Boundary-value problem for an integro-differential equation of mixed type

Abstract

For a two-point boundary-value problem for a system of integro-differential equations of mixed type, we obtain conditions for unique solvability in terms of the solvability of the Cauchy problem and a hybrid system.

Full Text

1. Постановка задачи. Интегро-дифференциальные уравнения часто возникают в приложениях, являясь математической моделью различных процессов механики, физики, химии, биологии, медицины, экологии, экономики и др. Особое место среди интегро-дифференциальных уравнений занимают интегро-дифференциальные уравнения смешанного типа (см. [8, 11–14, 19–27, 30]). Интегро-дифференциальные уравнения смешанного типа, которые содержат интегральные члены Вольтерра и Фредгольма, также называются интегро-дифференциальными уравнениями Вольтерра–Фредгольма (см. [8, 11, 12, 20, 21, 23, 24, 26, 30]). Если ядра интегральных членов принадлежат классу непрерывных функций, то становится невозможным рассматривать интегро-дифференциальные уравнения смешанного типа как интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма после продолжения ядра интегрального слагаемого Вольтерра на весь отрезок. Это в свою очередь приводит к трудностям при исследовании краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений смешанного типа. Методы, разработанные для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра и Фредгольма, не всегда можно применить к интегро-дифференциальным уравнениям смешанного типа. Особый класс интегро-дифференциальных уравнений смешанного типа составляют интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра–Фредгольма второго порядка в связи с многочисленными приложениями. Несмотря на большое количество работ по интегро-дифференциальным уравнениям Вольтерра–Фредгольма второго порядка, остается очень много вопросов, касающихся эффективных методов решения краевых задач для них.

В [4] Д. С. Джумабаевым был предложен метод параметризации решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод параметризации Джумабаева оказался конструктивным методом исследования различных краевых задач для дифференциальных, нагруженных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Наряду с установлением критериев однозначной и корректной разрешимости исследуемых задач были построены алгоритмы нахождения приближенных решений и условия их сходимости к точным решениям рассматриваемых задач (см. [1–3, 9, 10, 15, 17]). На базе метода параметризации также был разработан новый подход к общему решению линейного обыкновенного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма (см. [16]). Интервал, где рассматривается уравнение, разбивается на части, и значения решения в начальных точках подынтервалов принимаются за дополнительные параметры. С помощью введения новых неизвестных функций на подынтервалах, получена специальная задача Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений с параметрами. На основе решения специальной задачи Коши построено новое общее решение линейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма. Это общее решение, в отличие от классического общего решения, существует для всех линейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма. Новое общее решение позволило предложить численные и приближенные методы решения линейных краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма. Эти методы базируются на составлении и решении системы линейных алгебраических уравнений относительно произвольных векторов нового общего решения. Коэффициенты и правые части этой системы определяются с помощью решений задач Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений на подынтервалах и решений линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. С помощью нового общего решения установлены критерии разрешимости линейных краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма. Новый подход к общему решению дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений стал основой методов исследования и решения нелинейных краевых задач для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений (см. [5, 18]). Методы базируются на построении и решении систем нелинейных алгебраических уравнений относительно произвольных векторов новых общих решений.

В настоящей работе рассматриваются вопросы разрешимости двухточечной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений смешанного типа с вырожденными ядрами. Исходная задача сначала сведена к двухточечной краевой задаче для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с неизвестной функцией, связанной с искомой функцией интегральным соотношением. Данную задачу также можно трактовать как обратную задачу для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром (см. [6, 7, 28, 29]). Затем, с помощью введения дополнительного параметра как значения решения в начале интервала, задача сведена к эквивалентной задаче, содержащей задачу Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с параметром и неизвестной функцией и гибридную систему алгебраических и интегральных уравнений относительно параметра и неизвестной функции. Получены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в терминах разрешимости задачи Коши и гибридной системы.

Рассмотрим на отрезке $[0, T]$следующую двухточечную краевую задачу для системы интегро-дифференциальных уравнений смешанного типа: $\frac{dx}{dt}=A\left(t\right)x+{\phi }_1\left(t\right)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\psi }_1\left(s\right)x\left(s\right)ds+{\phi }_2\left(t\right)\mu \left(t\right)+f\left(t\right),x\in {ℝ}^n,$ (1)

$Bx\left(0\right)+Cx\left(T\right)=d,d\in {ℝ}^n,$ (2)

где $(n\times n)$-матрицы $A\left(t\right)$, ${\phi }_1\left(t\right)$, ${\phi }_2\left(t\right)$ непрерывны на $[0, T]$, $(n\times n)$матрицы , ${\psi }_1\left(s\right)$ непрерывны на ${\psi }_2\left(s\right)$, $n$-вектор-функция $f\left(t\right)$ непрерывна на $[0, T]$, B, C — постоянные $(n\times n)$-матрицы

$\parallel x\parallel =\underset{i=\overline{\mathrm{1,}n}}{max}\left|x_i\right|,\parallel A\left(t\right)\parallel =\underset{i=\overline{\mathrm{1,}n}}{max}\sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right(t\left)\right|.$

Решением задачи (1), (2) называется вектор-функция $x\left(t\right)$, непрерывная на $[0, T]$ и непрерывно дифференцируемая на $(0,T)$, удовлетворяющая системе (1) и краевому условию (2).

Пусть $C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$— пространство непрерывных функций $x:\left[\mathrm{0,}T\right]\to R^n$ с нормой

$\parallel x{\parallel }_1=\underset{t\in \left[\mathrm{0,}T\right]}{max}\parallel x\left(t\right)\parallel .$

2. Сведение к эквивалентной задаче с неизвестной функцией и параметром. Положим для всех $t\in \left[\mathrm{0,}T\right]$

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)x\left(s\right)ds=\mu \left(t\right).$

Тогда задачу (1), (2) можем записать в виде

$\frac{dx}{dt}=A\left(t\right)x+{\phi }_1\left(t\right)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\psi }_1\left(s\right)x\left(s\right)ds+{\phi }_2\left(t\right)\mu \left(t\right)+f\left(t\right),x\in {ℝ}^n,$ (3)

$Bx\left(0\right)+Cx\left(T\right)=d,d\in {ℝ}^n,$ (4)

$\mu \left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)x\left(s\right)ds,t\in \left[\mathrm{0,}T\right].$ (5)

Решением задачи (3)–(5) является пара функций $\left(x\right(t), \mu (t\left)\right)$, где вектор-функция $x\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$ непрерывно дифференцируема на $(0,T)$, а вектор-функция $x\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$ удовлетворяет системе интегро-дифференциальных уравнений (3), краевому условию (4) и интегральному соотношению (5).

Задачу (3)–(5) можно трактовать как обратную задачу для системы интегро-дифференциальных уравнений (см. [6, 7, 28, 29]) с неизвестной функцией $\mu \left(t\right)$, связанной с искомой функцией $x\left(t\right)$ интегральным соотношением (5).

Далее применим метод параметризации (см. [4]). Введем параметр $\lambda =x\left(0\right)$ и в задаче (3)–(5), произведя замену функции $u\left(t\right) =x\left(t\right) - \lambda$, где $u\left(t\right)$ — новая неизвестная функция, получаем краевую задачу с неизвестной функцией и параметром:

 $\frac{du}{dt}=A\left(t\right)(u+\lambda )+{\phi }_1\left(t\right)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\psi }_1\left(s\right)\left[u\right(s)+\lambda ]ds+{\phi }_2\left(t\right)\mu \left(t\right)+f\left(t\right),$ (6)

 $u\left(0\right)=\mathrm{0,}$ (7)

 $B\lambda +C\lambda +Cu\left(T\right)=d,$ (8)

$\mu \left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)\left[u\right(s)+\lambda ]ds,t\in \left[\mathrm{0,}T\right].$ (9)

Решением задачи (6)–(9) называется тройка $\left(u\right(t), \mu (t), \lambda )$, где $u\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$— непрерывно дифференцируема на $(0,T)$ вектор-функция,$$$\mu \left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$ — вектор-функция, $\lambda \in {ℝ}^n$ — параметр, удовлетворяющая системе интегро-дифференциальных уравнений (6), начальному условию (7), краевому условию (8) и интегральному соотношению (9).

Если тройка $\left(\tilde{u}\right(t),\tilde{\mu }(t),\tilde{\lambda })$, где $\tilde{u}\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$, $\tilde{\mu }\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$ $\tilde{\lambda }\in {ℝ}^n$— решение задачи (6)–(9), то пара $\widetilde{x(}t), \widetilde{\mu (}t)$ с компонентами, определяемыми равенствами

 $\tilde{x}\left(t\right)=\tilde{\lambda }+\tilde{u}\left(t\right),\tilde{\mu }\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)\left[\tilde{u}\right(s)+\tilde{\lambda }]ds,t\in \left[\mathrm{0,}T\right],$

будет решением задачи (3)–(5). Наоборот, если пара $\left(x^{\ast }\right(t),{\mu }^{\ast }(t\left)\right)$ является решением задачи (3)–(5), то тройка $\left(u^{\ast }\right(t),{\mu }^{\ast }(t),{\lambda }^{\ast })$ с элементами $u^{\ast }\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$, ${\mu }^{\ast }\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$, ${\lambda }^{\ast }\in {ℝ}^n$, где ${\lambda }^{\ast }=x^{\ast }\left(0\right)$, $u^{\ast }\left(t\right)=x^{\ast }\left(t\right)-x^{\ast }\left(0\right)$,

 ${\mu }^{\ast }\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)x^{\ast }\left(s\right)ds,t\in \left[\mathrm{0,}T\right],$

будет решением задачи (6)–(9).

Введение дополнительного параметра позволило получить начальное условие (7) для неизвестной функции $u\left(t\right)$. При фиксированных значениях $\lambda \in {ℝ}^n$ и ${\mu }^{\ast }\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$ функция $u\left(t\right)$ определяется из задачи Коши (6), (7) для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма.

Таким образом, получили задачу Коши (6), (7) для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с параметром $\lambda$ и неизвестной функцией $u\left(t\right)$. Дополнительные соотношения (8) и (9) позволяют определить параметр $\lambda$ и функцию $u\left(t\right)$ для всех $t\in [0,T]$.

С помощью фундаментальной матрицы $X\left(t\right)$ дифференциального уравнения

 $\frac{dx}{dt}=A\left(t\right)x$

на $[0,T]$ задача Коши (6), (7) для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма сводится к эквивалентной системе интегральных уравнений

 $u\left(t\right)=X\left(t\right)\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}^{-1}\left(\tau \right){\phi }_1\left(\tau \right)d\tau \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\psi }_1\left(s\right)u\left(s\right)ds+X\left(t\right)\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}^{-1}\left(\tau \right)A\left(\tau \right)d\tau \lambda +$

$+X\left(t\right)\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}^{-1}\left(\tau \right){\phi }_1\left(\tau \right)d\tau \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\psi }_1\left(s\right)ds\lambda +$

 $+X\left(t\right)\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}^{-1}\left(\tau \right){\phi }_2\left(\tau \right)\mu \left(\tau \right)d\tau +X\left(t\right)\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}^{-1}\left(\tau \right)f\left(\tau \right)d\tau ,t\in \left[\mathrm{0,}T\right].$ (10)

 Пусть

 $\theta =\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\psi }_1\left(s\right)u\left(s\right)ds,$

 $P\left(t\right)$ — непрерывная на [0, T] квадратная матрица или вектор размерности n. Введем обозначение

 $u\left(t\right)=E\left({\phi }_1\right(\cdot ),t)\theta +\left[E\right(A(\cdot ),t)+E({\phi }_1(\cdot ),t\left)\right]\lambda +E\left({\phi }_2\right(\cdot \left)\mu \right(\cdot ),t)+E\left(f\right(\cdot ),t),t\in \left[\mathrm{0,}T\right].$ (11)

 и перепишем систему интегральных уравнений (10) в следующей форме:

 $u\left(t\right)=E\left({\phi }_1\right(\cdot ), t)\theta +\left[E\right(A(\cdot ),t)+E({\phi }_1(\cdot ),t\left)\right]\lambda +E{\phi }_2(\cdot )\mu (\cdot )t+E\left(f\right(\cdot \left)t\right),t\in T.$ (12)

 Умножив обе части (12) на ${\psi }_1\left(t\right)$ и проинтегрировав на интервале $[0,T]$, получим систему линейных алгебраических уравнений

 $\theta =G_1({\phi }_1,T)\theta +V_1(A,{\phi }_1,T)\lambda +v_1({\phi }_2\mu ,T)+g_1(f,T)$ (13)

 относительно $\theta \in {ℝ}^n$ с $(n\times n)$-матрицами

 $G_1({\phi }_1,T)=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\psi }_1\left(s\right)E\left({\phi }_1\right(\cdot ),s)ds,V_1(A,{\phi }_1,T)=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\psi }_1\left(s\right)\left[E\right(A(\cdot ),s)+E({\phi }_1(\cdot ),s\left)\right]ds,$

и $n$-мерными векторами

$v_1({\phi }_2\mu ,T)=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\psi }_1\left(s\right)E\left({\phi }_2\right(\cdot \left)\mu \right(\cdot ),s)ds,g_1(f,T)=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\psi }_1\left(s\right)E\left(f\right(\cdot ),s)ds.$

Перепишем систему (13) в виде

$[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]\theta =v_1({\phi }_2\mu ,T)+V_1(A,{\phi }_1,T)\lambda +g_1(f,T),$ (14)

 где I— единичная матрица размерности n.

Определение. Задача Коши (6), (7) называется однозначно разрешимой, если для произвольных $\lambda \in {ℝ}^n$, $\mu \left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$, $f\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$ она имеет единственное решение.

Учитывая, что задача Коши эквивалентна системе интегральных уравнений (10) и эта система с вырожденными ядрами эквивалентна системе алгебраических уравнений (13) относительно $\theta \in {ℝ}^n$, приходим к выводу, что задача Коши однозначно разрешима тогда и только тогда, когда матрица $I-G_1({\phi }_1,T)$ обратима.

Пусть матрица $I-G_1({\phi }_1,T)$ обратима. Представим матрицу ${[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}$ в виде ${[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}=M\left(T\right)$, где $M\left(T\right)$ — квадратная матрица размерности n. Тогда вектор $\theta \in {ℝ}^n$ в соответствии с (14) может быть определен равенством

 $\theta =M\left(T\right)V_1(A,{\phi }_1,T)\lambda +M\left(T\right)v_1({\phi }_2\mu ,T)+M\left(T\right)g_1(f,T).$ (15)

В (12) подставляя правую часть (15) вместо $\theta$, получим представление функции $u\left(t\right)$ через $\lambda$ и $\mu \left(t\right)$:

$u\left(t\right)=E\left({\phi }_1\right(\cdot ),t)\left\{M\right(T\left)V_1\right(A,{\phi }_1,T)\lambda +M(T\left)v_1\right({\phi }_2\mu ,T)+M(T\left)g_1\right(f,T\left)\right\}+$

$+\left[E\right(A(\cdot ),t)+E({\phi }_1(\cdot ),t\left)\right]\lambda +E\left({\phi }_2\right(\cdot \left)\mu \right(\cdot ),t)+E\left(f\right(\cdot ),t),t\in \left[\mathrm{0,}T\right].$ (16)

Введем следующие обозначения:

$D_1\left(t\right)=E\left({\phi }_1\right(\cdot ),t)M\left(T\right)V_1(A,{\phi }_1,T)+E\left(A\right(\cdot ),t)+E\left({\phi }_1\right(\cdot ),t),$ (17)

${\Phi }_1(t,\mu )=E\left({\phi }_1\right(\cdot ),t)M\left(T\right)v_1({\phi }_2\mu ,T)+E\left({\phi }_2\right(\cdot \left)\mu \right(\cdot ),t),$ (18)

$F_1\left(t\right)=E\left({\phi }_1\right(\cdot ),t)M\left(T\right)g_1(f,T)+E\left(f\right(\cdot ),t).$ (19)

Тогда из (16) имеем

 $u\left(t\right)=D_1\left(t\right)\lambda +{\Phi }_1(t,\mu )+F_1\left(t\right).$ (20)

Находя из (20) значения функции $u\left(t\right)$ при $t=T$ и $t=s$, подставляя найденные выражения в краевое условие (8) и интегральные соотношения (9), получим гибридную систему уравнений, состоящую из системы алгебраических уравнений относительно параметра $\lambda$ 

 $[B+C+C{D}_1(T\left)\right]\lambda =-C{\Phi }_1(T,\mu )+d-C{F}_1\left(T\right),$ (21)

и интегрального уравнения Вольтерра относительно функции $\mu \left(t\right)$:

 $\mu \left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right){\Phi }_1(s,\mu )ds+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)\left[D_1\right(s)+I]ds\lambda +\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)F_1\left(s\right)ds,t\in \left[\mathrm{0,}T\right].$ (22)

Обозначим через $Q_{\ast }\left(T\right)$ матрицу, соответствующую левой части системы уравнений (21) и запишем ее в виде

$Q_{\ast }\left(T\right)\lambda =-C{\Phi }_1(T,\mu )+d-C{F}_1\left(T\right),\lambda \in {ℝ}^n.$ (23)

Лемма. Пусть матрица $I-G_1({\phi }_1,T)$ обратима. Тогда справедливы следующие утверждения:

(i) пара $\left({\mu }^{\ast }\right(t),{\lambda }^{\ast })$, где функция ${\mu }^{\ast }\left(t\right)$ определяется из равенства

${\mu }^{\ast }\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)x^{\ast }\left(s\right)ds,$

а вектор ${\lambda }^{\ast }\in {ℝ}^n$ является значением решения $x^{\ast }\left(t\right)$ задачи (1), (2) при $t=0$ (т.е. ${\lambda }^{\ast }=x^{\ast }\left(0\right)$), удовлетворяет гибридной системе (22), (23), состоящей из системы интегральных уравнений (22) и системы алгебраических уравнений (23);

(ii) если пара $\left(\tilde{\mu }\right(t),\tilde{\lambda })$ является решением гибридной системы (22), (23), а функция $\tilde{u}\left(t\right)$ — решением задачи Коши (6), (7) для $\lambda =\tilde{\lambda }$, $\mu \left(t\right)=\tilde{\mu }\left(t\right)$, то функция $\tilde{x}\left(t\right)$, определяемая равенством $\tilde{x}t\tilde{\lambda }+\tilde{u}t$, $t\in T$, при выполнении условия

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)\tilde{x}\left(s\right)ds=\tilde{\mu }\left(t\right),t\in \left[\mathrm{0,}T\right],$

является решением задачи (1), (2).

Доказательство с небольшими изменениями аналогично доказательству [15, лемма 1, с. 1455].

3. Однозначная разрешимость задачи (1), (2). Введем обозначения

$\alpha =\underset{t\in \left[\mathrm{0,}T\right]}{max}\parallel A\left(t\right)\parallel ,{\overline{\phi }}_i\left(T\right)=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_i\left(t\right)\parallel dt,{\overline{\psi }}_i\left(T\right)=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_i\left(t\right)\parallel dt,i=\mathrm{1,2,}$

$a_1\left(T\right)=e^{\alpha T}{\overline{\phi }}_1\left(T\right)\parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel {\overline{\psi }}_1\left(T\right)+\mathrm{1,}$

$a_2\left(T\right)=e^{\alpha T}\parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \cdot {\overline{\psi }}_1\left(T\right)e^{\alpha T}T.$

Теорема. Пусть выполнены следующие условия: [ (i)]

(i) матрица $[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ обратима;

(ii) матрица $Q_{\ast }\left(T\right):{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ обратима и имеет место неравенство

$\parallel {\left[Q_{\ast }\right(T\left)\right]}^{-1}\parallel \le {\gamma }_{\ast }\left(T\right),$

где ${\gamma }_{\ast }\left(T\right)$ — положительная постоянная;

(iii) справедливо неравенство 

$q\left(T\right)=\max \left({\gamma }_{\ast }\right(T)\parallel C\parallel a_1(T\left)e^{\alpha T}{\overline{\phi }}_2\right(T),{\overline{\psi }}_2(T\left)a_1\right(T\left)e^{\alpha T}\right[{\overline{\phi }}_2\left(T\right)+{\overline{\phi }}_1\left(T\right)]+$

 $+{\overline{\psi }}_2\left(T\right)\left[a_1\right(T\left)\right\{e^{\alpha T}-1\}+1])<1.$

Тогда задача (1), (2) имеет единственное решение $x^{\ast }\left(t\right)$ для произвольных $f\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$, $d\in {ℝ}^n$ и справедлива оценка

$\parallel x^{\ast }{\parallel }_1\le \mathcal{N}\left(T\right)\max (\parallel d\parallel ,\parallel f{\parallel }_1),$ (24)

где

$\mathcal{N}\left(T\right)=\left(\right\{a_1\left(T\right)[e^{\alpha T}-1+e^{\alpha T}({\overline{\phi }}_1\left(T\right)+{\overline{\phi }}_2\left(T\right)\left)\right]+1\}\times$

$\times \frac{1}{1-q\left(T\right)}\max \left[{\gamma }_{\ast }\right(T\left)\right\{1+\parallel C\parallel a_2\left(T\right)\},{\overline{\psi }}_2(T\left)a_2\right(T)+e^{\alpha T}T]+a_1\left(T\right)e^{\alpha T}T).$ (25)

Доказательство. Пусть матрица $[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ обратима и $f\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$, $d\in {ℝ}^n$. Используя обратимость матрицы $Q_{\ast }\left(T\right)$, находим единственное решение гибридной системы (22), (23):

 ${\lambda }^{\ast }=-{\left[Q_{\ast }\right(T\left)\right]}^{-1}\left\{C{\Phi }_1\right(T,{\mu }^{\ast })-d+C{F}_1(T\left)\right\},$

${\mu }^{\ast }\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right){\Phi }_1(s,{\mu }^{\ast })ds+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)\left[D_1\right(s)+I]ds{\lambda }^{\ast }+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)F_1\left(s\right)ds,t\in \left[\mathrm{0,}T\right].$

где ${\lambda }^{\ast }\in {ℝ}^n$, ${\mu }^{\ast }\left(t\right)\in C\left(\right[\mathrm{0,}T],{ℝ}^n)$. Решая задачу Коши (6), (7) для $\lambda ={\lambda }^{\ast }$, $\mu \left(t\right)={\mu }^{\ast }\left(t\right)$, определим функцию $u^{\ast }\left(t\right)$ для всех $t\in \left[\mathrm{0,}T\right]$.

Из обратимости матрицы $[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]$ следует существование единственной функции $u^{\ast }\left(t\right)$, определяемой правой частью (16) при $\lambda ={\lambda }^{*}$, $\mu \left(t\right)={\mu }^{\ast }\left(t\right)$. Тогда согласно лемме функция $x^{\ast }\left(t\right)$, определяемая равенством $x^{\ast }\left(t\right)={\lambda }^{\ast }+u^{\ast }\left(t\right)$ при

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\psi }_2\left(s\right)x^{\ast }\left(s\right)ds={\mu }^{\ast }\left(t\right),t\in \left[\mathrm{0,}T\right],$

является решением задачи (1), (2). Единственность решения доказывается противного.

Докажем оценку (24). Из (11) и равенства

 $X\left(t\right)\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}^{-1}\left(\tau \right)P\left(\tau \right)d\tau =\underset{0}{\overset{t}{\int }}P\left({\tau }_1\right)d{\tau }_1+\underset{0}{\overset{t}{\int }}A\left({\tau }_1\right)\underset{0}{\overset{{\tau }_1}{\int }}P\left({\tau }_2\right)d{\tau }_{2}d{\tau }_1+$

$+\underset{0}{\overset{t}{\int }}A\left({\tau }_1\right)\underset{0}{\overset{{\tau }_1}{\int }}A\left({\tau }_2\right)\underset{0}{\overset{{\tau }_2}{\int }}P\left({\tau }_3\right)d{\tau }_{3}d{\tau }_{2}d{\tau }_1+\dots ,t\in \left[\mathrm{0,}T\right],$

 получим оценки

$\parallel E\left(A\right(\cdot ),T)\parallel =||X\left(T\right)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}^{-1}\left(\tau \right)A\left(\tau \right)d\tau ||\le e^{\alpha T}-\mathrm{1,}$ (26)

$\parallel E\left({\phi }_1\right(\cdot ),T)\parallel =||X\left(T\right)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}^{-1}\left(\tau \right){\phi }_1\left(\tau \right)d\tau ||\le e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau ,$ (27)

Используя (26), (27) и (14), получим следующие неравенства:

 $\parallel V_1(A,{\phi }_1,T)\parallel \le \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(s\right)\parallel \left\{||X\left(s\right)\underset{0}{\overset{s}{\int }}{X}^{-1}\left(\tau \right)A\left(\tau \right)d\tau ||+||X\left(s\right)\underset{0}{\overset{s}{\int }}{X}^{-1}\left(\tau \right){\phi }_1\left(\tau \right)d\tau ||\right\}ds\le$

 $\le \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(s\right)\parallel ds\left\{e^{\alpha T}-1+e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \right\},$ (28)

$\parallel v_1({\phi }_2\mu ,T)\parallel \le \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(s\right)\parallel \cdot ||X\left(s\right)\underset{0}{\overset{s}{\int }}{X}^{-1}\left(\tau \right){\phi }_2\left(\tau \right)\mu \left(\tau \right)d\tau ||ds\le$

 $\le \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(s\right)\parallel ds\cdot e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_2\left(\tau \right)\parallel \cdot \parallel \mu \left(\tau \right)\parallel d\tau ,$ (29)

 $\parallel g_1(f,T)\parallel \le \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(\tau \right)\parallel \cdot ||X\left(\tau \right)\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{X}^{-1}\left(s\right)f\left(s\right)ds||d\tau \le \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \cdot e^{\alpha T}\cdot T\cdot \parallel f{\parallel }_1.$ (30)

 Тогда справедливы следующие неравенства:

$\underset{t\in \left[\mathrm{0,}T\right]}{max}\parallel D_1\left(t\right)\parallel \le$

$\le \parallel E\left({\phi }_1\right(\cdot ),T)\parallel \cdot \parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \cdot \parallel V_1(A,{\phi }_1,T)\parallel +\parallel E\left(A\right(\cdot ),T)\parallel +\parallel E\left({\phi }_1\right(\cdot ),T)\parallel \le$

 $\le \left[e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(s\right)\parallel ds+1\right]\left\{e^{\alpha T}-1+e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \right\},$ (31)

 $\le \left[e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(s\right)\parallel ds+1\right]\left\{e^{\alpha T}-1+e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \right\},$ 

$\le \left[e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(s\right)\parallel ds+1\right]\cdot e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_2\left(\tau \right)\parallel \cdot \parallel \mu \left(\tau \right)\parallel d\tau ,$ (32)

$\underset{tÎ\left[\mathrm{0,}T\right]}{}P{F}_1\left(t\right)P\pounds PE\left({\phi }_1\right(\times ),t)P\times P{[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}P\times P{g}_1(f,T)P+PE\left(f\right(\times ),T)P\pounds$

$\le e^{\alpha T}\parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \cdot \parallel g_1(f,T)\parallel +e^{\alpha T}T\parallel f{\parallel }_1\le$ 

$\le e^{\alpha T}\parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \cdot \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \cdot e^{\alpha T}T\parallel f{\parallel }_1+e^{\alpha T}T\parallel f{\parallel }_1.$ (33)

Используя (33), получим

$\parallel d-C{F}_1\left(T\right)\parallel \le \parallel d\parallel +\parallel C\parallel \cdot \parallel F_1\left(T\right)\parallel \le$

 $\le \parallel d\parallel +\parallel C\parallel e^{\alpha T}\parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \cdot \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \cdot e^{\alpha T}T\parallel f{\parallel }_1+e^{\alpha T}T\parallel f{\parallel }_1\le$

$\le \left\{1+\parallel C\parallel \cdot e^{\alpha T}\cdot \parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \cdot \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \cdot e^{\alpha T}T\right\}\max (\parallel d\parallel ,\parallel f{\parallel }_1).$ (34)

Для решения гибридной системы (22), (23) с помощью неравенств (31)–(34) и обратимости матрицы $Q_{\ast }\left(T\right)$ получим

$\parallel {\lambda }^{\ast }\parallel \le \parallel {\left[Q_{\ast }\right(T\left)\right]}^{-1}\parallel \cdot \parallel C\parallel \cdot \parallel {\Phi }_1(T,{\mu }^{\ast })\parallel +\parallel {\left[Q_{\ast }\right(T\left)\right]}^{-1}\parallel \cdot \parallel d-C{F}_1\left(T\right)\parallel \le$

$\le {\gamma }_{\ast }\left(T\right)\parallel C\parallel \cdot \left[e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(s\right)\parallel ds+1\right]\cdot e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_2\left(\tau \right)\parallel \cdot \parallel {\mu }^{\ast }\left(\tau \right)\parallel d\tau +$

$+{\gamma }_{\ast }\left(T\right)\left\{1+\parallel C\parallel \cdot e^{\alpha T}\cdot \parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \cdot \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \cdot e^{\alpha T}T\right\}\max (\parallel d\parallel ,\parallel f{\parallel }_1),$ (35)

$\underset{t\in \left[\mathrm{0,}T\right]}{max}\parallel {\mu }^{\ast }\left(t\right)\parallel \le$

$\le \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_2\left(s\right)\parallel \cdot \parallel {\Phi }_1(s,{\mu }^{\ast })\parallel ds+\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_2\left(s\right)\parallel \cdot \parallel \left[D_1\right(s)+I]\parallel ds\parallel {\lambda }^{\ast }\parallel +\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_2\left(s\right)\parallel \cdot \parallel F_1\left(s\right)\parallel ds\le$

$\le \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_2\left(s\right)\parallel ds\cdot \left[e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(s\right)\parallel ds+1\right]e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_2\left(\tau \right)\parallel \cdot \parallel {\mu }^{\ast }\left(\tau \right)\parallel d\tau +$

$+\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_2\left(s\right)\parallel ds\cdot \left(\left[e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(s\right)\parallel ds+1\right]\times \right.$

$\left.\times \left\{e^{\alpha T}-1+e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \right\}+1\right)\parallel {\lambda }^{\ast }\parallel +$

$+\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_2\left(s\right)\parallel ds\cdot e^{\alpha T}\parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel \cdot \underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \cdot e^{\alpha T}T\parallel f{\parallel }_1+e^{\alpha T}T\parallel f{\parallel }_1.$ (36)

Тогда из (35), (36) с учетом обозначений получим

$\max \left(\parallel {\lambda }^{\ast }\parallel ,\underset{t\in \left[\mathrm{0,}T\right]}{}\parallel {\mu }^{\ast }\left(t\right)\parallel \right)\le q\left(T\right)\max \left(\parallel {\lambda }^{\ast }\parallel ,\underset{t\in \left[\mathrm{0,}T\right]}{}\parallel {\mu }^{\ast }\left(t\right)\parallel \right)+$

$+\max \left[{\gamma }_{\ast }\left(T\right)\{1+\parallel C\parallel a_2(T\left)\right\},\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_2\left(s\right)\parallel ds{a}_2\left(T\right)+e^{\alpha T}T\right]\max (\parallel d\parallel ,\parallel f{\parallel }_1).$ (37)

Из условия $q\left(T\right)<1$ следует

$\max \left(\parallel {\lambda }^{\ast }\parallel ,\underset{t\in \left[\mathrm{0,}T\right]}{}\parallel {\mu }^{\ast }\left(t\right)\parallel \right)\le$

$\le \frac{1}{1-q\left(T\right)}\max \left[{\gamma }_{\ast }\left(T\right)\{1+\parallel C\parallel a_2(T\left)\right\},\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_2\left(s\right)\parallel ds{a}_2\left(T\right)+e^{\alpha T}T\right]\max (\parallel d\parallel ,\parallel f{\parallel }_1).$ (38)

Представление (16) и неравенства (28)–(30) позволяют нам получить следующую оценку:

$\underset{t\in \left[\mathrm{0,}T\right]}{max}\parallel u^{\ast }\left(t\right)\parallel \le$

$\le e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(t\right)\parallel dt\parallel {[I-G_1({\phi }_1,T\left)\right]}^{-1}\parallel [\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1(s)\parallel ds\left\{e^{\alpha T}-1+e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \right\}\parallel \lambda \parallel +$

$+\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(s\right)\parallel ds\cdot e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_2\left(\tau \right)\parallel \cdot \parallel \mu \left(\tau \right)\parallel d\tau +\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\psi }_1\left(\tau \right)\parallel d\tau \cdot e^{\alpha T}\cdot T\cdot \parallel f{\parallel }_1]+$

$+\left(e^{\alpha T}-1+e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_1\left(t\right)\parallel dt\right)\parallel \lambda \parallel +e^{\alpha T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\parallel {\phi }_2\left(t\right)\parallel \cdot \parallel \mu \left(t\right)\parallel dt+e^{\alpha T}T\cdot \parallel f{\parallel }_1.$ (39)

Используя (38), (39) и соотношение $\parallel x^{\ast }{\parallel }_1\le \parallel {\lambda }^{\ast }\parallel +\parallel u^{\ast }{\parallel }_1$, установим оценку (24) с константой (25). Теорема доказана.