On the stability of linear systems with a quadratic integral

Full Text

1. Условия устойчивости. Предположим, что линейная система

$\dot{x}=Ax;x\in R^m$ (1.1)

допускает квадратичный первый интеграл

$f=(Bx,x)/\mathrm{2,}{B}^{*}=B$ (1.2)

Матрицы $A$ и $B$ связаны следующим соотношением:

$BA=-A^{*}B$ (1.3)

В дальнейшем предполагается невырожденность матриц A и B. В частности, т четно. Действительно, согласно (1.3), матрица BA кососимметрическая. Она может быть невырожденной только при четном т. Положим т = 2n. Если | AB |≠ 0, то система (1.1) на самом деле гамильтонова, причем f будет функцией Гамильтона [1]. Но только она представлена не в канонических переменных. Согласно [2], система (1.1) допускает семейство квадратичных первых интегралов

$f_k=\left(A^{k^{*}}B{A}^{k}x,x\right)/2;k\in Z$ (1.4)

Конечно, не все они независимы. В типичном случае, когда матрица A не имеет кратных собственных значений, функции

$f_0=f,f_1,\dots ,f_{n-1}$ (1.5)

независимы (см. [2]). Более того, они попарно находятся в инволюции относительно естественной симплектической структуры, относительно которой система (1.1) будет гамильтоновой. Спектр матрицы A симметричен не только относительно вещественной, но и относительно чисто мнимой оси. Действительно,

$\begin{array}{c}0=\left|A-\lambda E\right|=\left|B^{-1}\right|\left|BA-\lambda B\right|=\left|B^{-1}\right|\times \\ \times \left|-A^{*}B-\lambda B\right|=\left|A^{*}+\lambda E\right|=\left|A+\lambda E\right|\end{array}$

Степенью устойчивости s системы (1.1) назовем число пар чисто мнимых собственных значений матрицы A, а степень неустойчивости и — это количество собственных значений A в правой комплексной полуплоскости. Если матрица A невырождена, то

$s+u=n$ (1.6)

Пусть $i^{-}$, $i^{+}$ — индексы инерции квадратичной формы (1.2). Если эта форма невырождена, то, очевидно,

$i^{-}+i^{+}=2n$ (1.7)

Так как – f также квадратичный интеграл системы (1.1), то без ущерба для общности можно считать, что

$i^{-}\le i^{+}$ (1.8)

В [3] установлено неравенство

$i^{+}-i^{-}\le 2s$ (1.9)

Точнее, в [3] доказано более сильное неравенство, но в дальнейшем оно нам не понадобится. С другой стороны, в [2] доказано неравенство

$u\le i^{-}$ (1.10)

Его частные варианты были известны ранее (см., например, [4]). С учетом соотношений (1.6), (1.7) и соглашения (1.8), неравенства (1.9) и (1.10) на самом деле эквивалентны (хотя их доказательства в [2] и [3] основаны на разных идеях).

Систему (1.1) назовем вполне неустойчивой, если s = 0 и и = n. В этом случае степень неустойчивости принимает максимально возможное значение и (согласно (1.8) и (1.10)) $i^{-}=i^{+}=n$. Так что в этом случае фазовое пространство R²ⁿ с квадратичной формой (1.2) в качестве псевдоевклидовой метрики будет пространством Артина.

В «противоположном» случае, когда и = 0, а u = n, систему (1.1) будем называть устойчивой. В типичном случае, когда спектр матрицы A простой (именно его в дальнейшем и будем рассматривать), положение равновесия x = 0 устойчивой системы устойчиво по Ляпунову (как в прошлом, так и в будущем).

В [1] показано, что линейная система с квадратичным интегралом устойчива тогда и только тогда, когда она допускает первый интеграл в виде положительно определенной квадратичной формы. С другой стороны, рассмотрим конус в R²ⁿ :

$K=\left\{x\in R^{2n}:f_0\left(x\right)=\cdots =f_{n-1}\left(x\right)=0\right\}$

Как было показано [2], критерий устойчивости системы (1.1) состоит в выполнении условия K = {0}. Более того, в этом случае положительно определенный квадратичный интеграл можно найти в виде пучка квадратичных интегралов (1.4)

$\sum _{i=0}^{n-1}{\lambda }_i{f}_i;{\lambda }_i\in Z$

Укажем несколько необычные алгебраические критерии полной неустойчивости и устойчивости линейной системы с квадратичным интегралом. Будем предполагать, что матрица A не имеет кратных собственных значений. Это означает, что дискриминант ее характеристического многочлена отличен от нуля.

Теорема 1. Система (1.1) вполне неустойчива тогда и только тогда, когда найдется положительно (или отрицательно) определенная симметрическая матрица S такая, что

$tr\left(S{A}^{k^{*}}B{A}^k\right)=0$ (1.11)

для всех $k=0,1,...,n-1$.

В силу соотношения (1.3) условие (1.11) эквивалентно условию

$tr\left(SB{A}^{2k}\right)=0$ (1.12)

Выбирая в качестве S единичную матрицу, сразу получаем:

Следствие. Если

$tr\left(B{A}^{2k}\right)=0$ (1.13)

для всех k = 0,1, ..., n –1, то линейная система вполне неустойчива.

Конечно, условие (1.13) редко выполняется. Однако если A не имеет чисто мнимых собственных значений, то в нормальных канонических переменных Вильямсона матрица B вполне неустойчивой системы имеет нулевую диагональ. Как показано в [2], этим же свойством обладают и все матрицы BA^2k.

Теорема 2. Система (1.1) устойчива тогда и только тогда, когда для любой симметрической матрицы , удовлетворяющей условию (1.11), квадратичная форма (Sy, y), y ∈ R²ⁿ принимает значения разных знаков.

Следствие. Система (1.1) неустойчива тогда и только тогда, когда найдется ненулевая симметрическая матрица  такая, что (Sy, y) ≥ 0 (или ≤ 0) для всех y ∈ R²ⁿ.

Теорема 3. Среди симметрических невырожденных матриц , удовлетворяющих соотношениям (1.11), всегда найдется такая, что индексы инерции квадратичной формы (Sy, y) равны s и 2u + s.

Если система вполне неустойчива, то s = 0 и матрица S будет дефинитной (что соответствует заключению теоремы 1). В устойчивом случае и = 0, и поэтому квадратичная форма (Sy, y) будет артиновой формой (очевидно принимающей значения разных знаков). Теорема 3 не допускает обращения. Это показывает простой пример линейной системы на плоскости (п = 1). Система

${\dot{x}}_1=x_1,{\dot{x}}_2=-x_2$

имеет квадратичный интеграл f = x₁x₂. Здесь s = 0, а и = 1. Соотношению (1.11), очевидно, удовлетворяют симметрические матрицы

$S_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ и $S_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

Индексы инерции квадратичной формы (S₁y, y) равны $i^{+}=2, i^{-}=0$ (что отвечает заключению теоремы 3), а квадратичная форма $(S_{2}y,y)$ будет артиновой ($i^{+}=i^{-}=1$).

Каков инвариантный смысл соотношения (1.11) (или (1.12))? При линейной подстановке $x\mapsto Cx$ матрицы $A$ и $B$ преобразуются по следующим правилам:

$A\mapsto C^{-1}AC,B\mapsto C^{*}BC$

Если симметрическая матрица $S$ преобразуется по правилу

$S\mapsto C^{-1}S{C^{*}}^{-1},$ (1.14)

то

$SB{A}^{2k}\mapsto C^{-1}SB{A}^{2k}C$,

и, следовательно, $tr\left(SB{A}^{2k}\right)$ не изменится.

Введем векторное пространство R^2n* = {y}, сопряженное к R²ⁿ = {x}. Каноническое спаривание у ∙ x (значение ковектора на векторе) будет инвариантом, если векторы из R^2n* преобразуются по ковариантному закону:

$y\mapsto {C^{*}}^{-1}y$ (1.15)

Следовательно, согласно (1.14), симметрическую матрицу $S$ следует считать матрицей квадратичной формы в сопряженном пространстве. Подчеркнем, что в результате линейной подстановки (1.15) сохраняется дефинитность, полудефинитность или знакопеременность квадратичной формы $\left(Sy,y\right)$.

2. Доказательства. Теоремы 1–3 доказываются с помощью теории вещественных нормальных форм линейных дифференциальных уравнений Гамильтона, к которым невырожденным линейным преобразованием приводится линейная система (1.1) с квадратичным интегралом (1.2). Согласно Вильямсону, фазовое пространство R²ⁿ распадается в прямую сумму косоортогональных (относительно соответствующей симплектической структуры) подпространств так, что гамильтониан представляется в виде суммы квадратичных форм (частичных гамильтонианов) на этих подпространствах, при этом:
   
   1. вещественной паре ±а (а ≠ 0) собственных чисел отвечает гамильтониан -apq (здесь и далее p, q обозначают пару сопряженных канонических переменных),
   2. чисто мнимой паре $\pm ib$($b\ne 0$) — $b(p^2+q^2)/\mathrm{2,}$
   3. четверке собственных значений $\pm a\pm ib (ab\ne 0)$ — $-a(p_1{q}_1+p_2{q}_2)+b(p_1{q}_2-p_2{q}_1).$

При сделанных в разд. 1 предположениях о невырожденности системы (1.1) с гамильтонианом (1.2) и об отсутствии кратных корней других частичных гамильтонианов нет. В этих переменных матрица квадратичного интеграла f имеет блочно-диагональный вид, где по диагонали расположены матрицы

$\left[\begin{array}{cc}0& -a\\ -a& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& b\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}0& -a& 0& b\\ -a& 0& -b& 0\\ 0& -b& 0& -a\\ b& 0& -a& 0\end{array}\right],$ (2.1)

отвечающие случаям (а–в). Как показано в [2], симметрическая матрица $A^{m^{*}}B{A}^m$ в этих координатах имеет тот же вид, что и матрица $B$, но только в случаях (а) и (б) перед блоками на диагонали присутствуют множители ${(-1)}^m{a}^{2m}$ и $b^{2m}$ соответственно. Что касается случая (в), то ограничение квадратичного интеграла $f_m$ на плоскость с каноническими координатами $p_1, q_1, p_2, q_2$ принимает следующий вид:

${\mu }_m(p_1{q}_1+p_2{q}_2)+{\nu }_m(p_1{q}_2-p_2{q}_1),$

где

${\mu }_m=\mathrm{Re}{(-1)}^{m+1}{(a-ib)}^{2m+1},{\nu }_m=\mathrm{Im}{(-1)}^{m+1}{(a-ib)}^{2m+1}$

Следует отметить, что число a — ib является одним из четверки собственных значений матрицы A.

После этих предварительных замечаний докажем сначала более простую теорему 3. Используя нормальные канонические координаты, будем искать невырожденную симметрическую матрицу S в диагональном виде. Для блоков, отвечающих случаям (а) и (в), на диагонали матрицы S поместим 1, а в каждом блоке случая (б) на диагонали поместим 1 и — 1. Ясно, что в нормальных канонических переменных выполнены все n соотношений (1.11). Поскольку каждому блоку вида (а) и (в) отвечает пара вещественных и четверка комплексных собственных значений матрицы A, а блоку вида (б) отвечает пара чисто мнимых собственных значений, то сигнатура квадратичной формы (Sy, у) есть 2u + s и s. Остается воспользоваться замечаниями из разд. 1 и вспомнить, что сигнатура квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных заменах переменных.

Докажем теперь теорему 1. Согласно теореме 3, если линейная система вполне неустойчива (то есть s = 0), то найдется дефинитная симметрическая матрица S, удовлетворяющая всем соотношениям (1.11).

Обратно, пусть найдется такая дефинитная симметрическая матрица S. Покажем, что S = 0. Предположим противное, что s ≥ 1. Воспользуемся нормальными каноническими координатами Вильямсона. Если s ≥ 1, то найдется двумерная инвариантная плоскость, отвечающая случаю (б).

Пусть симметрическая матрица S удовлетворяет всем n соотношениям (1.11) или, что то же самое, (1.12)). Поскольку матрицы BA^2k имеют описанный выше блочный вид (2.1), то матрицу S тоже следует считать блочно-диагональной с теми же размерами, что и размеры блоков матрицы B. Остальные элементы матрицы S (вне этих блоков) не участвуют в соотношениях (1.11).

Итак, пусть

$B{A}^{2k}=diag[D_1^{\left(k\right)},D_2^{\left(k\right)},\dots ],S=diag[S_1,S_2,\dots ],$

причем квадратичные симметрические матрицы $D_j^{\left(k\right)}$ и S_j имеют одинаковые размеры (2 х2 или 4х4). Соотношения (1.11) принимают следующий вид:

$\sum _{j}tr\left(S_j{D}_j^{\left(k\right)}\right)=0;k=\mathrm{0,1,}\dots ,n-1$ (2.2)

Если матрица $D_j^{\left(k\right)}$ отвечает случаю (а), то

$tr\left(S_j{D}_j^{\left(k\right)}\right)=-a^{2k+1}\left(2s_{12}^{\left(j\right)}\right),$ (2.3)

где $s_{12}^{\left(j\right)}$ — внедиагональный элемент симметрической $2\times 2$-матрицы $S_j$.

В случае (б) этот след, очевидно, равен

$b^{2k+1}tr{S}_j$ (2.4)

В случае (в) имеем

$tr\left(S_j{D}_j^{\left(k\right)}\right)=2{\mu }_k(s_{12}^{\left(j\right)}+s_{34}^{\left(j\right)})+2{\nu }_k(-s_{14}^{\left(j\right)}+s_{23}^{\left(j\right)}),$ (2.5)

где $s_{pq}^{\left(j\right)}$ — элементы симметрической $4\times 4$-матрицы $S_j$.

Учитывая формулы (2.3)-(2.5), заключаем, что n соотношений (2.2) дают замкнутую однородную систему n линейных уравнений для нахождения комбинаций элементов матриц S_j:

$s_{12}^{\left(j\right)},tr{S}_j,s_{12}^{\left(j\right)}+s_{34}^{\left(j\right)},-s_{14}^{\left(j\right)}+s_{23}^{\left(j\right)}$

Так как спектр матрицы A простой, то определитель n×n — матрицы коэффициентов этой системы отличен от нуля (этот факт уже установлен при доказательстве функциональной независимости квадратичных форм f₀ = f, f_v..., f_n-1). В частности, rS_j в случае (б). Значит, если матрица A имеет хотя бы одну пару чисто мнимых собственных значений (то есть s ≥ 1), то симметрическая матрица S не может быть дефинитной, поскольку (по критерию Сильвестра) все диагональные элементы должны иметь один знак. Однако этот вывод противоречит нашему предположению о дефинитности матрицы S, что доказывает теорему 1.

Нам осталось доказать теорему 2. Пусть линейная система (1.1) устойчива. Тогда в нормальных канонических координатах Вильямсона матрица  имеет следующий блочно-диагональный вид:

$diag\left(\left[\begin{array}{cc}{b}_1& 0\\ 0& b_1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}{b}_2& 0\\ 0& b_2\end{array}\right],\dots \right),$

причем вещественные числа b₁, b₂, … (и их квадраты) все различны и не равны нулю. Матрица BA^2k имеет тот же вид:

$diag\left(\left[\begin{array}{cc}{b}_1^{2k+1}& 0\\ 0& b_1^{2k+1}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}{b}_2^{2k+1}& 0\\ 0& b_2^{2k+1}\end{array}\right],\dots \right)$

Пусть s₁, s₂, s_2n — диагональные элементы матрицы S. Тогда соотношения (1.11) дают нам следующую линейную систему

$b_1^{2k+1}(s_1+s_2)+b_2^{2k+1}(s_3+s_4)+\cdots =0;0\le k\le n-1$

Так как b₁, b₂, … различны, то определитель этой системы (определитель Вандермонда) отличен от нуля. Следовательно,

$s_1+s_2=\mathrm{0,}{s}_3+s_4=\mathrm{0,}\dots$

Но в этом случае квадратичная форма (Sy, у) принимает значения разных знаков, если, конечно, S ≠ 0.

Обратно, предположим, что всякая квадратичная форма (Sy, у) принимает как положительные, так и отрицательные значения, если ненулевая симметрическая матрица S удовлетворяет соотношениям (1.11) и при этом линейная система (1.1) неустойчива. Это означает, что в специальных нормальных координатах Вильямсона матрица B имеет диагональный блок вида (а) или (в).Такой же по виду блок имеют и все матрицы D^(k)=BA^2k. В качестве соответствующего блока S_j матрицы S возьмем единичную матрицу. Тогда

$tr\left(S_j{D}_j^{\left(k\right)}\right)=0;0\le k\le n-1$

Полагая остальные блоки матрицы S равными нулю, получаем ненулевую симметрическую матрицу S, удовлетворяющую всем соотношениям (1.11), однако (Sy, у) ≥ 0 для всех у. Таким образом, в этом случае найдется ненулевая симметрическая матрица S такая, что выполнено условие (1.11), но квадратичная форма (Sy, у) не принимает значения разных знаков. Полученное противоречие доказывает устойчивость линейной системы (1.1). Что и требовалось.

Замечание. В работах [4, 5] (см. также обзор [6]) рассмотрена задача о наличии в пучке симметрических матриц T₁,...,T_tau (он состоит из линейных комбинаций $\sum {\mu }_j{T}_j$, μ_j ∈ R) дефинитной матрицы. Для этого необходимо и достаточно, чтобы из условий tr(ST_j) = 0 , 1 ≤ j ≤ r вытекала индефинитность симметрической матрицы . Это утверждение можно было бы использовать для доказательства теоремы 2 (вместе с тем фактом, что матрица любого квадратичного интеграла линейной системы (1.1) принадлежит пучку симметрических матриц BA^2k, 0 ≤ k ≤ n — 1). Там же указаны условия существования в пучке матриц индефинитной и полудефинитной матриц. Однако все эти условия не пригодны для доказательства теорем 1 и 3, которые (как и теорема 2) имеют симплектическую природу.

3. Ганкелевы формы. Укажем еще один алгебраический критерий устойчивости линейных систем с квадратичным интегралом. Как уже было сказано в разд. 1, характеристический многочлен матрицы A не содержит нечетных степеней спектрального параметра:

${\lambda }^{2n}+{\alpha }_1{\lambda }^{2n-2}+\cdots +{\alpha }_n$ (3.1)

Поскольку (согласно предположению) этот многочлен не имеет кратных корней, то его дискриминант отличен от нуля.

Равновесие x = 0 системы (1.1) устойчиво тогда и только тогда, когда все корни многочлена n- й степени

${\mu }^n+{\alpha }_1{\mu }^{n-1}+\cdots +{\alpha }_n$ (3.2)

вещественные отрицательные числа. Следовательно, необходимое условие устойчивости заключается в выполнении неравенств ${\alpha }_1>0,...,{\alpha }_n>0$.

Пусть ${\mu }_1,...,{\mu }_n$ — простые корни многочлена (3.2). Положим

$h_k={\mu }_1^k+\cdots +{\mu }_n^k,h_0=n$

Числа h_k выражаются через коэффициенты по следующим формулам Ньютона:

$\begin{array}{l}2h_m+h_{m-1}{\alpha }_1+\cdots +h_1{\alpha }_{m-1}+m{\alpha }_m=0;m\le n\\ h_m+h_{m-1}{\alpha }_1+\cdots +h_{m-n}{\alpha }_n=0;m>n\end{array}$

Отсюда $h_1=-{\alpha }_1$, $h_2={\alpha }_1^2-2{\alpha }_2$, $h_3=-{\alpha }_1^3+3{\alpha }_1{\alpha }_2-3{\alpha }_3,\dots$ Введем симметрическую матрицу $n$-го порядка

$H=\left[\begin{array}{cccc}{h}_0& h_1& & h_{n-1}\\ h_1& h_2& & h_n\\ \cdots & & & \\ h_{n-1}& h_n& & h_{2n-2}\end{array}\right]$

и ганкелеву квадратичную форму Ф(z) = (Hz, z), z ∈ Rⁿ. Хорошо известно, что D = | H |.

Теорема 4. Равновесие x = 0 системы (1.1) устойчиво тогда и только тогда, когда a₁ >0,...,a_n >0 и функция Ф имеет в точке z = 0 строгий минимум.

Доказательство. Так как D ≠ 0, то многочлен (3.2) не имеет кратных корней. В этом случае критерий вещественности всех корней многочлена (3.2) есть условие положительной определенности квадратичной формы Ф [7]. Остается воспользоваться следующим фактом, вытекающим из правила Декарта: многочлен (3.2) без комплексных корней имеет n отрицательных корней тогда и только тогда, когда все его коэффициенты положительны. Что и требовалось.

Пусть $I^{+}$, $I^{-}$ — индексы инерции ганкелевой формы $\Phi$. Так как $D=\left|\Phi \right|\ne 0$, то $I^{+}+I^{-}=n$. В этом случае разность $n-\left|I^{+}-I^{-}\right|$ всегда четна.

Теорема 5. Пусть ганкелева форма $\Phi$ невырождена. Тогда в спектре матрицы $A$ имеется ровно $\left(n-\left|I^{+}-I^{-}\right|\right)/2$ различных комплексных четверок (чисел $\pm a$$\pm ib$, $ab\ne 0$).

В технической литературе наличие комплексных четверок в спектре линейной системы принято связывать с неустойчивостью типа флаттера. Если же в правой комплексной полуплоскости имеются только вещественные собственные значения, то в этом случае говорят о неустойчивости типа дивергенции (см., напр., [8, 9]).

Следствие 1. Пусть ганкелева форма  не имеет в начале координат минимума. Тогда в линейной системе будет неустойчивость типа флаттера.

Следствие 2. Если $D=\left|H\right|<0$, то $x=0$ — неустойчивое равновесие, имеющее тип флаттера.

Действительно, в этом случае ганкелева форма  невырожденна, но не имеет минимума (согласно критерию Сильвестра).

Следствие 3. Пусть форма Ф положительно определена, а хотя бы один из коэффициентов характеристического многочлена (3.1) отрицательный. Тогда равновесие x = 0 системы (1.1) неустойчиво, причем эта неустойчивость имеет тип дивергенции.

Это утверждение вытекает из теорем 4 и 5. Вообще, если  положительно определена, то степень неустойчивости системы (1.1) равна числу перемен знаков коэффициентов многочлена (3.1).

Сама теорема 5 является следствием известного результата о ганкелевых квадратичных формах [7]: если D ≠ 0, то количество вещественных корней многочлена (3.2) равно $\left|I^{+}-I^{-}\right|$. Далее вещественному корню (3.2) отвечает либо пара вещественных, либо пара чисто мнимых корней многочлена (3.1). А каждой паре комплексных корней α ± iβ (β ≠ 0) многочлена (3.2) (таких пар $\left(n-\left|I^{+}-I^{-}\right|\right)/2$) отвечает комплексная четверка корней (3.1). Что и требовалось.

4. Пример из теории гироскопической стабилизации. В качестве примера рассмотрим классическую задачу о гироскопической стабилизации неустойчивого равновесия линейной механической системы с двумя степенями свободы. Она описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

${\ddot{x}}_1+\gamma {\dot{x}}_2-a{x}_1=\mathrm{0,}{\ddot{x}}_2-\gamma {\dot{x}}_1-b{x}_2=0$ (4.1)

Здесь a и b — положительные постоянные, параметр γ определяет интенсивность гироскопических сил. Размерность фазового пространства равна четырем; так что n = 2.

Уравнения (4.1) допускают квадратичный интеграл энергии

$f=({\dot{x}}_1^2+{\dot{x}}_2^2-a{x}_1^2-b{x}_2^2)/2$

Дополнительный интеграл (1.4):

$f_1=[{(-\gamma {\dot{x}}_2+a{x}_1)}^2+{(\gamma {\dot{x}}_1+b{x}_2)}^2-a{\dot{x}}_1^2-b{\dot{x}}_2^2]/2$

Оба интеграла имеют одинаковые индексы инерции: $i^{+}=i^{-}=2$. Согласно [1], степень неустойчивости $u$ и индекс инерции $i^{-}$ имеют одинаковую четность. Следовательно, если система (4.1) неустойчива, то u = 2. В этом случае свойства неустойчивости и полной неустойчивости линейной системы совпадают.

Условия гироскопической стабилизации системы (4.1) хорошо известны (см., например, [9, гл. 6]). Воспроизведем диаграмму степеней устойчивости в удобном для нас виде. Характеристический многочлен линейной системы (4.1) есть

${\lambda }^4+{\lambda }^2({\gamma }^2-a-b)+ab$ (4.2)

Считая γ ≠ 0, положим $b=b^{\text{'}}{\gamma }^2$, $a=a^{\text{'}}{\gamma }^2$ и $\lambda ={\lambda }^{\text{'}}{\lambda }^2$. Тогда (4.2) принимает следующий вид:

${\gamma }^4[{\lambda }^{\text{'}4}+{\lambda }^{\text{'}2}(1-a^{\text{'}}-b^{\text{'}})+a^{\text{'}}{b}^{\text{'}}]$

Для задачи об устойчивости наличие множителя ${\gamma }^4$ не играет никакой роли. Диаграмма степеней устойчивости на плоскости параметров a′, b′ изображена на рис. 1. Дискриминантная кривая (где дискриминант D = (a′ — b′)² — 2(a′ + b′ + 1) обращается в нуль) является параболой, которая касается осей a′ и b′ точках (1, 0) и (0, 1) соответственно. В каждой из областей изображено расположение собственных значений (кратные собственные значения более «жирные»). Точки a′ = 1, b′ = 0 и a′ = 0, b′ = 1 отвечают нулевому корню кратности 4. Рисунок наглядно показывает смену расположения характеристических корней при переходе через бифуркационные кривые. Область параметров, отвечающих полной неустойчивости системы (4.1), заштрихована. Кстати сказать, области устойчивости и неустойчивости, а также области флаттера и дивергенции сразу же определяются из заключений теорем 4 и 5 (и их следствий).

Рис. 1

Исследуем вопрос об условиях полной неустойчивости системы (4.1), опираясь на теорему 1. Матрицы квадратичных форм f₀ и f₁ суть

$B=\left[\begin{array}{cccc}-a& 0& 0& 0\\ 0& -b& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ и $B{A}^2=\left[\begin{array}{cccc}{a}^2& 0& 0& a\gamma \\ 0& b^2& -b\gamma & 0\\ 0& -b\gamma & {\gamma }^2-a& 0\\ \alpha \gamma & 0& 0& {\gamma }^2-b\end{array}\right]$

Будем искать симметрическую матрицу $S$ в следующем виде:

$S=\left[\begin{array}{cccc}{s}_1& 0& 0& s_5\\ 0& s_2& s_6& 0\\ 0& s_6& s_3& 0\\ s_5& 0& 0& s_4\end{array}\right]$

Условие ее положительной определенности сводится к четырем неравенствам:

$s_1>\mathrm{0,}{s}_2>\mathrm{0,}{s}_2{s}_3>s_6^2,s_1{s}_4>s_5^2$ (4.3)

При этом, конечно, $s_3>0$ и $s_4>0$. Запишем в явном виде два соотношения:

$a{s}_1+b{s}_2=s_3+s_4$ (4.4)

$a^2{s}_1+b^2{s}_2+({\gamma }^2-a)s_3+({\gamma }^2-b)s_4+2a\gamma s_5-2b\gamma s_6=0$ (4.5)

Надо найти решения этих двух уравнений, удовлетворяющих неравенствам (4.3).

Положим

$s_3=b{s}_2,s_4=a{s}_1$ (4.6)

Если при этом $s_5=s_6=0$, то уравнение (4.5)

$a({\gamma }^2-b+a)s_1+b({\gamma }^2-a+b)s_2=0$ (4.7)

имеет решение с положительными s₁, s₂ при условии

${\gamma }^2<|a-b|$ (4.8)

Но тогда диагональная матрица S будет положительно определенной и линейная система (4.1) оказывается вполне неустойчивой (по теореме 1). На диаграмме степеней устойчивости условие (4.8) задает две связные области, расположенные выше и ниже двух прямых, обозначенных пунктиром. При этом спектр линейной системы (4.1) может состоять из двух пар вещественных чисел, или быть четверкой комплексных чисел.

В общем случае (когда s₅ и s₆ отличны от нуля) соотношение (4.7) принимает следующий вид:

$a({\gamma }^2-b+a)s_1+b({\gamma }^2-a+b)s_2+2a\gamma s_5-2b\gamma s_6=0$

Положим

$({\gamma }^2-a+b)s_2-2\gamma s_6=0$ и $({\gamma }^2-b+a)s_1+2\gamma s_5=0$

Учитывая (4.6), получаем, что два последних неравенства (4.3) удовлетворяются, если

${({\gamma }^2-a+b)}^2<4b{\gamma }^2$ и ${({\gamma }^2-b+a)}^2<4a{\gamma }^2$ (4.9)

соответственно. Но эти оба неравенства совпадают и определяют на диаграмме степеней устойчивости область D < 0. Таким образом, объединение областей, задаваемых неравенствами (4.8) и (4.9), совпадает с областью полной неустойчивости линейной гироскопической системы (4.1).

About the authors

V. V. Kozlov

Author for correspondence.
Email: vvkozlov@presidium.ras.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1

Download (88KB)

Indexing metadata