On the motion of mechanical systems in force fields, as motion in their absence when connections are applied

Full Text

1. Введение. В механике известна аксиома об освобождаемости от связей. Так, например, в [1] она формулируется следующим образом: «Механическое состояние системы не изменится, если освободить ее от связей, приложив к точкам системы силы, равные реакциям связей». Для однозначного определения реакции связи требуется дополнительное условие [2]. Обычно принимается условие идеальности связи и тогда между той или иной связью и силой (реакцией связи) устанавливается однозначное соответствие. Применение принципа освобождения от связей предполагает увеличение числа степеней свободы исходной механической системы на число отброшенных связей.

Формулируется обратное положение, в соответствии с которым движение системы не изменится, если игнорировать действующие на нее силы и наложить связи, реакции которых и обеспечивают заданное движение [3, 4]. Такая аксиома для однозначного соответствия между силами и связями также требует дополнительных условий, например, их идеальности. В этом случае происходит обратное явление: изучаемая исходная механическая система получается из другой, с большим числом степеней свободы механической системы, на которую накладываются голономные идеальные связи, а движение происходит в отсутствии действующих активных сил. Таким образом основной задачей является определение уравнений связей в расширенном пространстве конфигураций, однозначно порождающих заданное силовое поле в исходном пространстве.

2. Постановка задачи. Как известно [1, 2, 5] изучение динамики движения механической системы с $s$ степенями свободы на которую накладываются стационарные голономные связи можно осуществлять с помощью уравнений Лагранжа

$a_{ij}{\ddot{q}}^j+\left(\frac{\partial a_{ij}}{\partial q^n}-\frac{1}{2}\frac{\partial a_{nj}}{\partial q^i}\right){\dot{q}}^n{\dot{q}}^j=Q_i(i,j,n=1\dots s)$ (2.1)

В дифференциальных уравнениях (2.1) $q^i$ $–$ обобщенные координаты, $a_{ij}$ $–$ элементы матрицы инерционных коэффициентов, в общем случае зависящих от всех обобщенных координат, $Q_i$ $–$ обобщенные силы, зависящие от внешних стационарных, не зависящих от времени сил, действующих на механическую систему и соответствующие каждой $i$ обобщенной координате. Повторяющиеся в (1.1) верхние и нижние индексы, как это принято в тензорном анализе [6] означают по ним суммирование.

Рассматривается и другая механическая система с $s+1$ степенями свободы отличающаяся от исходной отсутствием внешних сил, генерирующих в (2.1) обобщенные силы $Q_i$, но дополненная уравнением движения относительно новой введенной координаты $q^{s+1}\left(t\right)$ и уравнением голономной идеальной связи между координатами $q^i,\dots ,q^s,q^{s+1}$

$f=f\left(q^1,\dots ,q^s,q^{s+1}\right)=0$ (2.2)

Ставится задача определения такого уравнения связи (2.2), которое при известном законе изменения координаты $q^{s+1}\left(t\right)$ обеспечивает те же законы изменения координат $q^i\left(t\right)$ новой рассматриваемой механической системы, как и у исходной при тех же начальных условиях. Если такая связь существует, то справедлив принцип обратный принципу освобождаемости от связей, а именно: можно игнорировать действующие на механическую систему силы и заменить их действие наложением связей.

3. Метод решения. Для новой рассматриваемой механической системы вводится матрица инерционных коэффициентов $a_{pr}^{\ast }$ отличающаяся от такой же матрицы для исходной $a_{ij}$ системы наличием дополнительной строки и столбца

$a_{pr}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& \dots & a_{1s}& 0\\ a_{21}& \dots & a_{2s}& 0\\ \begin{array}{l}.\\ a_{s1}\end{array}& \begin{array}{l}.\\ \dots \end{array}& \begin{array}{l}.\\ a_{ss}\end{array}& \begin{array}{l}.\\ 0\end{array}\\ 0& \dots & .& a_{s+\mathrm{1,}s+1}\end{array}\right)(p,r=1\dots s+1)$ (3.1)

Причем ненулевой элемент $a_{s+\mathrm{1,}s+1}$ считается функцией обобщенных координат $q^1\mathrm{,...,}{q}^s,q^{s+1}$. Такая структура матрицы инерционных коэффициентов соответствует ортогональности дополнительно введенной координаты $q^{s+1}$ всем остальным. Примером такой новой механической системы может являться исходный плоский механизм с $s$ степенями подвижности, которому сообщается движение, как единому целому, вдоль оси, ортогональной исходной поверхности.

С геометрической точки зрения такая матрица инерционных коэффициентов соответствует метрике расширенного риманова пространства, которое всегда может быть реализовано во вмещающем евклидовом пространстве размерность $N$ которого определяется формулой [6]

$N=\frac{(s+1)(s+2)}{2}$ (3.2)

Кинетическая энергия $T^{*}$ новой системы определяется выражением

$T^{\ast }=\frac{1}{2}{a}_{ij}{\dot{q}}^i{\dot{q}}^j+\frac{1}{2}{a}_{s+\mathrm{1,}s+1}{\dot{q}}^{s+1}{\dot{q}}^{s+1}$ (3.3)

Тогда уравнения движения, составленные с помощью уравнений Лагранжа в отсутствии действия внешних сил можно разделить на две группы. В первую группу входят $s$ уравнений, соответствующих $s$ первым координатам

$a_{ij}{\ddot{q}}^j+\left(\frac{\partial a_{ij}}{\partial q^n}-\frac{1}{2}\frac{\partial a_{nj}}{\partial q^i}\right){\dot{q}}^n{\dot{q}}^j=\frac{1}{2}\frac{\partial a_{s+\mathrm{1,}s+1}}{\partial q^i}{\dot{q}}^{s+1}{\dot{q}}^{s+1}(i,j,n=1\dots s)$ (3.4)

Во второй группе содержится только одно уравнение, составленное для $s+1$ координаты

$a_{s+\mathrm{1,}s+1}{\ddot{q}}^{s+1}+\frac{1}{2}\frac{\partial a_{s+\mathrm{1,}s+1}}{\partial q^{s+1}}{\dot{q}}^{s+1}{\dot{q}}^{s+1}=-\frac{\partial a_{s+\mathrm{1,}s+1}}{\partial q^i}{\dot{q}}^i{\dot{q}}^{s+1}$ (3.5)

Для того чтобы уравнения (3.4) описывали движение исходной механической системы необходимо, чтобы инерционный коэффициент $a_{s+\mathrm{1,}s+1}$ определялся из системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно координат $q^1\mathrm{,...,}{q}^s$

$Q_i=\frac{1}{2}\frac{\partial a_{s+\mathrm{1,}s+1}}{\partial q^i}{\dot{q}}^{s+1}{\dot{q}}^{s+1}$ (3.6)

В уравнениях (3.6), в силу независимости $Q_i$ от времени ${\dot{q}}^{s+1}$ должна быть величиной постоянной и рассматриваться как параметр. Результатом решения будет являться функция $a_{s+\mathrm{1,}s+1}={\phi }_{s+\mathrm{1,}s+1}$, зависящая от координат $q^1\mathrm{,...,}{q}^s$ с точностью до аддитивной функции ${\psi }_{s+\mathrm{1,}s+1}$, зависящей от дополнительно введенной координаты $q^{s+1}$

$a_{s+\mathrm{1,}s+1}={\phi }_{s+\mathrm{1,}s+1}\left(q^1,\dots ,q^s\right)+{\psi }_{s+\mathrm{1,}s+1}\left(q^{s+1}\right)$ (3.7)

Тогда уравнения (3.4) и (3.5) можно представить в форме

$\begin{array}{l}{a}_{ij}{\ddot{q}}^j+\left(\frac{\partial a_{ij}}{\partial q^n}-\frac{1}{2}\frac{\partial a_{nj}}{\partial q^i}\right){\dot{q}}^n{\dot{q}}^j=\frac{1}{2}\frac{\partial {\phi }_{s+\mathrm{1,}s+1}}{\partial q^i}{\dot{q}}^{s+1}{\dot{q}}^{s+1}\\ \left({\psi }_{s+\mathrm{1,}s+1}+{\phi }_{s+\mathrm{1,}s+1}\right){\ddot{q}}^{s+1}+\frac{1}{2}\frac{\partial {\psi }_{s+\mathrm{1,}s+1}}{\partial q^{s+1}}{\dot{q}}^{s+1}{\dot{q}}^{s+1}=-\frac{\partial {\phi }_{s+\mathrm{1,}s+1}}{\partial q^i}{\dot{q}}^i{\dot{q}}^{s+1}\end{array}$ (3.8)

Такая структура уравнений (3.8) позволяет правые части полученных уравнений рассматривать как характеристики взаимодействия исходной системы, перемещающейся в исходном $s$ -мерном пространстве конфигураций, с той же системой, но перемещающейся как твердое тело поступательно относительно дополнительно введенной координаты $q^{s+1}$. При отсутствии внешних сил $Q_i$, действующих на исходную систему, правые части уравнений в соответствии с (3.8) обращаются в нуль, рассматриваемые движения независимы, а кинетическая энергия в каждом движении сохраняется. При наличии внешних сил $Q_i$, действующих на исходную механическую систему, кинетическая энергия всей системы с учетом ее дополнительного движения также сохраняется. В процессе движения может осуществляться лишь перераспределение кинетической энергии между отдельными видами движения.

Особенность уравнения (3.6) состоит также в том, что рассматриваемый метод замены сил уравнениями связей может быть реализован только для потенциальных сил

$Q_i=-\frac{\partial \Pi }{\partial q^i},$ (3.9)

где $\Pi$ $–$ потенциальная энергия исходной механической системы.

Сопоставление (3.9) с (3.6) и (3.3) показывает, что потенциальная энергия $\Pi$ исходной системы с точностью до аддитивной постоянной равна части кинетической энергии той же системы, определяемой поступательным движением как единого твердого тела, с изменением дополнительно введенной виртуальной координаты $q^{s+1}$, ортогональной всем действительным координатам $q^1,\dots ,q^s$.

Для того, чтобы уравнения имели форму уравнений Лагранжа с неопределенными множителями $\lambda$ необходимо ввести уравнение связи (2.2), а правые части уравнений (3.8) представить в форме

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\partial {\phi }_{s+\mathrm{1,}s+1}}{\partial q^i}{\dot{q}}^{s+1}{\dot{q}}^{s+1}=\lambda \frac{\partial f}{\partial q^i}\\ -\frac{\partial {\phi }_{s+\mathrm{1,}s+1}}{\partial q^i}{\dot{q}}^i{\dot{q}}^{s+1}=\lambda \frac{\partial f}{\partial q^{s+1}}\end{array}$ (3.10)

Уравнения (3.10) следует рассматривать как уравнения для определения уравнения связи (2.2) и неопределенного множителя $\lambda$. Этим уравнениям удовлетворяет решение

$\begin{array}{l}\lambda =\frac{1}{2}\mu {\dot{q}}^{s+1}{\dot{q}}^{s+1}=\frac{1}{2}\mu v^2=\text{const}\\ f=\frac{1}{\mu }\left[{\phi }_{s+\mathrm{1,}s+1}\left(q^1\dots q^s\right)+\frac{1}{2}{\psi }_{s+\mathrm{1,}s+1}\left(q^{s+1}\right)\right]=\mathrm{0,}\end{array}$ (3.11)

где $\mu$ $–$ произвольный нормирующий размерный постоянный множитель, позволяющий уравнение связи (2.2) представлять в безразмерной форме.

Следует иметь в виду, что решение (3.11) представлено с точностью до постоянного слагаемого.

Аддитивная функция ${\psi }_{s+\mathrm{1,}s+1}$, входящая в (3.7), (3.8), (3.11) должна быть дифференцируемой функцией. Наиболее простой ее вид

${\psi }_{s+\mathrm{1,}s+1}=\mu q^{s+1}$ (3.12)

Тогда из (3.11) можно установить связь введенной дополнительной координаты $q^{s+1}$, со всеми обобщенными координатами изначально рассматриваемой механической системы (2.1)

$\mu q^{s+1}=a_{s+\mathrm{1,}s+1}\left(q^1,\dots ,q^{s+1}\right)-{\phi }_{s+\mathrm{1,}s+1}\left(q^1,\dots ,q^s\right)$ (3.13)

4. Метод Г. Герца и «скрытые движения». Рассматриваемый метод игнорирования действующих на механическую систему сил и замена их связями согласуется с идеями Герца [7], которые А. Пуанкаре сформулировал следующим образом [8]:

1. «В природе имеются лишь системы со связями, свободные от действия любой внешней силы».
2. «Если некоторые тела кажутся нам подчиненными каким-либо силам, это значит, что они связаны с другими телами, для нас невидимыми».

Однако, по мнению К. Ланцош [9, стр. 157$–$158], «эта любопытная гипотеза так и осталась в виде эскизных набросков», хотя «теория относительности … дала эффективный пример бессиловой механики Герца».

Вместе с тем имеются и некоторые отличия от предлагаемого Герцем метода. В частности, в бессиловой механике обязательно вводятся циклические координаты, за счет чего получают первые интегралы движения. Поэтому и возникает возможность формировать воздействия на изучаемую механическую систему и трактовать эти воздействия как силы.

Действительно, если материальная точка движется по поверхности вращения и ее положение определяется координатами $u^1$ u1 и $u^2=\phi$ (рис. 1), то ее кинетическая энергия $T$ будет определяться выражением

$T=\frac{1}{2}m{\left({\dot{u}}^1\right)}^2+\frac{1}{2}m{r}^2\left(u^1\right){\dot{\phi }}^2,$ (4.1)

где $r\left(u^1\right)$ $–$ радиус окружности в сечении поверхности с координатой $u^1$, $\phi$ циклическая координата.

Рис. 1. Поверхность, соответствующая голономной связи, генерирующей активную силу $Q=Q\left(u^1\right)$ 

Тогда, при отсутствии внешних активных сил, рассматривая поверхность вращения как идеальную связь, можно получить дифференциальные уравнения движения

$\begin{array}{l}m{\ddot{u}}^1-mr{u}^1\frac{dr}{d{u}^1}{\dot{\phi }}^2=0\\ m{r}^2\left(u^1\right)\dot{\phi }=K=\mathrm{const}\end{array}$ (4.2)

Второе уравнение в (6.2) $–$ и есть первый интеграл, а физический смысл постоянной $K$ $–$ момент количества движения точки относительно оси $O{x}^3$.

Теперь можно считать, что на материальную точку действует сила $Q$, направленная по касательной к координатной оси $u^1$ в каждой точке траектории

$Q(u_1)=\frac{K^2}{m}\frac{1}{r^3}\frac{dr}{d{u}^1}=\frac{K^2}{2m{r}_0^2}\frac{\partial }{\partial u^1}\left(-\frac{r_0^2}{r^2}\right),$ (4.3)

где $r_0$ $–$ радиус окружности в начальном сечении поверхности вращения.

Предлагаемый метод учета сил наложением связей не предполагает наличия циклических координат, но первый интеграл имеется $–$ постоянство и равенство скоростей всех точек рассматриваемой механической системы, перемещающейся относительно дополнительно введенной координаты ортогональной всем остальным.

5. Одномерное движение материальной точки массы m под действием различных сил

Уравнение для исходной механической системы согласно (2.1) имеет вид

$m{\ddot{q}}^1=Q(q^1)$ (5.1)

Вводится координата $q^2$ и определяется инерционный коэффициент $a_{22}\left(q^1,q^2\right)$ из уравнения типа (3.6) при ${\dot{q}}^2=v=\text{const}$

$\frac{\partial a_{22}}{\partial q^1}=\frac{1}{v^2}Q(q^1)$ (5.2)

Тогда кинетическая энергия новой механической системы в соответствии с (3.3) определяется выражением

$T^{\ast }=\frac{1}{2}m{({\dot{q}}^1)}^2+\frac{1}{2}{a}_{22}{({\dot{q}}^2)}^2$ (5.3)

В этом случае уравнения (3.8) приобретают форму

$\begin{array}{l}m{\ddot{q}}^1=\frac{1}{2}\frac{\partial a_{22}}{\partial q^1}{v}^2\\ \frac{1}{2}\frac{\partial a_{22}}{\partial q^2}{v}^2=-\frac{\partial a_{22}}{\partial q^1}{\dot{q}}^{1}v,\end{array}$ (5.4)

но в соответствии с (3.7) и (3.12)

$\frac{\partial a_{22}}{\partial q^1}{\dot{q}}^1=\frac{\partial {\phi }_{s+\mathrm{1,}s+1}}{\partial q^1}{\dot{q}}^1=-\frac{1}{2}\frac{\partial {\psi }_{s+\mathrm{1,}s+1}}{\partial q^2}v,$ (5.5)

и поэтому второе уравнение в (5.4) обращается в тождество, а первое уравнение преобразуется к форме уравнения Лагранжа с неопределенным множителем

$m{\ddot{q}}^1=\lambda \frac{\partial f}{\partial q^1},$ (5.6)

где $\lambda$ и $f\left(q^1,q^2\right)$ определяется в соответствии с (3.10), (3.11).

5.1. Действие постоянной силы $Q=\mathrm{const}$

Тогда

$a_{22}=\frac{2Q}{v^2}{q}^1+\mu q^2,\lambda =\frac{1}{2}\mu v^2,f=\frac{2Q}{\mu v^2}{q}^1+\frac{1}{2}{q}^2=0$ (5.7)

Уравнение движения имеет вид

$m{\ddot{q}}^1=\lambda \frac{\partial f}{\partial q^1}=Q$ (5.8)

5.2. Действие восстанавливающей силы, пропорциональной координате $Q=-k{q}^1$

Тогда

$a_{22}=-\frac{k{(q^1)}^2}{v^2}+\mu q^2,\lambda =\frac{1}{2}\mu v^2,f=-\frac{k{(q^1)}^2}{\mu v^2}+\frac{1}{2}{q}^2=0$ (5.9)

Уравнение движения имеет вид

$m{\ddot{q}}^1=\lambda \frac{\partial f}{\partial q^1}=-k{q}^1$ (5.10)

5.3. Действие силы притяжения $Q=-\gamma /q^1{}^{{}^2}$

Тогда

$a_{22}=\frac{2\gamma }{v^2{q}^1}+\mu q^2,\lambda =\frac{1}{2}\mu v^2,f=-\frac{2\gamma }{\mu v^2{q}^1}+q^2=0$ (5.11)

Уравнение движения имеет вид

$m{\ddot{q}}^1=\lambda \frac{\partial f}{\partial q^1}=-\frac{\gamma }{q^1{}^{{}^2}}$ (5.12)

На рис. 2 для всех трех примеров для наглядности представлены графики зависимостей уравнений голономных связей для рассматриваемых случаев. Размерности параметров, при которых построены графики согласуются с размерностями обобщенных координат $q^1$ и $q^2$.

Рис. 2а. Графическое представление уравнений голономных связей: 1$–$3: $\frac{4Q}{\mu v^2}=-\frac{1}{2},-\mathrm{1,}-2$ 

Рис. 2б. Графическое представление уравнений голономных связей: $Q=-k{q}^1$, 1$–$3: $\frac{2k}{\mu v^2}=\mathrm{0.25,1,2}$

Рис. 2в. Графическое представление уравнений голономных связей: $Q=\gamma /v^2{q}^1$, 1–3: $\frac{2k}{\mu v^2}=\mathrm{0.25,1,2}$

Выводы. Рассмотренный метод замещения действующих на механическую систему потенциальных сил, не зависящих от времени, соответствует концепции Г. Герца о «скрытых движениях». Отличие состоит в необязательности введения циклических координат и в отсутствии придания формальному механико-математическому методу физической сущности. Практическая значимость предложенного метода не очевидна, но может состоять в более глубоком понимании равноправности решения задач механики как с помощью введения в расчетную схему решаемой задачи сил, подчиняющихся той или иной закономерности или уравнений связи.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда $№$ 24-21-00477, https://rscf.ru/project/24-21-00477/

Автор выражает благодарность участникам семинара по теории управления и динамике систем ИПМех РАН под руководством академика Черноусько Ф.Л. за ценные замечания, способствующие улучшению содержания статьи.

About the authors

E. S. Briskin

Author for correspondence.
Email: dtm@vstu.ru
Russian Federation, Volgograd

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Surface corresponding to the holonomic constraint generating the active force Q = Q(u1)

Download (105KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2a. Graphical representation of holonomic constraint equations: 13:

Download (84KB)

Indexing metadata

4. Fig. 2b. Graphical representation of holonomic constraint equations: , 13:

Download (86KB)

Indexing metadata

5. Fig. 2c. Graphical representation of holonomic constraint equations: , 1–3:

Download (88KB)

Indexing metadata