The finite-gap method and the periodic NLS Cauchy problem of anomalous waves for a finite number of unstable modes

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The focusing non-linear Schrödinger (NLS) equation is the simplest universal model describing the modulation instability (MI) of quasimonochromatic waves in weakly non-linear media, and MI is considered to be the main physical mechanism for the appearance of anomalous (rogue) waves (AWs) in nature. In this paper the finite-gap method is used to study the NLS Cauchy problem for generic periodic initial perturbations of the unstable background solution of the NLS equation (here called the Cauchy problem of AWs) in the case of a finite number $N$ of unstable modes. It is shown how the finite-gap method adapts to this specific Cauchy problem through three basic simplifications enabling one to construct the solution, to leading and relevant order, in terms of elementary functions of the initial data. More precisely, it is shown that, to leading order, i) the initial data generate a partition of the time axis into a sequence of finite intervals, ii) in each interval $I$ of the partition only a subset of ${\mathscr N}(I)\leqslant N$ unstable modes are ‘visible’, and iii) for $t\in I$ the NLS solution is approximated by the ${\mathscr N}(I)$-soliton solution of Akhmediev type describing for these ‘visible’ unstable modes a non-linear interaction with parameters also expressed in terms of the initial data through elementary functions. This result explains the relevance of the $m$-soliton solutions of Akhmediev type with $m\leqslant N$ in the generic periodic Cauchy problem of AWs in the case of a finite number $N$ of unstable modes.Bibliography: 118 titles.

About the authors

Petr Georgievich Grinevich

L.D. Landau Institute for Theoretical Physics of Russian Academy of Sciences

Email: pgg@landau.ac.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

Paolo Maria Santini

La Sapienza University, Romе, Italy; Istituto Nazionale di Fisica Nucleare

Email: paolo.santini@romal.infn.it

References

  1. M. J. Ablowitz, J. Hammack, D. Henderson, C. M. Schober, “Long-time dynamics of the modulational instability of deep water waves”, Phys. D, 152/153 (2001), 416–433
  2. M. J. Ablowitz, B. M. Herbst, “On homoclinic structure and numerically induced chaos for the nonlinear Schrödinger equation”, SIAM J. Appl. Math., 50:2 (1990), 339–351
  3. M. J. Ablowitz, D. J. Kaup, A. C. Newell, H. Segur, “Nonlinear-evolution equations of physical significance”, Phys. Rev. Lett., 31:2 (1973), 125–127
  4. M. J. Ablowitz, J. F. Ladik, “Nonlinear differential-difference equations”, J. Math. Phys., 16:3 (1975), 598–603
  5. M. J. Ablowitz, Z. H. Musslimani, “Integrable nonlocal nonlinear Schrödinger equation”, Phys. Rev. Lett., 110:6 (2013), 064105
  6. M. J. Ablowitz, Z. H. Musslimani, “Integrable discrete $PT$ symmetric model”, Phys. Rev. E (3), 90:3 (2014), 032912
  7. M. J. Ablowitz, Z. H. Musslimani, “Integrable nonlocal nonlinear equations”, Stud. Appl. Math., 139:1 (2017), 7–59
  8. M. J. Ablowitz, Z. H. Musslimani, “Inverse scattering transform for the integrable nonlocal nonlinear Schrödinger equation”, Nonlinearity, 29:3 (2016), 915–946
  9. M. J. Ablowitz, C. Schober, B. M. Herbst, “Numerical chaos, roundoff errors and homoclinic manifolds”, Phys. Rev. Lett., 71:17 (1993), 2683–2686
  10. М. Абловиц, Х. Сигур, Солитоны и метод обратной задачи, Мир, М., 1987, 480 с.
  11. D. S. Agafontsev, V. E. Zakharov, “Integrable turbulence and formation of rogue waves”, Nonlinearity, 28:8 (2015), 2791–2821
  12. Г. П. Агравал, Нелинейная волоконная оптика, Мир, М., 1996, 324 с.
  13. N. N. Akhmediev, “Nonlinear physics: Dejà vu in optics”, Nature, 413:6853 (2001), 267–268
  14. Н. Н. Ахмедиев, В. М. Елеонский, Н. Е. Кулагин, “Генерация периодических пакетов пикосекундных импульсов в оптическом фибере: точные решения”, ЖЭТФ, 89:5 (1985), 1542–1551
  15. Н. Н. Ахмедиев, В. М. Елеонский, Н. Е. Кулагин, “Точные решения первого порядка нелинейного уравнения Шредингера”, ТМФ, 72:2 (1987), 183–196
  16. Н. Н. Ахмедиев, В. И. Корнеев, “Модуляционная неустойчивость и периодические решения нелинейного уравнения Шредингера”, ТМФ, 69:2 (1986), 189–194
  17. A. Ankiewicz, N. Akhmediev, J. M. Soto-Crespo, “Discrete rogue waves of the Ablowitz–Ladik and Hirota equations”, Phys. Rev. E (3), 82:2 (2010), 026602, 7 pp.
  18. М. В. Бабич, А. И. Бобенко, В. Б. Матвеев, “Решения нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, в тэта-функциях Якоби и симметрии алгебраических кривых”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 49:3 (1985), 511–529
  19. F. Baronio, A. Degasperis, M. Conforti, S. Wabnitz, “Solutions of the vector nonlinear Schrödinger equations: evidence for deterministic rogue waves”, Phys. Rev. Lett., 109:4 (2012), 044102
  20. E. D. Belokolos, A. I. Bobenko, V. Z. Enolskii, A. R. Its, V. B. Matveev, Algebro-geometric approach to nonlinear integrable equations, Springer Ser. Nonlinear Dynam., Springer-Verlag, Berlin, 1994, xii+337 pp.
  21. T. B. Benjamin, J. E. Feir, “The disintegration of wave trains on deep water. Part I. Theory”, J. Fluid Mech., 27:3 (1967), 417–430
  22. M. Bertola, G. A. El, A. Tovbis, “Rogue waves in multiphase solutions of the focusing nonlinear Schrödinger equation”, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 472:2194 (2016), 20160340, 12 pp.
  23. M. Bertola, A. Tovbis, “Universality for the focusing nonlinear Schrödinger equation at the gradient catastrophe point: rational breathers and poles of the tritronquee solution to Painleve I”, Comm. Pure Appl. Math., 66:5 (2013), 678–752
  24. В. И. Беспалов, В. И. Таланов, “О нитевидной структуре пучков света в нелинейных жидкостях”, Письма в ЖЭТФ, 3:12 (1966), 471–476
  25. G. Biondini, G. Kovačič, “Inverse scattering transform for the focusing nonlinear Schrödinger equation with nonzero boundary conditions”, J. Math. Phys., 55:3 (2014), 031506, 22 pp.
  26. G. Biondini, S. Li, D. Mantzavinos, “Oscillation structure of localized perturbations in modulationally unstable media”, Phys. Rev. E, 94:6 (2016), 060201(R)
  27. Yu. V. Bludov, V. V. Konotop, N. Akhmediev, “Matter rogue waves”, Phys. Rev. A, 80:3 (2009), 033610
  28. U. Bortolozzo, A. Montina, F. T. Arecchi, J. P. Huignard, S. Residori, “Spatiotemporal pulses in a liquid crystal optical oscillator”, Phys. Rev. Lett., 99:2 (2007), 023901
  29. A. Calini, N. M. Ercolani, D. W. McLaughlin, C. M. Schober, “Mel'nikov analysis of numerically induced chaos in the nonlinear Schrödinger equation”, Phys. D, 89:3-4 (1996), 227–260
  30. A. Calini, C. M. Schober, “Homoclinic chaos increases the likelihood of rogue wave formation”, Phys. Lett. A, 298:5-6 (2002), 335–349
  31. A. Calini, C. M. Schober, “Dynamical criteria for rogue waves in nonlinear Schrödinger models”, Nonlinearity, 25:12 (2012), R99–R116
  32. A. Chabchoub, N. P. Hoffmann, N. Akhmediev, “Rogue wave observation in a water wave tank”, Phys. Rev. Lett., 106:20 (2011), 204502
  33. И. В. Чередник, “Об условиях вещественности в конечнозонном интегрировании”, Докл. АН СССР, 252:5 (1980), 1104–1108
  34. F. Coppini, P. M. Santini, The periodic Cauchy problem of anomalous waves for the Ablowitz–Ladik model, and the exact recurrence of rogue waves, preprint, 2018
  35. A. Degasperis, S. Lombardo, “Integrability in action: solitons, instability and rogue waves”, Rogue and shock waves in nonlinear dispersive waves, Lecture Notes in Phys., 926, Springer, Cham, 2016, 23–53
  36. A. Degasperis, S. Lombardo, M. Sommacal, “Integrability and linear stability of nonlinear waves”, J. Nonlinear Sci., 28:4 (2018), 1251–1291
  37. П. Джаков, Б. С. Митягин, “Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрeдингера и Дирака”, УМН, 61:4(370) (2006), 77–182
  38. P. Dubard, P. Gaillard, C. Klein, V. B. Matveev, “On multi-rogue wave solutions of the NLS equation and positon solutions of the KdV equation”, Eur. Phys. J. Spec. Top., 185:1 (2010), 247–258
  39. Б. А. Дубровин, “Обратная задача теории рассеяния для периодических конечнозонных потенциалов”, Функц. анализ и его прил., 9:1 (1975), 65–66
  40. Б. А. Дубровин, “Тэта-функции и нелинейные уравнения”, УМН, 36:2(218) (1981), 11–80
  41. K. B. Dysthe, K. Trulsen, “Note on breather type solutions of the NLS as models for freak-waves”, Phys. Scripta, T82:1 (1999), 48–52
  42. G. A. El, E. G. Khamis, A. Tovbis, “Dam break problem for the focusing nonlinear Schrödinger equation and the generation of rogue waves”, Nonlinearity, 29:9 (2016), 2798–2836
  43. N. Ercolani, M. G. Forest, D. W. McLaughlin, “Geometry of the modulational instability. III. Homoclinic orbits for the periodic sine-Gordon equation”, Phys. D, 43:2-3 (1990), 349–384
  44. Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, Наука, М., 1986, 528 с.
  45. J. D. Fay, Theta functions on Riemann surfaces, Lecture Notes in Math., 352, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1973, iv+137 pp.
  46. M. G. Forest, J. E. Lee, “Geometry and modulation theory for the periodic nonlinear Schrödinger equation”, Oscillation theory, computation, and methods of compensated compactness (Minneapolis, MN, 1985), IMA Vol. Math. Appl., 2, Springer, New York, 1986, 35–69
  47. G. Gallavotti (ed.), The Fermi–Pasta–Ulam problem. A status report, Lecture Notes in Phys., 728, Springer, Berlin, 2008, viii+301 pp.
  48. A. A. Gelash, “Formation of rogue waves from a locally perturbed condensate”, Phys. Rev. E, 97 (2018), 022208
  49. A. A. Gelash, D. S. Agafontsev, “Strongly interacting soliton gas and formation of rogue waves”, Phys. Rev. E, 98 (2018), 042210
  50. A. A. Gelash, V. E. Zakharov, “Superregular solitonic solutions: a novel scenario for the nonlinear stage of modulation instability”, Nonlinearity, 27:4 (2014), R1–R39
  51. R. H. J. Grimshaw, A. Tovbis, “Rogue waves: analytical predictions”, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 469:2157 (2013), 20130094, 10 pp.
  52. P. G. Grinevich, P. M. Santini, “The finite gap method and the analytic description of the exact rogue wave recurrence in the periodic NLS Cauchy problem. 1”, Nonlinearity, 31:11 (2018), 5258–5308
  53. P. G. Grinevich, P. M. Santini, “The exact rogue wave recurrence in the NLS periodic setting via matched asymptotic expansions, for 1 and 2 unstable modes”, Phys. Lett. A, 382:14 (2018), 973–979
  54. П. Г. Гриневич, П. М. Сантини, “Фазовые резонансы для повторяемости аномальных волн НУШ в квазисимметричном случае”, ТМФ, 196:3 (2018), 404–418
  55. P. G. Grinevich, P. M. Santini, “Numerical instability of the Akhmediev breather and a finite-gap model of it”, Recent developments in integrable systems and related topics of mathematical physics (Kezenoi-Am, Russia, 2016), Springer Proc. Math. Stat., 273, Springer, Berlin, 2018, 3–23
  56. P. G. Grinevich, M. U. Schmidt, “Period preserving nonisospectral flows and the moduli space of periodic solutions of soliton equations”, Phys. D, 87:1-4 (1995), 73–98
  57. K. L. Henderson, D. H. Peregrine, J. W. Dold, “Unsteady water wave modulations: fully nonlinear solutions and comparison with the nonlinear Schrödinger equation”, Wave Motion, 29:4 (1999), 341–361
  58. R. Hirota, “Exact solution of the Korteweg–de Vries equation for multiple collisions of solitons”, Phys. Rev. Lett., 27:18 (1971), 1192–1994
  59. R. Hirota, “Direct method of finding exact solutions of nonlinear evolution equations”, Bäcklund transformations, the inverse scattering method, solitons, and their applications (Workshop Contact Transformations, Vanderbilt Univ., Nashville, TN, 1974), Lecture Notes in Math., 515, Springer, Berlin, 1976, 40–68
  60. H. Hochstadt, “Estimates on the stability intervals for Hill's equation”, Proc. Amer. Math. Soc., 14:6 (1963), 930–932
  61. А. Р. Итс, В. П. Котляров, “Явные формулы для решения нелинейного уравнения Шредингера”, Докл. АН УССР Сер. А, 1976, № 11, 965–968
  62. А. Р. Итс, В. Б. Матвеев, “Об операторах Хилла с конечным числом лакун”, Функц. анализ и его прил., 9:1 (1975), 69–70
  63. А. Р. Итс, А. В. Рыбин, М. А. Салль, “К вопросу о точном интегрировании нелинейного уравнения Шредингера”, ТМФ, 74:1 (1988), 29–45
  64. J. Javanainen, J. Ruostekoski, “Symbolic calculation in development of algorithms: split-step methods for the Gross–Pitaevskii equation”, J. Phys. A, 39:12 (2006), L179–L184
  65. T. Kawata, H. Inoue, “Inverse scattering method for the nonlinear evolution equations under nonvanishing conditions”, J. Phys. Soc. Japan, 44:5 (1978), 1722–1729
  66. D. J. Kedziora, A. Ankiewicz, N. Akhmediev, “Second-order nonlinear Schrödinger equation breather solutions in the degenerate and rogue wave limits”, Phys. Rew. E, 85:6 (2012), 066601
  67. C. Kharif, E. Pelinovsky, T. Talipova, A. Slunyaev, “Focusing of nonlinear wave groups in deep water”, Письма в ЖЭТФ, 73:4 (2001), 190–195
  68. C. Kharif, E. Pelinovsky, “Physical mechanisms of the rogue wave phenomenon”, Eur. J. Mech. B/Fluids, 22:6 (2003), 603–634
  69. B. Kibler, J. Fatome, C. Finot, G. Millot, F. Dias, G. Genty, N. Akhmediev, J. M. Dudley, “The Peregrine soliton in nonlinear fibre optics”, Nature Physics, 6:10 (2010), 790–795
  70. O. Kimmoun, H. C. Hsu, H. Branger, M. S. Li, Y. Y. Chen, C. Kharif, M. Onorato, E. J. R. Kelleher, B. Kibler, N. Akhmediev, A. Chabchoub, “Modulation instability and phase-shifted Fermi–Pasta–Ulam recurrence”, Sci. Rep., 6 (2016), 28516, 9 pp.
  71. W. Kohn, “Analytic properties of Bloch waves and Wannier functions”, Phys. Rev. (2), 115:4 (1959), 809–821
  72. И. М. Кричевер, “Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений”, УМН, 32:6(198) (1977), 183–208
  73. И. М. Кричевер, “Спектральная теория двумерных периодических операторов и ее приложения”, УМН, 44:2(266) (1989), 121–184
  74. I. M. Krichever, “Perturbation theory in periodic problems for two-dimensional integrable systems”, Sov. Sci. Rev., Sect. C, Math. Phys. Rev., 9:2 (1992), 1–103
  75. Е. А. Кузнецов, “О солитонах в параметрически неустойчивой плазме”, Докл. АН СССР, 236:3 (1977), 575–577
  76. E. A. Kuznetsov, “Fermi–Pasta–Ulam recurrence and modulation instability”, Письма в ЖЭТФ, 105:2 (2017), 108–109
  77. B. M. Lake, H. C. Yuen, H. Rungaldier, W. E. Ferguson, “Nonlinear deep-water waves: theory and experiment. Part 2. Evolution of a continuous wave train”, J. Fluid Mech., 83:1 (1977), 49–74
  78. P. D. Lax, “Periodic solutions of the KdV equations”, Nonlinear wave motion (Clarkson Coll. Tech., Potsdam, NY, 1972), Lectures in Appl. Math., 15, Amer. Math. Soc., Providence, RI., 1974, 85–96
  79. Y. C. Ma, “The perturbed plane-wave solutions of the cubic Schrödinger equation”, Stud. Appl. Math., 60:1 (1979), 43–58
  80. В. А. Марченко, И. В. Островский, “Характеристика спектра оператора Хилла”, Матем. сб., 97(139):4(8) (1975), 540–606
  81. V. B. Matveev, M. A. Salle, Darboux transformations and solitons, Springer Ser. Nonlinear Dynam., Springer-Verlag, Berlin, 1991, x+120 pp.
  82. H. P. McKean, P. van Moerbeke, “The spectrum of Hill's equation”, Invent. Math., 30:3 (1975), 217–274
  83. Д. Мамфорд, Лекции о тета-функциях, Мир, М., 1988, 448 с.
  84. A. Mussot, C. Naveau, M. Conforti, A. Kudlinski, F. Copie, P. Szriftgiser, S. Trillo, “Fibre multiwave-mixing combs reveal the broken symmetry of Fermi–Pasta–Ulam recurrence”, Nature Photonics, 12:5 (2018), 303–308
  85. K. Narita, “Soliton solutions for discrete Hirota equation. II”, J. Phys. Soc. Japan, 60:5 (1991), 1497–1500
  86. С. П. Новиков, “Периодическая задача для уравнения Кортевега–де Фриза. I”, Функц. анализ и его прил., 8:3 (1974), 54–66
  87. M. Onorato, S. Residori, U. Bortolozzo, A. Montina, F. T. Arecchi, “Rogue waves and their generating mechanisms in different physical contexts”, Phys. Rep., 528:2 (2013), 47–89
  88. A. R. Osborne, M. Onorato, M. Serio, “The nonlinear dynamics of rogue waves and holes in deep-water gravity wave trains”, Phys. Lett. A, 275:5-6 (2000), 386–393
  89. D. H. Peregrine, “Water waves, nonlinear Schrödinger equations and their solutions”, J. Austral. Math. Soc. Ser. B, 25:1 (1983), 16–43
  90. D. Pierangeli, F. Di Mei, C. Conti, A. J. Agranat, E. DelRe, “Spatial rogue waves in photorefractive ferroelectrics”, Phys. Rev. Lett., 115:9 (2015), 093901
  91. D. Pierangeli, M. Flammini, L. Zhang, G. Marcucci, A. J. Agranat, P. G. Grinevich, P. M. Santini, C. Conti, E. DelRe, “Observation of Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou recurrence and its exact dynamics”, Phys. Rev. X, 8:4 (2018), 041017, 9 pp.
  92. L. Pitaevskii, S. Stringari, Bose–Einstein condensation, Internat. Ser. Monogr. Phys., 116, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, Oxford, 2003, x+382 pp.
  93. E. Previato, “Hyperelliptic quasi-periodic and soliton solutions of the nonlinear Schrödinger equation”, Duke Math. J., 52:2 (1985), 329–377
  94. L. Salasnich, A. Parola, L. Reatto, “Modulational instability and complex dynamics of confined matter-wave solitons”, Phys. Rev. Lett., 91:8 (2003), 080405
  95. P. M. Santini, “The periodic Cauchy problem for PT-symmetric NLS. I: The first appearance of rogue waves, regular behavior or blow up at finite times”, J. Phys. A, 51:49 (2018), 495207, 21 pp.
  96. P. M. Santini, Darboux-dressing and symmetry construction of classes of regular and singular solutions of the NLS and the PT-symmetric NLS equations over the constant background, preprint, 2018
  97. А. О. Смирнов, “Решение нелинейного уравнения Шредингера в виде двухфазных странных волн”, ТМФ, 173:1 (2012), 89–103
  98. D. R. Solli, C. Ropers, P. Koonath, B. Jalali, “Optical rogue waves”, Nature, 450:7172 (2007), 1054–1057
  99. Дж. Спрингер, Введение в теорию римановых поверхностей, ИЛ, М., 1960, 343 с.
  100. G. G. Stokes, “On the theory of oscillatory waves”, Trans. Cambridge Philos. Soc., 8 (1847), 441–455
  101. C. Sulem, P. L. Sulem, The nonlinear Schrödinger equation. Self-focusing and wave collapse, Appl. Math. Sci., 139, Springer-Verlag, New York, 1999, xvi+350 pp.
  102. T. R. Taha, X. Xu, “Parallel split-step Fourier methods for the coupled nonlinear Schrödinger type equations”, J. Supercomput., 32:1 (2005), 5–23
  103. T. Taniuti, H. Washimi, “Self-trapping and instability of hydromagnetic waves along the magnetic field in a cold plasma”, Phys. Rev. Lett., 21:4 (1968), 209–212
  104. A. Tikan, C. Billet, G. El, A. Tovbis, M. Bertola, T. Sylvestre, F. Gustave, S. Randoux, G. Genty, P. Suret, J. M. Dudley, “Universality of the Peregrine soliton in the focusing dynamics of the cubic nonlinear Schrödinger equation”, Phys. Rev. Lett., 119:3 (2017), 033901
  105. E. R. Tracy, H. H. Chen, “Nonlinear self-modulation: an exactly solvable model”, Phys. Rev. A (3), 37:3 (1988), 815–839
  106. M. P. Tulin, T. Waseda, “Laboratory observation of wave group evolution, including breaking effects”, J. Fluid Mech., 378:1 (1999), 197–232
  107. G. Van Simaeys, P. Emplit, M. Haelterman, “Experimental demonstration of the Fermi–Pasta–Ulam recurrence in a modulationally unstable optical wave”, Phys. Rev. Lett., 87:3 (2001), 033902
  108. J. A. C. Weideman, B. M. Herbst, “Split-step methods for the solution of the nonlinear Schrödinger equation”, SIAM J. Numer. Anal., 23:3 (1986), 485–507
  109. H. C. Yuen, W. E. Ferguson, Jr., “Relationship between Benjamin–Feir instability and recurrence in the nonlinear Schrödinger equation”, Phys. Fluids, 21 (1978), 1275–1278
  110. H. C. Yuen, B. M. Lake, “Nonlinear dynamics of deep-water gravity waves”, Adv. in Appl. Mech., 22 (1982), 67–229
  111. В. Е. Захаров, “Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости”, ПМТФ, 9:2 (1968), 86–94
  112. V. E. Zakharov, A. A. Gelash, Soliton on unstable condensate, 2011, 4 pp.
  113. V. E. Zakharov, A. A. Gelash, “Nonlinear stage of modulation instability”, Phys. Rev. Lett., 111:5 (2013), 054101
  114. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, “Построение многомерных нелинейных интегрируемых систем и их решений”, Функц. анализ и его прил., 19:2 (1985), 11–25
  115. В. Е. Захаров, А. В. Михайлов, “Релятивистски-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи”, ЖЭТФ, 74:6 (1978), 1953–1973
  116. V. E. Zakharov, L. A. Ostrovsky, “Modulation instability: the beginning”, Phys. D, 238:5 (2009), 540–548
  117. В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, “Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах”, ЖЭТФ, 61:1 (1972), 118–134
  118. В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, “Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I”, Функц. анализ и его прил., 8:3 (1974), 43–53

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Grinevich P.G., Santini P.M.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».