On the limits of Kahler-Ricci flow on Fano group compactifications

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Let G be a connected, complex reductive group. In this paper, we review the results on semistable limit of Q-Fano compactifications and the characterization of minimizers of Futaki invariants. Using the algebraic uniqueness, we construct the limiting space of the Kahler-Ricci flow on Fano group compactifications of rank 2.

About the authors

Yan Li

School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology

Author for correspondence.
Email: liyan.kitai@yandex.ru
China, Beijing

Zhen Ye Li

College of Mathematics and Physics, Beijing University of Chemical Technology

Email: lizhenye@pku.edu.cn
Russian Federation, Beijing

References

  1. Окуньков А. Ю. Замечание о полиноме Гильберта сферического многообразия// Функц. анал. при- лож. — 1997. — 31, № 2. — С. 82-85.
  2. Попов В. Л. Стягивание действий редуктивных алгебраических групп// Мат. сб. — 1986. — 130 (172), № 3 (7). — С. 310-334.
  3. Тимашев Д. А. Эквивариантные компактификации редуктивных групп// Мат. сб. — 2003. — 194, № 4. — С. 119-146.
  4. Alexeev V. A., Brion M. Stable reductive varieties, II: Pro jective case// Adv. Math. — 2004. — 184. — P. 382-408.
  5. Alexeev V. A., Katzarkov L. V. On K-stability of reductive varieties// Geom. Funct. Anal. — 2005. — 15. — P. 297-310.
  6. Bamler R. Convergence of Ricci flows with bounded scalar curvature// Ann. Math. — 2018. — 188. — P. 753-831.
  7. Berman R., Boucksom S., Eyssidieux P., Guedj V., and Zeriahi A. Kahler-Einstein metrics and the Kahler- Ricci flow on log Fano varieties// J. Reine Angew. Math. — 2019. — 751. — P. 27-89.
  8. Berman R., Witt-Nystrom D. Complex optimal transport and the pluripotential theory of Kahler-Ricci solitons/ arXiv: 1401.8264 [math DG].
  9. Blum H., Liu Y.-Ch., Xu Ch.-Y., Zhuang Z.-Q. The existence of the Kahler-Ricci soliton degeneration/ arXiv: 2103.15278 [math AG].
  10. Boucksom S., Hisamoto T., Jonsson M. Uniform K-stability, Duistermaat-Heckman measures and singularities of pairs// Ann. Inst. Fourier. — 2017. — 67. — P. 743-841.
  11. Cao H. Deformation of Kahler metrics to Kahler-Einstein metrics on compact Kahler manifolds// Invent. Math. — 1985. — 81. — P. 359-372.
  12. Chen X.-X., Donaldson S., Sun S. Kahler-Einstein metrics on Fano manifolds, I-III// J. Am. Math. Soc. — 2015. — 28. — P. 183-278.
  13. Chen X.-X., Wang B. Space of Ricci flows. Part B: Weak compactness of the flows// J. Differ. Geom. — 2020. — 116. — P. 1-123.
  14. Chen X.-X., Sun S’., Wang B. Kahler-Ricci flow, Kahler-Einstein metric, and K-stability// Geom. Topol. — 2018. — 22. — P. 3145-3173.
  15. Datar V., Szekelyhidi G. Kahler-Einstein metrics along the smooth continuity method// Geom. Funct. Anal. — 2016. — 26. — P. 975-1010.
  16. Delcroix T. K-Stability of Fano spherical varieties// Ann. Sci. Ec. Norm. Super. (4). — 2020. — 53. — P. 615-662.
  17. Donaldson S. Scalar curvature and stability of toric varieties// J. Differ. Geom. — 2002. — 62. — P. 289348.
  18. Han J., Li Ch. On the Yau-Tian-Donaldson conjecture for generalized Kahler-Ricci soliton equations/ arXiv: 2006.00903 [math.DG].
  19. Han J.-Y., Li Ch. Algebraic uniqueness of Kahler-Ricci flow limits and optimal degenerations of Fano varieties/// arXiv: 2009.01010 [math.DG].
  20. Li Ch. G-uniform stability and Kahler-Einstein metrics on Fano varieties// Invent. Math. — 2022. — 227. — P. 661-744.
  21. Li Ch., Wang X.-W., Xu Ch.-Y. Algebracity of metric tangent cones and equivariant K-stability// J. Am. Math. Soc. — 2021. — 34. — P. 1175-1214.
  22. Li Y., Li Zh.-Y. Equivariant R-test configurations and semistable limits of Q-Fano group compactifications/ arXiv: 2103.06439 [math.DG].
  23. Li Y., Zhou B. K-stability and polystable degenerations of polarized spherical varieties/ arXiv: 2111.04269 [math.DG].
  24. Tian G. Kahler-Einstein metrics with positive scalar curvature// Invent. Math. — 1997. — 130. — P. 1-37.
  25. Tian G. K-stability and Kahler-Einstein metrics// Commun. Pure Appl. Math. — 2015. — 68. — P. 10851156.
  26. Tian G., Zhang Sh.-J., Zhang Zh.-L., Zhu X.-H. Perelman’s entropy and Kahler-Ricci flow an a Fano Manifold// Trans. Am. Math. Soc. — 2013. — 365. — P. 6669-6695.
  27. Tian G., Zhang Zh.-L. Regularity of Kahler-Ricci flows on Fano manifolds// Acta Math. — 2016. — 216. — P. 127-176.
  28. Tian G., Zhu X.-H. Uniqueness of Kahler-Ricci solitons// Acta Math. — 2000. — 184. — P. 271-305.
  29. Tian G., Zhu X.-H. Convergence of the Kahler-Ricci flow// J. Am. Math. Sci. — 2006. — 17. — P. 675-699.
  30. Tian G., Zhu X.-H. Convergence of the Kahler-Ricci flow on Fano manifolds// J. Reine Angew Math. — 2013. — 678. — P. 223-245.
  31. Timashev D. A. Homogenous Spaces and Equivariant Embeddings. — Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 2011.
  32. Wang F., Zhou B., Zhu X.-H. Modified Futaki invariant and equivariant Riemann-Roch formula// Adv. Math. — 2016. — 286. — P. 1205-1235.
  33. Yao Y. Mabuchi solitons and relative Ding stability of toric Fano varieties/ arXiv: 1701.04016 [math.DG].

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Ли Я., Ли Ч.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».