О разрешимости некоторых краевых задач для дробного аналога нелокального уравнения Лапласа

Полный текст

1. Введение и постановка задачи. Понятие нелокального оператора и связанное с ним понятие нелокального дифференциального уравнения появилось в математике сравнительно недавно. По классификации, приведенной в книге [10] А. М. Нахушева, к таким уравнениям относятся: нагруженные уравнения; уравнения, содержащие дробные производные искомой функции; уравнения с отклоняющимися аргументами. В состав таких уравнений входят неизвестная функция и ее производные при различных значениях аргументов. Среди нелокальных дифференциальных уравнений особое место занимают уравнения, в которых отклонение аргументов имеет инволютивный характер. В настоящей работ вводится понятие нелокального оператора Лапласа и исследуются спектральные вопросы некоторых краевых задач. Итак, в трехмерном параллелепипеде рассматриваются вопросы однозначной разрешимости некоторых краевых задач для дробного аналога нелокального уравнения Лапласа.

Дифференциальные уравнения с инволюцией исследовались в работах многочисленных авторов (см., например, [1, 2, 11–14, 19, 21, 22, 24, 26]). В работе А. В. Линькова [4] для аналогов параболического, гиперболического и эллиптического уравнений с инволюцией

$\begin{array}{lll}{u}_t(t,x)-u_{xx}(t,x)-\epsilon u_{xx}(t,-x)& =\mathrm{0,} t>\mathrm{0,} -\pi & <x<\pi ,\\ u_{tt}(t,x)-u_{xx}(t,x)-\epsilon u_{xx}(t,-x)& =\mathrm{0,} t>\mathrm{0,} -\pi & <x<\pi ,\\ u_{tt}(t,x)+u_{xx}(t,x)+\epsilon u_{xx}(t,-x)& =\mathrm{0,} t>\mathrm{0,} -\pi & <x<\pi ,\end{array}$

исследованы краевые и начально-краевые задачи. Применение метода Фурье разделения переменных к этим задачам приводит к одномерной спектральной задаче

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)+\epsilon {y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=-\lambda y\left(x\right),-\pi <x<\pi ,$

с соответствующими краевыми условиями. Собственные функции этой задачи имеют вид

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)+\epsilon {y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=-\lambda y\left(x\right),-\pi <x<\pi ,$

а собственные значения —

${\lambda }_k^{\left(1\right)}=(1-\epsilon )k,{\lambda }_k^{\left(2\right)}=(1+\epsilon )(k+\mathrm{0,5}).$

Нужно отметить, что собственные функции уравнения с инволюцией совпадают с собственными функциями классического уравнения Лапласа при $\epsilon =0$, и отличие в этих задачах будет только в собственных значениях.

В настоящей работе мы рассматриваем двумерное обобщение дробного аналога эллиптического уравнения с инволюцией. В работе исследуются вопросы разрешимости краевых задач с условием Дирихле и периодическими условиями.

Переходим к постановке задачи. Пусть $0<p$, $q$, $T$ — действительные числа, $\Pi =\{x=(x_1,x_2)\in {ℝ}^2:0<x_1<p,0<x_2<q\}$ — прямоугольник, $Q=\left(\mathrm{0,}T\right)\times \Pi$. Для любой точки $x=(x_1,x_2)\in \Pi$ рассмотрим отображения

$I_{0}x=(x_1,x_2),I_{1}x=(p-x_1,x_2),I_{2}x=(x_1,q-x_2),I_{3}x=(p-x_1,q-x_2).$

Очевидно, что для любого $j=\overline{\mathrm{0,3}}$ выполняются равенства $I_j^{2}x=x$, т.е. отображения $I_j$ являются инволюциями. Кроме того, справедливы также следующие равенства

$I_1\cdot I_2=I_2\cdot I_1=I_3,I_1\cdot I_3=I_3\cdot I_1=I_2,I_2\cdot I_3=I_3\cdot I_2=I_1.$

Пусть $a_j$ — действительные числа, $j=\overline{\mathrm{0,3}}$, $\Delta$ — оператор Лапласа, действующий по переменным $x_1$ и $x_2$. Для функции $v(x_1,x_2)\in C^2\left(\Pi \right)$ введем оператор

$Lv\left(x\right)\equiv a_0\Delta v\left(I_{0}x\right)+a_1\Delta v\left(I_{1}x\right)+a_1\Delta v\left(I_{2}x\right)+a_1\Delta v\left(I_{3}x\right).$

Назовем оператор $L$ нелокальным оператором Лапласа. Если $a_0=1$, $a_j=0$, $j=\mathrm{1,2,3}$, то $L$ совпадает с обычным двумерным оператором Лапласа.

Рассмотрим в области $Q$ следующее уравнение:

$D_t^{2\alpha }u(t,x)+a_0\Delta u(t,I_{0}x)+a_1\Delta u(t,I_{1}x)+a_1\Delta u(t,I_{2}x)+a_1\Delta u(t,I_{3}x)=\mathrm{0,}(t,x)\in Q.$ (1)

Здесь $D^{2\alpha }{=}_C{D}_{0+}^{\alpha }{\cdot }_C{D}_{0+}^{\alpha }$, ${}_C{D}_{0+}^{\alpha }$ — производная порядка $\alpha \in$ в смысле Герасимова–Капуто [18], $a_j$ — действительные числа, $\Delta u(t,I_{j}x)$ означает $\Delta u(t,I_{j}x)=\Delta u(t,z){|}_{z=I_{j}x}$, $j=\overline{\mathrm{0,3}}$.

Определение. Регулярным решением уравнения (1) в области $Q$ назовём функцию $u(t,x)$ из класса $u(t,x)\in C\left(\overline{Q}\right)$, $D_t^{2\alpha }u,u_{x_1{x}_1},u_{x_2{x}_2}\in C\left(Q\right)$ и удовлетворяющую уравнению (1) в классическом смысле.

Если $\alpha =1$, $a_0=1$, $a_j=0$, $j=\mathrm{1,2,3}$, то уравнение (1) совпадает с классическим уравнением Лапласа. А в случае $\alpha =1$, $a_j\ne 0$, $j=\overline{\mathrm{0,3}}$, получаем нелокальный аналог уравнения Лапласа. Таким образом, дифференциальное уравнение (1) представляет собой дробный аналог нелокального уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными.

Рассмотрим в области $Q$ следующие задачи.

Задача $D$. Найти регулярное решение уравнения (1) в области $Q$, удовлетворяющее условиям

$u(\mathrm{0,}{x}_1,x_2)=\phi (x_1,x_2),u(T,x_1,x_2)=\psi (x_1,x_2),x=(x_1,x_2)\in \overline{\Pi },$ (2)

$u\left(t\mathrm{,0,}{x}_2\right)=u(t,q,x_2)=\mathrm{0,}0\le t\le T,0\le x_2\le q,$

(3)$u(t,x_1\mathrm{,0})=u(t,x_1,p)=\mathrm{0,}0\le t\le T,0\le x_1\le p.$ (4)

Задача $P$. Найти регулярное решение уравнения (1) в области $Q$, удовлетворяющее краевому условию (2) и условиям

$\begin{array}{llllllll}u\left(t\mathrm{,0,}{x}_2\right)& =u\left(t\mathrm{,0,}{x}_2\right),& u_{x_2}\left(t\mathrm{,0,}{x}_2\right)& =u_{x_2}\left(t\mathrm{,0,}{x}_2\right),& 0& \le t\le T,& 0& \le x_2\le q,\\ u(t,x_1\mathrm{,0})& =u(t,x_1,p),& u_{x_1}(t,x_1\mathrm{,0})& =u_{x_1}(t,x_1,p),& 0& \le t\le T,& 0& \le x_1\le p,\end{array}$

 где $\phi (x_1,x_2)$, $\psi (x_1,x_2)$ — заданные функции. 

Отметим, что свойства секвенциальных производных Герасимова– Капуто исследованы в работе [15]. В двухмерном случае аналогичные задачи со секвенциальными производными Герасимова– Капуто изучены в работах [27–29]. Кроме того, задача Дирихле и Неймана с обычными производными Герасимова– Капуто исследованы в работах [5–7]. Прямые и обратные задачи для уравнения дробного порядка в трехмерном случае изучены также в работах [16, 20, 23, 25].

2. Решение одномерной задачи дробного порядка. Пусть $\mu$ — положительное действительное число. Рассмотрим следующую задачу Дирихле для уравнения дробного порядка

$D^{2\alpha }y\left(t\right)-{\mu }^{2}y\left(t\right)=\mathrm{0,}t\in \left(\mathrm{0,}T\right),$ (5)

$y\left(0\right)=a,y\left(T\right)=b,$ (6)

где $a$, $b$ — действительные числа. Решением задачи (5), (6) назовём функцию $y\left(t\right)$ из класса

$y\left(t\right)\in C\left[\mathrm{0,}T\right],D^{\alpha }y\left(t\right)\in C\left[\mathrm{0,}T\right],D^{2\alpha }y\left(t\right)\in C\left(\mathrm{0,}T\right).$

Лемма 1 (см. [27]). Общее решение уравнения (5) имеет вид

$y\left(t\right)\in C\left[\mathrm{0,}T\right],D^{\alpha }y\left(t\right)\in C\left[\mathrm{0,}T\right],D^{2\alpha }y\left(t\right)\in C\left(\mathrm{0,}T\right).$ (7)

 где $C_1$, $C_2$ — произвольные постоянные,

$E_{\alpha ,\beta }\left(z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{z^k}{\Gamma (\alpha k+\beta )}$

— функция Миттаг-Леффлера.

Из этой леммы легко получаем следующее утверждение.

Лемма 2. Решение задачи (5), (6) существует, единственно и имеет вид

$y\left(t\right)=aC(\mu ,t)+bS(\mu ,t),$

где

$C(\mu ,t)=\frac{E_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu T^{\alpha }\right)E_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu t^{\alpha })-E_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu T^{\alpha })E_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu t^{\alpha }\right)}{2\mu T^{\alpha }{E}_{2\alpha ,\alpha +1}\left({\mu }^2{T}^{2\alpha }\right)},$ (8)

$S(\mu ,t)=\frac{t^{\alpha }{E}_{2\alpha ,\alpha +1}\left({\mu }^2{t}^{2\alpha }\right)}{T^{\alpha }{E}_{2\alpha ,\alpha +1}\left({\mu }^2{T}^{2\alpha }\right)}.$ (9)

Доказательство. Используя представление (7), получаем систему

$a=y\left(0\right)=C_1{E}_{\alpha \mathrm{,1}}\left(0\right)+C_2{E}_{\alpha \mathrm{,1}}\left(0\right)=C_1+C_2,$

$b=y\left(T\right)=C_1{E}_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu T^{\alpha }\right)+C_2{E}_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu T^{\alpha }).$

Из первого уравнения системы следует $C_2=a-C_1$. Отсюда

$C_1=\frac{b-a{E}_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu T^{\alpha })}{E_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu T^{\alpha }\right)-E_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu T^{\alpha })},$

$C_2=a-\frac{b-a{E}_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu T^{\alpha })}{E_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu T^{\alpha }\right)-E_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu T^{\alpha })}=\frac{a{E}_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu T^{\alpha }\right)-b}{E_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu T^{\alpha }\right)-E_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu T^{\alpha })}.$

 Далее,

$E_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu T^{\alpha }\right)-E_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu T^{\alpha })=\sum _{k=0}^{\infty }{\mu }^k\frac{T^{\alpha k}}{\Gamma (\alpha k+1)}-\sum _{k=0}^{\infty }{(-\mu )}^k\frac{T^{\alpha k}}{\Gamma (\alpha k+1)}=$

$=\sum _{k=0}^{\infty }[{\mu }^k-{(-\mu )}^k]\frac{T^{\alpha k}}{\Gamma (\alpha k+1)}=2\sum _{m=0}^{\infty }{\mu }^{2m+1}\frac{T^{\alpha (2m+1)}}{\Gamma \left(\alpha \right(2m+1)+1)}=$

$=2\mu T^{\alpha }\sum _{m=0}^{\infty }{\mu }^{2m}\frac{T^{2\alpha m}}{\Gamma (2\alpha m+\alpha +1)}=2\mu T^{\alpha }{E}_{2\alpha ,\alpha +1}\left({\mu }^2{T}^{2\alpha }\right).$

 Тогда решение задачи (5), (6) представляется в виде

$y\left(t\right)=\frac{b-a{E}_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu T^{\alpha })}{2\mu T^{\alpha }{E}_{2\alpha ,\alpha +1}\left({\mu }^2{T}^{2\alpha }\right)}{E}_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu t^{\alpha }\right)+\frac{a{E}_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu T^{\alpha }\right)-b}{2\mu T^{\alpha }{E}_{2\alpha ,\alpha +1}\left({\mu }^2{T}^{2\alpha }\right)}{E}_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu t^{\alpha })=$

$=b\frac{E_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu t^{\alpha }\right)-E_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu t^{\alpha })}{2\mu T^{\alpha }{E}_{2\alpha ,\alpha +1}\left({\mu }^2{T}^{2\alpha }\right)}+a\frac{E_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu T^{\alpha }\right)E_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu t^{\alpha })-E_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu T^{\alpha })E_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu t^{\alpha }\right)}{2\mu T^{\alpha }{E}_{2\alpha ,\alpha +1}\left({\mu }^2{T}^{2\alpha }\right)}=$

$=a\frac{E_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu T^{\alpha }\right)E_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu t^{\alpha })-E_{\alpha \mathrm{,1}}(-\mu T^{\alpha })E_{\alpha \mathrm{,1}}\left(\mu t^{\alpha }\right)}{2\mu T^{\alpha }{E}_{2\alpha ,\alpha +1}\left({\mu }^2{T}^{2\alpha }\right)}+b\frac{t^{\alpha }{E}_{2\alpha ,\alpha +1}\left({\mu }^2{t}^{2\alpha }\right)}{T^{\alpha }{E}_{2\alpha ,\alpha +1}\left({\mu }^2{T}^{2\alpha }\right)}=$

$=aC(\mu ,t)+bS(\mu ,t).$

Лемма 3 (см. [27]). Для любого $t\in \left[\mathrm{0,}T\right]$ имеет место оценка

$0\le C(\mu ,t),S(\mu ,t)\le 1.$

Лемма 4 (см. [17]). Для функции $E_{\alpha ,\beta }\left(z\right)$ при $\left|z\right|\to \infty$ имеют место следующие асимптотические оценки: [ (i)]

(i) если $\left|\arg z\right|\le \rho \pi$, $\rho \in (\alpha /\mathrm{2,}\min \{\mathrm{1,}\alpha \left\}\right)$, $\alpha \in \left(\mathrm{0,2}\right)$, то

$E_{\alpha ,\beta }\left(z\right)=\frac{1}{\alpha }{z}^{\frac{1-\beta }{\alpha }}{e}^{z^{\frac{1}{\alpha }}}-\sum _{k=1}^p\frac{z^{-k}}{\Gamma (\beta -\alpha k)}+O\left(\frac{1}{|z{|}^{p+1}}\right);$

(ii) если $\arg z=\pi$, то

$E_{\alpha ,\beta }\left(z\right)\le \frac{1}{1+\left|z\right|}.$

3. О собственных функциях и собственных значениях классических задач с условием Дирихле и периодическими условиями. В данном пункте мы приведем известные утверждения относительно собственных функций и собственных значений следующих спектральных задач.

Задача 1 (собственные функции и собственные значения задачи Дирихле). Найти функцию $v\left(x\right)\ne 0$, $x=(x_1,x_2)$ и число $\lambda \in C$, удовлетворяющие условиям

$-\Delta v(x_1,x_2)=\mu v(x_1,x_2),(x_1,x_2)\in \Pi ,$ (10)

$-\Delta v(x_1,x_2)=\mu v(x_1,x_2),(x_1,x_2)\in \Pi ,$ (11)

Задача 2 (собственные функции и собственные значения периодической краевой задачи). Найти функцию $v(x,y)\ne 0$ и число $\lambda \in C$, удовлетворяющие условиям

$-\Delta v(x_1,x_2)=\mu v(x_1,x_2),(x_1,x_2)\in \Pi ,$

$v\left(x_1\mathrm{,0}\right)=v(x_1,q),v_{x_1}\left(x_1\mathrm{,0}\right)=v_{x_1}(x_1,q),0\le x_1\le p,$

$v\left(\mathrm{0,}{x}_2\right)=v(p,x_2),v_{x_2}\left(\mathrm{0,}{x}_2\right)=v_{x_2}(p,x_2),0\le x_2\le q.$

Известны следующие утверждения (см., например, [9]).

Лемма 5. Собственные функции и собственные значения задачи 1 имеют вид

$v_{k,m}(x_1,x_2)=X_k\left(x_1\right)Y_m\left(x_2\right)\equiv \sqrt{\frac{2}{p}}\sin \frac{k\pi }{p}{x}_1\cdot \sqrt{\frac{2}{q}}\sin \frac{m\pi }{q}{x}_2,k,m=\mathrm{1,2,}\dots ,$

${\mu }_{k,m}={\nu }_k+{\sigma }_m\equiv {\left(\frac{k\pi }{p}\right)}^2+{\left(\frac{m\pi }{q}\right)}^2,k,m=\mathrm{1,2,}\dots$

Система функций ${\left\{v_{k,m}\right(x_1,x_2\left)\right\}}_{k,m=1}^{\infty }$ образует полную ортонормированную систему в пространстве $L_2\left(\Pi \right)$.

Лемма 6. Собственные функции и собственные значения задачи 2 имеют вид

$v_{k,m,i,j}(x_1,x_2)=X_{k,i}\left(x_1\right)Y_{m,j}\left(x_2\right),k,m=\mathrm{0,1,2,}\dots ,i,j=\mathrm{1,2,}$

${\mu }_{k,m}={\nu }_m+{\sigma }_m\equiv {\left(\frac{2k\pi }{p}\right)}^2+{\left(\frac{2m\pi }{q}\right)}^2,k,m=\mathrm{0,1,2,}\dots ,$

 где

$\begin{array}{llllllll}{X}_0\left(x_1\right)& =\frac{1}{\sqrt{p}},& X_{k\mathrm{,1}}\left(x_1\right)& =\sqrt{\frac{2}{p}}\cos \frac{2k\pi }{p}{x}_1,& X_{k\mathrm{,2}}\left(x_1\right)& =\sqrt{\frac{2}{p}}\sin \frac{2k\pi }{p}{x}_1,& k& =\mathrm{1,2,}\dots ,\\ Y_0\left(x_2\right)& =\frac{1}{\sqrt{q}},& Y_{m\mathrm{,1}}\left(x_2\right)& =\sqrt{\frac{2}{q}}\cos \frac{2m\pi }{q}{x}_2,& Y_{m\mathrm{,2}}\left(x_2\right)& =\sqrt{\frac{2}{q}}\sin \frac{2m\pi }{q}{x}_2,& m& =\mathrm{1,2,}\dots \end{array}$

Система функций ${\left\{v_{k,m,i,j}\right(x_1,x_2\left)\right\}}_{k,m=1}^{\infty }$, $i,j=\mathrm{1,2}$, образуют полную ортонормированную систему в пространстве $L_2\left(\Pi \right)$.

4. О собственных функциях и собственных значениях задач $D$ и $\Pi$. Рассмотрим в $\Pi$ следующие спектральные задачи.

Задача 3 (собственные функции и собственные значения задачи $D$). Найти число $\lambda \in C$ и функцию $v\left(x\right)\ne 0$, удовлетворяющие условиям

$-Lv\left(x\right)=\lambda v\left(x\right),x\in \Pi ,$ (12)

$v\left(x_1\mathrm{,0}\right)=v(x_1,q)=\mathrm{0,}0\le x_1\le p,v\left(\mathrm{0,}{x}_2\right)=v(p,x_2)=\mathrm{0,}0\le x_2\le q.$ (13)

Пусть $w\left(x\right)$ — собственная функция задачи (10), (11). Введем функции

$w_1^{\pm }\left(x\right)=\frac{w\left(x\right)\pm w\left(I_{1}x\right)}{2};w_2^{\pm }\left(x\right)=\frac{w\left(I_{2}x\right)\pm w\left(I_{3}x\right)}{2}$

и составим из них следующие комбинации:

$\begin{array}{l}{v}_1\left(x\right)=\frac{w_1^{+}\left(x\right)+w_2^{+}\left(x\right)}{2}\equiv \frac{1}{2}\left[\frac{w\left(x\right)+w\left(I_{1}x\right)}{2}+\frac{w\left(I_{2}x\right)+w\left(I_{3}x\right)}{2}\right],\\ v_2\left(x\right)=\frac{w_1^{+}\left(x\right)-w_2^{+}\left(x\right)}{2}\equiv \frac{1}{2}\left[\frac{w\left(x\right)+w\left(I_{1}x\right)}{2}-\frac{w\left(I_{2}x\right)+w\left(I_{3}x\right)}{2}\right],\\ v_3\left(x\right)=\frac{w_1^{-}\left(x\right)+w_2^{-}\left(x\right)}{2}\equiv \frac{1}{2}\left[\frac{w\left(x\right)-w\left(I_{1}x\right)}{2}+\frac{w\left(I_{2}x\right)-w\left(I_{3}x\right)}{2}\right],\\ v_4\left(x\right)=\frac{w_1^{-}\left(x\right)-w_2^{-}\left(x\right)}{2}\equiv \frac{1}{2}\left[\frac{w\left(x\right)-w\left(I_{1}x\right)}{2}-\frac{w\left(I_{2}x\right)-w\left(I_{3}x\right)}{2}\right].\end{array}$ (14)

Заметим, что из условий $w\left(x\right){|}_{\partial \Pi }=0$ $\Rightarrow$ $w\left(I_{j}x\right){|}_{\partial \Pi }=0$, $j=\mathrm{1,2,3}$, следует, что $v\left(I_{j}x\right){|}_{\partial \Pi }=0$, $j=\mathrm{1,2,3,4}$, где $\partial \Pi$ — граница области $\Pi$.

Введем следующие числа:

${\epsilon }_1=a_0+a_1+a_2+a_3,{\epsilon }_2=a_0+a_1-a_2-a_3,{\epsilon }_3=a_0-a_1+a_2-a_3,{\epsilon }_4=a_0-a_1-a_2+a_3.$

Легко показать, что если $w_{k,m}\left(x\right)=X_k\left(x_1\right)\cdot Y_m\left(x_2\right)$ — собственные функции задачи 1, то из (14) получаем следующую систему: [ (a)]

1. $v_{k,m}^{\left(1\right)}\left(x\right)=X_{2k-1}\left(x_1\right)\cdot Y_{2m-1}\left(x_2\right)$, $k,m=\mathrm{1,2,}\dots$;
2. $v_{k,m}^{\left(2\right)}\left(x\right)=X_{2k-1}\left(x_1\right)\cdot Y_{2m}\left(x_2\right)$, $k,m=\mathrm{1,2,}\dots$;
3. $v_{k,m}^{\left(3\right)}\left(x\right)=X_{2k}\left(x_1\right)\cdot Y_{2m-1}\left(x_2\right)$, $k,m=\mathrm{1,2,}\dots$;
4. $v_{k,m}^{\left(4\right)}\left(x\right)=X_{2k}\left(x_1\right)\cdot Y_{2m}\left(x_2\right)$, $k,m=\mathrm{1,2,}\dots$

Теорема 1. Пусть $a_j\in ℝ$ таковы, что ${\epsilon }_j\ne 0$, $j=\overline{\mathrm{1,4}}$, и пусть $w_{k,m}\left(x\right)=X_k\left(x_1\right)\cdot Y_m\left(x_2\right)$ — собственные функции задачи 1, а ${\mu }_{k\mathrm{,}m}$ соответствующие собственные значения. Тогда функции $v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)$, $k,m=\mathrm{1,2,}\dots$, $j=\overline{\mathrm{1,4}}$, являются собственными функциями, а ${\lambda }_{k,m}^{\left(j\right)}={\epsilon }_j\cdot {\mu }_{k,m}$, $k,m=\mathrm{1,2,}\dots$, соответствующими собственными значениями задачи (12), (13).

Доказательство. Доказательство теоремы проводится непосредственным применением оператора $L$ к функциям $v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)$, $j=\overline{\mathrm{1,4}}$. Напомним, что

$v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)=X_k\left(x_1\right)\cdot Y_m\left(x_2\right),X_k\left(x_1\right)=\sqrt{\frac{2}{p}}\sin \frac{k\pi }{p}{x}_1,Y_m\left(x_2\right)=\sqrt{\frac{2}{q}}\sin \frac{m\pi }{q}{x}_2,$

${\nu }_k={\left(\frac{k\pi }{p}\right)}^2,{\sigma }_m={\left(\frac{m\pi }{q}\right)}^2,{\mu }_{k,m}={\nu }_k+{\sigma }_m,$

а также заметим, что

$\sin \frac{k\pi }{p}(p-x_1)={(-1)}^{k+1}\sin \frac{k\pi }{p}{x}_1,\sin \frac{m\pi }{q}(q-x_2)={(-1)}^{m+1}\sin \frac{m\pi }{q}{x}_2.$

Пусть $j=1$. Тогда

$v_{k,m}^{\left(1\right)}(p-x_1,x_2)=\sin \frac{(2k-1)\pi }{p}(p-x_1)\cdot \sin \frac{(2m-1)\pi }{q}{x}_2=X_{2k-1}\left(x_1\right)\cdot Y_{2m-1}\left(x_2\right),$

$v_{k,m}^{\left(1\right)}(p-x_1,x_2)=\sin \frac{(2k-1)\pi }{p}(p-x_1)\cdot \sin \frac{(2m-1)\pi }{q}{x}_2=X_{2k-1}\left(x_1\right)\cdot Y_{2m-1}\left(x_2\right),$

$v_{k,m}^{\left(1\right)}(p-x_1,q-x_2)=\sin \frac{(2k-1)\pi }{p}(p-x_1)\sin \frac{(2m-1)\pi }{q}(q-x_2)=X_{2k-1}\left(x_1\right)\cdot Y_{2m-1}\left(x_2\right).$

Так как для любого постоянного $\lambda$ имеет место равенство ${(\sin \lambda t{)}^{\text{'}}}^{\text{'}}=-{\lambda }^2\sin \lambda t$, то, применяя к функции $u_{k,m}^{\left(1\right)}\left(x\right)$ оператор $-L$, имеем

$L{v}_{k,m}^{\left(1\right)}\left(x\right)=a_0{{X^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{2k-1}\left(x_1\right)\cdot Y_{2m-1}\left(x_2\right)+a_0{X}_{2k-1}\left(x_1\right)\cdot {{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{2m-1}\left(x_2\right)+$

$+a_1{{X^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{2k-1}(p-x_1)\cdot Y_{2m-1}\left(x_2\right)+a_1{X}_{2k-1}(p-x_1)\cdot {{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{2m-1}\left(x_2\right)+a_2{{X^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{2k-1}\left(x_1\right)\cdot Y_{2m-1}(q-x_2)+$

$+a_2{X}_{2k-1}\left(x_1\right)\cdot {{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{2m-1}(q-x_2)+a_3{{X^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{2k-1}(p-x_1)\cdot Y_{2m-1}(q-x_2)+a_3{X}_{2k-1}(p-x_1)\cdot {{Y^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{2m-1}(q-x_2)=$

$=X_{2k-1}\left(x_1\right)\left(x_1\right)\cdot Y_{2m-1}\left(x_2\right)(-a_0{\nu }_k-a_0{\sigma }_m-a_1{\nu }_k+a_1{\sigma }_m-a_2{\nu }_k+a_2{\sigma }_m+a_3{\nu }_k+a_3{\sigma }_m)=$

$=X_{2k-1}\left(x_1\right)\left(x_1\right)\cdot Y_{2m-1}\left(x_2\right)[-a_0({\nu }_k+{\sigma }_m)-a_1({\nu }_k+{\sigma }_m)-a_2({\nu }_k+{\sigma }_m)-a_3({\nu }_k+{\sigma }_m\left)\right]=$

$=-({\nu }_k+{\sigma }_m)(a_0+a_1+a_2+a_3)X_{2k-1}\left(x_1\right)\left(x_1\right)\cdot Y_{2m-1}\left(x_2\right)=$

$=-{\mu }_{k,m}\cdot {\epsilon }_1{X}_{2k-1}\left(x_1\right)\left(x_1\right)\cdot Y_{2m-1}\left(x_2\right)=-{\lambda }_{k,m}^{\left(1\right)}{v}_{k,m}^{\left(1\right)}\left(x\right).$

Таким образом, для функции $v_{k,m}^{\left(1\right)}\left(x\right)$ верно равенство

$L{v}_{k,m}^{\left(1\right)}\left(x\right)=-{\lambda }_{k,m}^{\left(1\right)}{v}_{k,m}^{\left(1\right)}\left(x\right),$

т.е. $v_{k,m}^{\left(1\right)}\left(x\right)$ являются собственными функциями оператора $-L$, а ${\lambda }_{k,m}^{\left(1\right)}$ — соответствующими собственными значениями. Для остальных функций $v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)$, $j=\overline{\mathrm{2,4}}$, доказательство теоремы проводится аналогично.

Следствие 1. Система функций $v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)$, $j=\overline{\mathrm{1,4}}$, образует ортонормированный базис в пространстве $L_2\left(\Pi \right)$

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 4 (собственные функции и собственные значения периодической краевой задачи).

Найти функцию $v\left(x\right)\ne 0$ и число $\lambda \in C$, удовлетворяющие условиям

$-Lv\left(x\right)=\lambda v\left(x\right),x\in \Pi ,$

$v\left(x_1\mathrm{,0}\right)=v(x_1,q),v_{x_1}\left(x_1\mathrm{,0}\right)=v_{x_1}(x_1,q),0\le x_1\le p,$

$v\left(\mathrm{0,}{x}_2\right)=v(p,x_2),v_{x_2}\left(\mathrm{0,}{x}_2\right)=v_{x_2}(p,x_2),0\le x_2\le q.$

Как и в случае задачи 3, если $w_{k,m,i,j}\left(x\right)=X_{k,i}\left(x_1\right)Y_{m,j}\left(x_2\right)$ ($k,m=\mathrm{0,1,2}$, $i,j=\mathrm{1,2}$) — собственные функции задачи 2, то из (14) получаем следующие системы:

$\left\{\begin{array}{l}{v}_{\mathrm{0,0}}^{\left(1\right)}\left(x\right)=X_0\left(x_1\right)Y_0\left(x_2\right)\equiv \frac{1}{\sqrt{pq}},u_{k\mathrm{,0}}^{\left(1\right)}\left(x\right)=Y_0\left(x_2\right)X_{k\mathrm{,2}}\left(x_1\right)\equiv \frac{1}{\sqrt{q}}\sqrt{\frac{2}{p}}\cos \frac{2k\pi }{p}{x}_1;\\ v_{\mathrm{0,}m\mathrm{,2}}^{\left(1\right)}\left(x\right)=X_0\left(x_1\right)Y_{m\mathrm{,2}}\left(x_2\right)\equiv \frac{1}{\sqrt{p}}\sqrt{\frac{2}{q}}\cos \frac{2m\pi }{q}{x}_2,\\ v_{k,m}^{\left(1\right)}\left(x\right)=X_{k\mathrm{,2}}\left(x_1\right)Y_{m\mathrm{,2}}\left(x_2\right)\equiv \sqrt{\frac{2}{p}}\cos \frac{2k\pi }{p}{x}_1\cdot \sqrt{\frac{2}{q}}\cos \frac{2m\pi }{q}{x}_2,k,m=\mathrm{1,2,}\dots ,\end{array}\right.$ (15)

$\left\{\begin{array}{l}{v}_{\mathrm{0,}m}^{\left(2\right)}\left(x\right)=X_0\left(x_1\right)Y_{m\mathrm{,1}}\left(x_2\right)\equiv \frac{1}{\sqrt{p}}\sqrt{\frac{2}{q}}\sin \frac{2m\pi }{q}{x}_2,m=\mathrm{1,2,}\dots ,\\ v_{k,m\mathrm{,2,2}}^{\left(2\right)}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{p}}\cos \frac{2k\pi }{p}{x}_1\cdot \sqrt{\frac{2}{q}}\sin \frac{2m\pi }{q}{x}_2,k,m=\mathrm{1,2,}\dots ,\end{array}\right.$ (16)

$\left\{\begin{array}{l}{v}_{k\mathrm{,0}}^{\left(3\right)}\left(x\right)=X_{k\mathrm{,1}}\left(x_1\right)\cdot Y_0\left(x_2\right)\equiv \frac{1}{\sqrt{q}}\sqrt{\frac{2}{p}}\sin \frac{2k\pi }{p}{x}_1,k=\mathrm{1,2,}\dots ,\\ v_{k,m}^{\left(3\right)}\left(x\right)=X_{k\mathrm{,1}}\left(x_1\right)\cdot Y_{m\mathrm{,2}}\left(x_2\right)\equiv \sqrt{\frac{2}{p}}\sin \frac{2k\pi }{p}{x}_1\cdot \sqrt{\frac{2}{q}}\cos \frac{2m\pi }{q}{x}_2,k,m=\mathrm{1,2,}\dots ,\end{array}\right.$ (17)

$v_{k,m}^{\left(4\right)}\left(x\right)=X_{k\mathrm{,1}}\left(x_1\right)\cdot Y_{m\mathrm{,1}}\left(x_2\right)\equiv \sqrt{\frac{2}{p}}\sin \frac{2k\pi }{p}{x}_1\cdot \sqrt{\frac{2}{q}}\sin \frac{2m\pi }{q}{x}_2,k,m=\mathrm{1,2,}\dots .$ (18)

Как и в случае задачи $D$ можно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть $a_j\in ℝ$ таковы, что ${\epsilon }_j\ne 0$, $j=\overline{\mathrm{1,4}}$, и пусть $w_{k,m,i,j}\left(x\right)=X_{k,i}\left(x_1\right)Y_{m,j}\left(x_2\right)$ ($k,m=\mathrm{0,1,2}$, $i,j=\mathrm{1,2}$) — собственные функции задачи 2, а ${\mu }_{k\mathrm{,}m}$ — соответствующие собственные значения. Тогда функции $v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)$, $k,m=\mathrm{1,2,}\dots$, $j=\overline{\mathrm{1,4}}$, в (15)–(18) являются собственными функциями, а ${\lambda }_{k,m}^{\left(j\right)}={\epsilon }_j\cdot {\mu }_{k,m}$ ($k,m=\mathrm{1,2,}\dots$) — соответствующими собственными значениями задачи 4.

Следствие 2. Система $v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)$, $j=\overline{\mathrm{1,4}}$, образует ортонормированный базис в пространстве L₂(Π).

5. Существование и единственность решения задачи $D$. В этом разделе приведем основные утверждения относительно задачи $D$. Согласно теореме 2 система функций ${\left\{v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)\right\}}_{k,m=1}^{\infty }$, $j=\overline{\mathrm{1,4}}$, образует ортонормированный базис в пространстве $L_2\Pi$. Тогда решение задачи $D$ можно искать в виде разложения по системе $v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)$, т.е.

$u(t,x_1,x_2)=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{j=1}^4{T}_{k,m}^{\left(j\right)}\left(t\right)v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2),$ (19)

где $T_{k,m}^{\left(j\right)}$ — неизвестные функции, $k,m=\mathrm{1,2,}\dots$, $j=\overline{\mathrm{1,4}}$.

Далее, функции $\phi (x_1,x_2)$ и $\psi (x_1,x_2)$ также разложим в ряд по системе $v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)$:

$\phi (x_1,x_2)=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{j=1}^4{\phi }_{k,m,j}\left(t\right)\cdot v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2),$

$\psi (x_1,x_2)=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{j=1}^4{\psi }_{k,m,j}\left(t\right)\cdot v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2),$

где

${\phi }_{k,m,j}\left(t\right)=\left(\phi (x_1,x_2),v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)\right),{\psi }_{k,m,j}\left(t\right)=\left(\psi (x_1,x_2),v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)\right).$

Учитывая ортогональность системы $v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)$, из (19) получим

$u_{k,m,j}\left(t\right)=\left(u(t,x_1,x_2),v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)\right)\equiv \underset{0}{\overset{q}{\int }}\underset{0}{\overset{p}{\int }}u(t,x_1,x_2)v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2.$ (20)

Применяя к равенству (20) с двух сторон оператор $D^{2\alpha }$, с учетом уравнения (1) получаем

$D^{2\alpha }{u}_{k,m,j}\left(t\right)=\underset{0}{\overset{q}{\int }}\underset{0}{\overset{p}{\int }}{D}^{2\alpha }u(t,x_1,x_2)v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2=-\underset{0}{\overset{q}{\int }}\underset{0}{\overset{p}{\int }}{L}_{x}u(t,x_1,x_2)v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2.$

Далее, интегрируя по частям дважды и учитывая краевые условия (3), (13) и уравнение (12), имеем

$D^{2\alpha }{u}_{k,m,j}\left(t\right)=-\underset{0}{\overset{q}{\int }}\underset{0}{\overset{p}{\int }}u(t,x_1,x_2)L{v}_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_1=$

$={\lambda }_{k,m,j}\underset{0}{\overset{q}{\int }}\underset{0}{\overset{p}{\int }}u(t,x_1,x_2)v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2={\lambda }_{k,m}^{\left(j\right)}{u}_{k,m,j}\left(t\right).$

Кроме того, из краевых условий (2) для функций $u_{k,m,j}\left(t\right)$ получим

$u_{k,m,j}\left(0\right)=\underset{0}{\overset{q}{\int }}\underset{0}{\overset{p}{\int }}u(\mathrm{0,}{x}_1,x_2)v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2=\underset{0}{\overset{q}{\int }}\underset{0}{\overset{p}{\int }}\phi (x_1,x_2)v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2={\phi }_{k,m,j},$

$u_{k,m,j}\left(T\right)=\underset{0}{\overset{q}{\int }}\underset{0}{\overset{p}{\int }}u(T,x_1,x_2)v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2=\underset{0}{\overset{q}{\int }}\underset{0}{\overset{p}{\int }}\psi (x_1,x_2)v_{k,m}^{\left(j\right)}(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2={\psi }_{k,m,j}.$

Таким образом, для нахождения неизвестных функций $u_{k,m,j}\left(t\right)$ получим следующую задачу:

$D^{2\alpha }{u}_{k,m,j}\left(t\right)-{\lambda }_{k,m}^{\left(j\right)}{u}_{k,m,j}\left(t\right)=\mathrm{0,}t\in \left(\mathrm{0,}T\right),u_{k,m,j}\left(0\right)={\phi }_{k,m,j},u_{k,m,j}\left(T\right)={\psi }_{k,m,j}.$ (21)

Согласно лемме 2 решение этой задачи существует, единственно и имеет вид

$u_{k,m,j}\left(t\right)={\phi }_{k,m,j}C\left(\sqrt{{\lambda }_{k,m}^{\left(j\right)}},t\right)+{\psi }_{k,m,j}S\left(\sqrt{{\lambda }_{k,m}^{\left(j\right)}},t\right),$ (22)

где функции $C\left(\sqrt{{\lambda }_{k,m}^{\left(j\right)}},t\right)$ определяются соответственно по формулам (8), (9).

Подставляя найденные функции (22) в (20), получаем, что решение задачи (1)–(4) может быть представлено в виде

$u(t,x_1,x_2)=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{j=1}^4\left({\phi }_{k,m,j}C\left(\sqrt{{\lambda }_{k,m}^{\left(j\right)}},t\right)+{\psi }_{k,m,j}S\left(\sqrt{{\lambda }_{k,m}^{\left(j\right)}},t\right)\right)u_{k,m,j}(x_1,x_2).$ (23)