Boundary and outer boundary-value problems for the Poisson equation on noncompact Riemannian manifolds

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Abstract. In this paper, we examine the existence of solutions of the Poisson equations on a noncompact Riemannian manifold M without boundary. To describe the asymptotic behavior of a solution, we is introduce the notion of φ-equivalence on the set of continuous functions on a Riemannian manifold and establish a relationship between the solvability of boundary-value problems for the Poisson equations on the manifold M and outside some compact subset B ⊂ M with the same growth “at infinity.” Moreover, the notion of φ-equivalence of continuous functions on M allows one to estimate the rate of asymptotic convergence of solutions of boundary-value and outer boundary-value problems to boundary data.

About the authors

K. A. Bliznyuk

Волгоградский государственный университет

Author for correspondence.
Email: bliznjukka@volsu.ru
Russian Federation, Волгоград

E. A. Mazepa

Волгоградский государственный университет

Email: elena.mazepa@volsu.ru
Russian Federation, Волгоград

References

  1. Григорьян А. А., Лосев А. Г. О размерности пространств решений стационарного уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях// Мат. физ. компьют. модел. —2017. — 20, № 3. —С . 34–42.
  2. Григорьян А. А., Надирашвили Н. С. Лиувиллевы теоремы и внешние краевые задачи// Изв. вузов. Мат. — 1987. —№ 5. —С . 25—33.
  3. Григорьян А. А. О существовании положительных фундаментальных решений уравнения Лапласа на римановых многообразиях// Мат. сб. —1985. — 128, № 3. —С . 354–363.
  4. Гущин А. К. Некоторое усиление свойства внутренней непрерывности по Гельдеру решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка// Теор, мат. физ. —2008. — 157, № 3. — С. 345–363.
  5. Кесельман В. М. Понятия и критерии емкостного типа некомпактного риманового многообразия на основе обобщенной емкости// Мат. физ. компьют. модел. —2019. — 22, № 2. —С . 21–32.
  6. Корольков С. А. О разрешимости краевых задач для стационарного уравнения Шредингера в неограниченных областях римановых многообразий// Диффер. уравн. —2015. — 51, № 6. —С . 726–732.
  7. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. —М.: Наука, 1971.
  8. Лосев А. Г. О разрешимости задачи Дирихле для уравнения Пуассона на некоторых некомпактных римановых многообразиях// Диффер. уравн. —2017. — 53, № 12. —С . 1643–1652.
  9. Лосев А. Г., Мазепа Е. А. Об асимптотическом поведении решений некоторых уравнений эллиптического типа на некомпактных римановых многообразиях// Изв. вузов. Мат. —1999. —№ 6. —С . 41–49.
  10. Лосев А. Г., Мазепа Е. А. Ограниченные решения уравнения Шредингера на римановых произведениях// Алгебра и анализ. —2001. — 13, № 1. —С . 84–110.
  11. Мазепа Е. А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях// Сиб. мат. ж. —2002. — 43, № 3. —С . 591–599.
  12. Ancona A. Negative curved manifolds, elliptic operators, and the Martin boundary// Ann. Math. (2). — 1987. — 125, № 3. — P. 495–536.
  13. Anderson M. T. The Dirichlet problem at innity for manifolds of negative curvature// J. Differ. Geom. — 1983. — 18. — P. 701–721.
  14. Grigor’yan A. Analitic and geometric background of recurence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds// Bull. Am. Math. Soc. — 1999. — 36. — P. 135–249.
  15. Korolkov S. A., Losev A. G. Generalized harmonic functions of Riemannian manifolds with ends// Math. Z. — 2012. — 272, № 1–2. — P. 459–472.
  16. Losev A. G., Mazepa E. A. On solvability of the boundary value problems for the inhomogeneous elliptic equations on noncompact Riemannian manifolds// Probl. Anal. Issues Anal. — 2018. — 7 (25). — P. 101–112.
  17. Losev A. G., Mazepa E. A. On solvability of the boundary value problems for harmonic function on noncompact Riemannian manifolds// Probl. Anal. Issues Anal. — 2019. — 8 (26), № 3. — P. 73–82.
  18. Losev A., Mazepa E., Romanova I. Eigenfunctions of the Laplace operator and harmonic functions on model Riemannian manifolds// Lobachevskii J. Math. — 2020. — 41, № 11. — P. 2190–2197.
  19. Mastrolia P., Monticelli D. D., Punzo F. Elliptic and parabolic equations with Dirichlet conditions at infinity on Riemannian manifolds// Adv. Differ. Equations. — 2018. — 23, № 1/2. — P. 89–108.
  20. Munteanu O., Sesum N. The Poisson equation on complete manifolds with positive spectrum and applications// Adv. Math. — 2010. — 223. — P. 198–219.
  21. Murata M. Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian manifolds// Proc. Int. Conf. on Potential Theory (Nagoya (Japan), August 30 – September 4, 1990). — Berlin–New York: De Gruyter, 1991. — P. 251–260.
  22. Sario L., Nakai M., Wang C., Chang L. O. Classification Theory of Riemannian Manifolds. — Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, 1977.
  23. Sullivan D. The Dirichlet problem at innity for a negatively curved manifold// J. Differ. Geom. — 1983. — 18. — P. 723–732.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Bliznyuk K.A., Mazepa E.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).