Features of the spectral density parameters of L –markov processes and video signals

Full Text

Введение

К необходимости изучения задач экстраполяции, интерполяции и фильтрации случайных процессов и полей приводят проблемы в различных областях науки и техники. В теории информации это проблема синтеза оптимальных систем передачи информации, в радиотехнике – проблема передачи, приема, экстраполяции и фильтрации сигналов, в теории систем автоматического управления – проблема синтеза фильтров и т.п. Одним из перспективных математических методов решения подобных задач также является спектральное оценивание случайных процессов.

Как известно, случайные процессы с квазирациональной спектральной плотностью вида

$f_1\left(\text{ω}\right)=\frac{{\left|{\displaystyle {\sum }_{k=0}^n{Q}_k\left(\text{ω}\right)e^{-i\text{ω}{g}_k}}\right|}^2}{{\left|Q\left(\text{ω}\right)\right|}^2}=\frac{{\left|G\left(\text{ω}\right)\right|}^2}{{\left|Q\left(\text{ω}\right)\right|}^2}$ (1)

 

являются спектральными плотностями видеосигналов, а функции вида

$f_2\left(\text{ω}\right)=\frac{{\left|Q\left(\text{ω}\right)\right|}^2}{{\left|{\displaystyle {\sum }_{k=0}^n{Q}_k\left(\text{ω}\right)e^{-i\text{ω}{g}_k}}\right|}^2}=\frac{{\left|Q\left(\text{ω}\right)\right|}^2}{{\left|G\left(\text{ω}\right)\right|}^2}$ (2)

 – спектральными плотностями L – марковских процессов.

При этом предполагается, что Q_k(ω), Q(ω), k = 0, 1, 2…n – многочлены; g_k – действительные числа и все корни полинома G(ω) расположены в открытой верхней полуплоскости.

Это предположение играет существенную роль при построении спектральных характеристик экстраполяции и фильтрации.

Задачи экстраполяции и фильтрации случайных процессов были поставлены в середине 20-го века академиком А.Н. Колмогоровым [1]. Одновременно с ним этой проблемой занимался американский математик, основоположник кибернетики и искусственного интеллекта Н. Винер [2]. Он показал, что для класса случайных процессов с рациональной спектральной плотностью вида

$f_3\left(\text{ω}\right)=\frac{{\left|M\left(\text{ω}\right)\right|}^2}{{\left|Q\left(\text{ω}\right)\right|}^2}$, (3)

где Q(ω), М(ω) – полиномы, можно получить формулы операторов экстраполяции и фильтрации в явном виде. Однако, строгого доказательства полученных формул Н. Винером дано не было. Доказательство было получено только учеником А.Н. Колмогорова А.М. Ягломом, идея которого заключалась в том, что спектральную плотность случайного процесса, а также все другие функции, связанные с ней в процессе исследования, следует продолжить с вещественной оси на комплексную плоскость и рассматривать их как аналитические функции комплексного переменного [3]. Благодаря этой идее А.М. Яглому удалось не только получить строгое доказательство экстраполяционных формул Н. Винера, но и построить формулы экстраполяции для некоторых узких классов нерациональных спектральных плотностей. Впоследствии благодаря методу А.М. Яглома были получены интересные экстраполяционные результаты советским математиком С.В. Григорьевым [4] и югославским математиком Д. Малишичем [5], которые привели А.М. Яглома к идее о рассмотрении спектральных плотностей вида (1) и (2), в которых квазиполином G(ω) имеет все корни только в верхней полуплоскости. Очевидно, что классы (1) и (2) существенно расширяют и обобщают класс процессов с рациональным спектром (3). Он предположил, что для таких спектральных плотностей могут быть получены в явном виде формулы экстраполяции и фильтрации. Авторы в своих работах отчасти подтвердили правильность этой гипотезы, построив явные экстраполяционные формулы для L – марковских процессов с квазирациональным спектром [6-7] и формулы оператора фильтрации для процессов с таким же спектром [8].

Поэтому проблема построения квазиполиномов с корнями в верхней полуплоскости является крайне актуальной.

Целью данной работы является получение необходимых и достаточных условий принадлежности корней квазиполиномов G(ω), являющихся главной составляющей частью спектральных плотностей некоторых классов видеосигналов и L – марковских процессов, к верхней полуплоскости Н⁺ .

Решение задачи о построении квазиполиномов с корнями в верхней полуплоскости Н⁺

Понятие квазиполинома было впервые введено в работах [9-10], а вопрос о нахождении квазиполиномов с корнями в открытой верхней полуплоскости Н⁺ подробно рассмотрен в монографии Чеботарева – Меймана [11], в частности, в ней найдены необходимые и достаточные условия того, что все корни квазиполиномов

$\text{φ}\left(\text{ω}\right)=\left({\text{α}}_r{\text{ω}}^r+{\text{α}}_{r-1}{\text{ω}}^{r-1}+\dots +{\text{α}}_0\right)\cos \omega +\left({\text{β}}_r{\text{ω}}^r+{\text{β}}_{r-1}{\text{ω}}^{r-1}+\dots +{\text{β}}_0\right)\sin \omega =e^{i\text{ω}}\left[F_0\left(\text{ω}\right)+e^{-2i\text{ω}}{F}_1\left(\text{ω}\right)\right]$ (4)

(r = 1; 2; 3; F₀(ω), F₁(ω) – многочлены) расположены в Н⁺ .

Эти условия имеют вид неравенств, связывающих коэффициенты действительных и мнимых частей комплексных чисел α_k и β_k:

 ${\text{α}}_k=a_k+i\cdot a_k^{\text{'}}$;  ${\text{β}}_k=b+i\cdot b_k^{\text{'}}$.

С помощью методики Чеботарева – Меймана [11] и теоремы Штурма авторами было ниже доказано, что все корни квазиполинома

${\text{φ}}_1\left(\text{ω}\right)=\left(a-\text{α}i\text{ω}\right)\cos \text{ω}-\left(b\text{ω}+\text{α}i\right)\sin \text{ω}+a$, (5)

где $\text{α}=c+id$, a, b, c, d – действительные числа при соотношениях

$b>a>\mathrm{0,} c>\mathrm{0,} d>0$ (6)

 расположены в Н⁺ .

Постановка Задачи.

Итак, согласно обобщенному методу Штурма, изложенному в [11] составим для функций $V\left(\text{ω}\right)=Re {\text{φ}}_1\left(\text{ω}\right)$ и $V_1\left(\text{ω}\right)=Im {\text{φ}}_1\left(\text{ω}\right)$ последовательность Штурма, описанную в [11, г. 7, §3]. Нетрудно убедиться, что эта последовательность будет содержать три следующих члена:

 $V\left(\text{ω}\right)=\left(b\sin \text{ω}-d\cos \text{ω}\right)\text{ω}-a\cos \text{ω}-d\sin \text{ω}-a$;

$V_1\left(\text{ω}\right)=-c\left(\text{ω}\cos \text{ω}+\sin \text{ω}\right)$;

$V_2\left(\text{ω}\right)=-c^2\cos \text{ω}\left(1+\cos \text{ω}\right)\left(a\cos \text{ω}-b\cos \text{ω}+b\right)$. (7)

В [11, г. 7, §4] доказано, что квазиполином φ₁(ω) имеет все корни в Н⁺, если в интервале $\left(-2k\pi +\text{ε}; 2k\pi +\text{ε}\right)$, где ε – окрестность ω; функция V(ω) имеет ровно  вещественных корней первой категории, что равносильно равенству

$N=N_1-N_2=4k+1=P\left(-2k\pi +\text{ε}\right)-P\left(2k\pi +\text{ε}\right)-\underset{k}{}{l}_k$, (8)

где N – общее число корней функции V(ω), N₁ и N₂ – число корней первой и, соответственно, второй категории функции V(ω), $\Delta P=P\left(-2k\pi +\text{ε}\right)-P\left(2k\pi +\text{ε}\right)$ – число потерь перемен знаков при изменении переменной ω от $\text{ω}=-2k\pi +\text{ε}$ до $\text{ω}=2k\pi +\text{ε}$ в ряду функций

V(ω); V₁(ω); V₂(ω) (9)

${\sum }_k{l}_k$ – сумма потерь перемен знаков последовательности (9), соответствующих вещественным корням функции V₂(ω).

Докажем справедливость равенства (8) для функции V(ω) вида (7). Для этого изучим поведение последовательности Штурма (9).

Сначала определим число потерь перемен знаков в ряду (9) на интервале $\left(-2k\pi +\text{ε}, 2k\pi +\text{ε}\right)$, где ε > 0 очень малое число, а k – целое положительное и настолько большое число, чтобы произведение kε тоже оставалось большим числом. Подставляя в функции Штурма $\text{ω}=\pm 2k\pi +\text{ε}$ и отбрасывая бесконечно малые величины высшего порядка, получим:

$\cos \left(\pm 2k\pi +\text{ε}\right)=\cos \text{ε}\approx 1-\frac{{\text{ε}}^2}{2}\approx 1$;  $\sin \left(\pm 2k\pi +\text{ε}\right)=\sin \text{ε}\approx \text{ε}$

и, следовательно, $V\left(\pm 2k\pi +\text{ε}\right)\approx \mp 2k\pi d$, $V_1\left(\pm 2k\pi +\text{ε}\right)\approx \mp 2k\pi c$, $V_2\left(\pm 2k\pi +\text{ε}\right)\approx -2a{c}^2$,

так что знаки этих величин в силу (6) можно представить в виде таблицы 1:

 

Табл. 1. Знаки для последовательности Штурма на интервале $\left(-2k\pi +\text{ε}, 2k\pi +\text{ε}\right)$

	V	V1	V2
$-2k\pi +\text{ε}$	+	+	–
$+2k\pi +\text{ε}$	–	–	–

 

Из таблицы 1 видно, что

$\sum P=1$, (10)

то есть в ряду (9) на интервале $\left(-2k\pi +\text{ε}, 2k\pi +\text{ε}\right)$ имеет место одна потеря перемены знака; суммирование проводится по итогу таблицы 1.

Определим теперь ${\sum }_k{l}_k$. Для этого исследуем поведение последовательности Штурма (9) в окрестности вещественных корней функции V₂(ω). Нетрудно видеть, что ввиду условия b > a (см. (6)) действительными корнями функции V₂(ω) будут только корни произведения $\cos \text{ω}\left(1+\cos \text{ω}\right)$, то есть числа вида $\text{ω}=2k\pi +\text{σ}\pi /2$ и $\text{ω}=\left(2k+1\right)\pi$, где σ = ± 1, k – целое число. Положим $\text{ω}=2k\pi +\text{σ}\pi /2\pm \text{ε}$, где ε – весьма малая положительная величина. Тогда, отбрасывая бесконечно малые высшего порядка, получим

$\cos \left(2k\pi +\frac{\text{σ}\pi }{2}\pm \text{ε}\right)\approx \mp \text{εσ}$,  $\sin \left(2k\pi +\frac{\text{σ}\pi }{2}\pm \text{ε}\right)\approx \text{σ}\left(1-\frac{{\text{ε}}^2}{2}\right)$;

и, следовательно,

$V\left(2k\pi +\frac{\text{σ}\pi }{2}\mp \text{ε}\right)\approx b\text{σ}\left(2k\pi +\frac{\text{σ}\pi }{2}\right)-d\text{σ}-a=\text{θ}$,

$V_1\left(2k\pi +\frac{\text{σ}\pi }{2}\mp \text{ε}\right)\approx -c\text{σ}$,  $V_2\left(2k\pi +\frac{\text{σ}\pi }{2}\mp \text{ε}\right)\approx \mp b{c}^2\text{σε}$.

 

Вследствие условия (6) знаки этих величин можно представить в виде таблицы 2:

 

Табл. 2. Знаки для последовательности Штурма в окрестности вещественных корней $\mathbf{\text{ω}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathit{k}\mathit{\pi }\mathbf{+}\mathbf{\text{σ}}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{2}$  функции V₂(ω)

	$2k\pi +\text{σ}\pi /2-\text{ε}$	$2k\pi +\text{σ}\pi /2+\text{ε}$
V	sign θ	sign θ
V1	– sign σ	– sign σ
V2	– sign σ	sign σ

 

Так как знаки V(ω) и V₁(ω) не меняются в окрестности корня cos z, то знак V(ω) не окажет влияния на нашу последовательность Штурма и его можно не учитывать. Тогда число перемен знаков в последовательности (9) определяется только знаками V₁(ω) и V₂(ω).

Таким образом, из таблицы 2 видим, что в ряду (9) в окрестности корня $\text{ω}=2k\pi +\text{σ}\pi /2$ имеет место одно приобретение перемены знака, то есть $\Delta P=P\left(+2k\pi +\text{σ}\pi /2-\text{ε}\right)-P\left(+2k\pi +\text{σ}\pi /2+\text{ε}\right)=-1$.

В интервале $\left(-2k\pi +\text{ε}, 2k\pi +\text{ε}\right)$ содержится всего 4k корней cosω, которые дают для суммы, соответствующей корню $2k\pi +\text{σ}\pi /2$ функции V₂(ω) значение

$\underset{k}{}{l}_k=-4k$. (11)

Осталось определить значения l_k для корней $\left(2k+1\right)\pi$ множителя $\left(1+\cos \text{ω}\right)$ функции V₂(ω).

Положим $\text{ω}=\left(2k+1\right)\pi \pm \text{ε}$, ε – малое положительное число. Ограничиваясь членами низших порядков малости и учитывая, что

$\sin \left[\left(2k+1\right)\pi \pm \text{ε}\right]\approx \mp \text{ε}$ и  $\cos \left[\left(2k+1\right)\pi \pm \text{ε}\right]\approx \frac{{\text{ε}}^2}{2}-1$,

 получим

$V\left[\left(2k+1\right)\pi \pm \text{ε}\right]\approx \left(2k+1\right)\pi d$; $V_1\left[\left(2k+1\right)\pi \pm \text{ε}\right]\approx \left(2k+1\right)\pi c$;

$V_2\left[\left(2k+1\right)\pi \pm \text{ε}\right]\approx \frac{\left(2b-a\right){\text{ε}}^2{c}^2}{2}$.

Так как $V\left[\left(2k+1\right)\pi \pm \text{ε}\right]$ и $V_1\left[\left(2k+1\right)\pi \pm \text{ε}\right]$ меняют знак при перемене знака k, то V(ω) не влияет на число перемен знаков последовательности (9) и сумма ${\sum }_k{l}_k$, соответствующая корню $\left(2k+1\right)\pi$ функции V₂(ω), определяется следующей таблицей 3:

 

Табл. 3. Знаки для последовательности Штурма в окрестности корней $\left(2k+1\right)\mathit{\pi }$  функции V₂(ω)

	$\left(2k+1\right)\pi -\text{ε}$	$\left(2k+1\right)\pi +\text{ε}$
V1	sign $\left(2k+1\right)\pi$	sign $\left(2k+1\right)\pi$
V2	+	+

 

Отсюда следует, что ни приобретений, ни потерь перемен знаков в окрестности корня $\left(2k+1\right)\pi$ в ряду (9) не произойдет и, следовательно,

 $\underset{k}{}{l}_k=0$. (12)

Из (10) – (12) следует справедливость равенства (8).

Таким образом, доказано, что квазиполином

${\text{φ}}_1\left(\text{ω}\right)=\left(a-\text{α}i\text{ω}\right)\cos \text{ω}-\left(b\text{ω}+\text{α}i\right)\sin \text{ω}+a=$

$=\frac{e^{i\text{ω}}}{2}\left\{\text{ω}\left(b-c\right)i+d\text{ω}+a-c-id+2a{e}^{-i\text{ω}}+e^{-2i\text{ω}}\left[\text{ω}\left(d-ci-bi\right)+a+c+di\right]\right\}$

при b > a > 0, c > 0 , d > 0 имеет все корни только в верхней открытой полуплоскости.

Заключение

Таким образом, при решении задач экстраполяции и фильтрации L-марковских процессов и некоторых классов видеосигналов проблема построения квазиполиномов с корнями в верхней полуплоскости оказывается крайне актуальной.

Задача о построении квазиполиномов с корнями в верхней полуплоскости Н⁺ решается в настоящей работе с использованием теоремы Чеботарева - Меймана и теоремы Штурма.

В данной работе получены необходимые и достаточные условия принадлежности к верхней полуплоскости корней квазиполиномов G(ω), являющихся главной составной частью спектральных плотностей L – марковских процессов и некоторых классов видеосигналов.

About the authors

L. Y. Fadeeva

Kazan National Research University named after A.N. Tupolev-KAI

Author for correspondence.
Email: vskhayrova@kai.ru
Russian Federation, Kazan

K. D. Zinoviev

Kazan National Research University named after A.N. Tupolev-KAI

Email: vskhayrova@kai.ru
Russian Federation, Kazan

References

Supplementary files