О наполненности подалгебры локальных абсолютно суммирующих операторов

Под локальным абсолютно суммирующим оператором понимается оператор T, действующий в ${\mathrm{l}}_{\mathrm{p}}\left({\mathrm{\mathbb{Z}}}^{\mathrm{c}}\mathrm{,}\mathrm{X}\right)$, $1\le p\le \infty$, вида

$(Tx{)}_k=\sum _{ m\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^c}{b}_{km}{x}_{k-m}\mathrm{,}k\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^c\mathrm{,}$

где X — банахово пространство, b_km : X → X —абсолютно суммирующие операторы и

$\parallel b_{km}{\parallel }_{\mathbf{AS}\left(X\right)}\le {\beta }_m$

для некоторого $\beta \in l_1\left({\mathrm{\mathbb{Z}}}^{\mathrm{c}}\mathrm{,}\mathrm{ℂ}\right)$, $\parallel \cdot {\parallel }_{\mathbf{AS}\left(X\right)}$ — норма идеала абсолютно суммирующих операторов. Установлено, что если оператор 1+T обратим, то обратный оператор имеет вид 1+T₁, где T₁ —также локальный абсолютно суммирующий оператор. Аналогичное утверждение также доказано для случая, когда оператор T действует в $L_p\left({\mathrm{ℝ}}^{\mathrm{c}}\mathrm{,}\mathrm{ℂ}\right)$, $1\le p\le \infty$.