Гиперболичность ковариантных систем уравнений первого порядка для векторного и скалярных полей

Рассмотрен класс систем $\dot{u}=L\text{'}[u,r]$, $\dot{r}=L{\text{'}}^{\text{'}}[u,r]$ квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, описывающих изменение со временем пары $⟨u,r⟩$, состоящей из векторного поля $u(x,t)$ и набора $r=⟨{\rho }^{\left(s\right)}(x,t);s=\mathrm{1,}\dots ,N⟩$, $x\in {ℝ}^3$ скалярных полей. Класс состоит из систем, инвариантных относительно трансляций времени $t\in ℝ$ и пространства ${\mathrm{ℝ}}^3$, а также преобразующихся ковариантным образом при вращениях ${\mathrm{ℝ}}^3$. Дается описание соответствующего класса нелинейных дифференциальных операторов $L=⟨L\text{'}[\cdot ],L{\text{'}}^{\text{'}}[\cdot ]⟩$ первого порядка, действующих в функциональном пространстве $C_{\mathrm{1,}}^{3+N}\left({ℝ}^3\right)$, которые являются генераторами эволюции. Найдены условия, при которых пара $L$ операторов порождает гиперболическую систему.