача Коши для уравнения (1) имеет вид

$\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}\left(t\right)+ax\left(t\right)+bx\left(t-1\right)+cx\left(\left[t\right]\right)=0,t\in {ℝ}_{+}\mathrm{,}& \\ x\left(t\right)=\psi \left(t\right)t\in [-1,0)& \\ x\left(0\right)=\alpha \mathrm{,}& \end{array}\right.$   (3)

где $\alpha \in ℝ$.

Решение задачи Коши (3) $x\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в пространстве локально абсолютно непрерывных вектор-функций существует и единственно (см. [1]).

Определение 1. Уравнение (1) называется асимптотически устойчивым, если

$\underset{t\to \infty }{\lim }x\left(t\right) = 0$

для любой суммируемой начальной функции $\psi$ и любого вещественного $\alpha$.

Определение 2. Уравнение (1) называется экспоненциально устойчивым, если для любой суммируемой начальной функции $\psi$ и любого вещественного $\alpha$ существуют такие $\sigma$, $M\mathrm{<mo>></mo>0}$, что $\left|x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo><</mo>}M{e}^{-\sigma t}$ при $t\ge 0$.

Необходимые условия асимптотической устойчивости уравнения (1) в случае $a\mathrm{<mo>=</mo>0}$ были получены в [12].

Целью настоящей работы является сведение задачи об устойчивости (1) к задаче исследования спектра оператора сдвига по траекториям. Кроме того, мы ставим целью продемонстрировать эффективность этого подхода, использовав его для построения простого необходимого признака асимптотической устойчивости уравнения (1).

2. Основной результат.

Ниже функцию $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}x$ будем считать доопределённой в нуле по непрерывности.

Обозначим через $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ пространство непрерывных комплекснозначных функций $z\mathrm{<mo>:</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\to ℂ$ с нормой

$\parallel z\parallel \sup \underset{t\in }{}\left|zt\right|\mathrm{.}$

Определим оператор $S$, действующий в пространстве $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$:

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Sx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(e^{-a\tau }-c\frac{1-e^{-a\tau }}{a}\right)-b{e}^{-a\tau }{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{as}ds\mathrm{.}$

Рассмотрим функцию

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lambda +\frac{c\lambda }{a\lambda +b}-\left(1+\frac{c\lambda }{a\lambda +b}\right)e^{-\frac{a\lambda +b}{\lambda }}\mathrm{.}$

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:

(i) уравнение (1) асимптотически устойчиво;

(ii) уравнение (1) экспоненциально устойчиво;

(iii) спектральный радиус оператора $S$ меньше единицы;

(iv) все корни уравнения $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ лежат внутри единичного круга.

Доказательство. При любом $n\in {\mathbb{N}}_0$ обозначим решение уравнения (1) на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}n\mathrm{,}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ через $x_n\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t-n$. Очевидно,

$x_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\alpha \left(e^{-a\tau }-c\frac{1-e^{-a\tau }}{a}\right)-b{e}^{-a\tau }{\displaystyle {\int }_0^{\tau }}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{as}ds\mathrm{.}$

Заметим, что $x_n\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, причём $x_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in ℝ$. Для любого $n\ge 1$ справедливо равенство

$x_n\mathrm{<mo>=</mo>}S{x}_{n-1}\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{S}^n{x}_0\mathrm{.}$

Изучим спектр оператора $S$. Непрерывный спектр оператора состоит из единственной точки $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Точка $\lambda$ является собственным числом оператора $S$ в том и только том случае, если $\lambda \ne 0$ и краевая задача

$\left\{\begin{array}{ll}\dot{y}\left(\tau \right)+(a+b/\lambda )y\left(\tau \right) =-c\mathrm{,}\tau \in \left[0,1\right]& \\ y\left(0\right) = 1& \\ y\left(1\right) = \lambda & \end{array}\right.$                 (4)

разрешима в $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Решение дифференциального уравнения задачи (4), удовлетворяющее условию $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$, имеет вид

$y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(1+\frac{c}{a+b\mathrm{<mo>/</mo>}\lambda }\right)e^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+b\mathrm{<mo>/</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\tau }-\frac{c}{a+b\mathrm{<mo>/</mo>}\lambda }\mathrm{.}$                                                                                        (5)

Для того, чтобы выполнялось условие $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lambda$ необходимо и достаточно, чтобы $\lambda$ являлось корнем уравнения $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$.

Если $b\mathrm{<mo>=</mo>0}$, то

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lambda +c\frac{1-e^{-a}}{a}-e^{-a}\mathrm{<mo>;</mo>}$

следовательно, существует единственный корень $\tilde{\lambda }$ данной функции:

$\tilde{\lambda }\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-a}-c\frac{1-e^{-a}}{a}\mathrm{.}$

Предположим, что $b\ne 0$. В этом случае $\lambda$ является собственным числом оператора $S$ в том и только том случае, если

$\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{b}{a+\mu }\mathrm{,}$

где $\mu$ $—$ корень уравнения

$\mu +a-c-ac\frac{1-e^{-\mu }}{\mu }+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\mu }\mathrm{<mo>=</mo>0.}$                                                                        (6)

Если $a\mathrm{<mo>=</mo>}-\mu$, то из (6) вытекает равенство $b\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Следовательно, $a\ne -\mu$, поэтому $\lambda$ определён для любого корня уравнения (6) при $b\ne 0$.

Уравнение (6) является характеристическим уравнением дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием:

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-ac{\displaystyle {\int }_{t-1}^t}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$

Дифференциальные уравнения такого типа хорошо исследованы (см. [6]); в частности, известно, что любому кругу в комплексной плоскости принадлежит конечное (или пустое) множество корней его характеристического уравнения (6). Следовательно, существует такой корень $\tilde{\lambda }$ функции $F$, что

$\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{\lambda }\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}b\mathrm{<mo>|</mo>}}{\min \mathrm{<mo>|</mo>}a+{\mu }_k\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{,}$

где $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mu }_k\mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ множество всех корней уравнения (6).

Итак, при любом $b$ спектральный радиус оператора $S$ удовлетворяет соотношению $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}\tilde{\lambda }\mathrm{<mo>|</mo>}$.

Пусть $\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{\lambda }\mathrm{<mo>|</mo>}\ge 1$. Выберем две начальные функции

${\psi }_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}Re\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}Im\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $\tilde{y}$ $—$ собственный вектор, соответствующий собственному числу $\tilde{\lambda }$.

Обозначим через $x_R$ решение задачи Коши (3) при $\psi \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_R$ и $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}Re\tilde{\lambda }$, а через $x_I$ $—$ решение той же задачи Коши при $\psi \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_I$ и $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}Im\tilde{\lambda }$.

Согласно формуле (5) имеем

$x_R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+i{x}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{\lambda }}^{n+1}\mathrm{<mo>;</mo>}$

следовательно, по крайней мере одно из двух решений не стремится к нулю, то есть уравнение (1) не является асимптотически устойчивым.

Пусть $\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{\lambda }\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>1}$, тогда существует такое $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$, что $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>1}-\epsilon$.

Ниже норма оператора является индуцированной нормой.

Из формулы Бёрлинга$–$Гельфанда вытекает соотношение

$\rho \left(S\right) = \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\parallel S^n\parallel }\mathrm{.}$

Следовательно, существует такое $N$, что при $n\ge N$ имеем

$\parallel S^n\parallel \le {\left(1-\frac{\epsilon }{2}\right)}^n\mathrm{.}$

Далее,

$\parallel x_{N+n}\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\parallel S^n{x}_N\parallel \le \parallel S^n\parallel \parallel x_N\parallel \le {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\epsilon \mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^n\parallel x_N\parallel \mathrm{<mo>;</mo>}$

следовательно, уравнение (1) является экспоненциально устойчивым.

Заметим, что при $b\ne 0$ уравнение (1) асимптотически устойчиво в том и только том случае, если $\mathrm{<mo>|</mo>}\mu +a\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo><mo>|</mo>}b\mathrm{<mo>|</mo>}$ для любого корня уравнения (6).

Сформулируем простой необходимый признак асимптотической устойчивости уравнения (1).

Теорема 2. Для того чтобы уравнение (1) было экспоненциально устойчивым, необходимо выполнения неравенств

$\left\{\begin{array}{ll}a+b+c > 0& \\ c <\left( b-a\right)\cosh \frac{b-a}{2}\mathrm{.}& \end{array}\right.$

Если при этом $b\mathrm{<mo>=</mo>0}$, то данные условия являются достаточными.

Доказательство. Если $a+b+c\le 0$, то

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a+b+c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{1-e^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{a+b}\le \mathrm{0,}$

однако

$\underset{\begin{array}{c}\lambda \to \infty \\ \lambda \in ℝ\end{array}}{{\displaystyle \lim }}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\infty \mathrm{<mo>;</mo>}$

следовательно, уравнение $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ имеет по крайней мере один вещественный корень на множестве $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1<mo>;</mo>}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Пусть $c\ge v\cosh \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $v\mathrm{<mo>=</mo>}b-a$. Тогда

$-c\mathrm{<mo>></mo>}v\frac{1+e^v}{1-e^v}\mathrm{<mo>;</mo>}$

следовательно,

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-1-e^v-c\frac{1-e^v}{v}\mathrm{<mo>></mo>0<mo>;</mo>}$

однако,

$\underset{\begin{array}{c}\lambda \to -\infty \\ \lambda \in ℝ\end{array}}{{\displaystyle \lim }}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\infty \mathrm{<mo>;</mo>}$

следовательно, уравнение $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ имеет по крайней мере один вещественный корень на множестве $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{<mo>;</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Если $b\mathrm{<mo>=</mo>0}$, то

$\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-a}-c\frac{1-e^{-a}}{a}\mathrm{.}$

Неравенства $-\mathrm{1<mo><</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>1}$ эквивалентны

$-\mathrm{1<mo><</mo>}{e}^{-a}-c\frac{1-e^{-a}}{a}\mathrm{<mo><</mo>1.}$

Далее,

$-1+e^{-a}\mathrm{<mo><</mo>}c\frac{1-e^{-a}}{a}\mathrm{<mo><</mo>1}+e^{-a}\mathrm{,}$

что эквивалентно $a+c\mathrm{<mo><</mo>0}$ и $c\mathrm{<mo><</mo>}a\coth \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

В заключение отметим, что для построения необходимого и достаточного условия асимптотический устойчивости уравнения (1) необходимо исследовать не только случай, когда вещественные собственные значения оператора $S$ принадлежат единичному кругу, но и случай, когда все комплексные собственные значения данного оператора принадлежит единичному кругу. Это актуальная задача, которая в настоящий момент не решена и выходит за рамки настоящей работы.