Examples of solution of the inverse scattering problem and the equations of the Novikov–Veselov hierarchy from the scattering data of point potentials
- Authors: Agal'tsov A.D.1, Novikov R.G.2,3
-
Affiliations:
- Max Planck Institute for Solar System Research
- Institute of Earthquake Prediction Theory and Mathematical Geophysics RAS
- École Polytechnique, Centre de Mathématiques Appliquées
- Issue: Vol 74, No 3 (2019)
- Pages: 3-16
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/0042-1316/article/view/133555
- DOI: https://doi.org/10.4213/rm9867
- ID: 133555
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
The inverse scattering problem is considered for the two-dimensional Schrödinger equation at fixed positive energy. The results include inverse scattering reconstructions from the simplest scattering amplitudes. In particular, a complete analytic solution is given of the phased and phaseless inverse scattering problems for single-point potentials of Bethe–Peierls–Fermi–Zeldovich–Berezin–Faddeev type. Numerical inverse scattering reconstructions from the simplest scattering amplitudes are then studied using the method of the Riemann–Hilbert–Manakov problem in soliton theory. Finally, these numerical inverse scattering results are used to construct corresponding numerical solutions of the non-linear equations of the Novikov–Veselov hierarchy at fixed positive energy.Bibliography: 21 titles.
About the authors
Aleksey Dmitrievich Agal'tsov
Max Planck Institute for Solar System Research
Email: agaltsov@mps.mpg.de
Roman Gennadievich Novikov
Institute of Earthquake Prediction Theory and Mathematical Geophysics RAS; École Polytechnique, Centre de Mathématiques Appliquées
Email: roman.novikov@polytechnique.edu
Doctor of physico-mathematical sciences
References
- R. G. Novikov, “The inverse scattering problem on a fixed energy level for the two-dimensional Schrödinger operator”, J. Funct. Anal., 103:2 (1992), 409–463
- П. Г. Гриневич, “Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шрeдингера с убывающим на бесконечности потенциалом при фиксированной ненулевой энергии”, УМН, 55:6(336) (2000), 3–70
- P. G. Grinevich, R. G. Novikov, “Faddeev eigenfunctions of multipoint potentials”, Eurasian J. Math. Computer Appl., 1:2 (2013), 76–91
- R. G. Novikov, “Inverse scattering without phase information”, Seminaire Laurent Schwartz – Equations aux derivees partielles et applications. Annee 2014–2015, Ed. Ec. Polytech., Palaiseau, 2016, Exp. No. XVI, 13 pp.
- А. П. Веселов, С. П. Новиков, “Конечнозонные двумерные потенциальные операторы Шредингера. Явные формулы и эволюционные уравнения”, Докл. АН СССР, 279:1 (1984), 20–24
- А. П. Веселов, С. П. Новиков, “Конечнозонные двумерные операторы Шредингера. Потенциальные операторы”, Докл. АН СССР, 279:4 (1984), 784–788
- С. В. Манаков, “Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения”, УМН, 31:5(191) (1976), 245–246
- В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачи, Наука, М., 1980, 320 с.
- Р. Г. Новиков, “Построение двумерного оператора Шредингера с данной амплитудой рассеяния при фиксированной энергии”, ТМФ, 66:2 (1986), 234–240
- P. G. Grinevich, R. G. Novikov, “Transparent potentials at fixed energy in dimension two. Fixed energy dispersion relations for the fast decaying potentials”, Comm. Math. Phys., 174:2 (1995), 409–446
- Р. Г. Новиков, “Приближенное решение обратной задачи квантовой теории рассеяния при фиксированной энергии в размерности 2”, Солитоны, геометрия, топология — на перекрестках, Сборник статей. К 60-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Тр. МИАН, 225, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 1999, 301–318
- S. V. Manakov, “The inverse scattering transform for the time dependent Schrödinger equation and Kadomtsev–Petviashvili equation”, Phys. D, 3:1-2 (1981), 420–427
- Л. Д. Фаддеев, “Обратная задача квантовой теории рассеяния. II”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем., 3, ВИНИТИ, М., 1974, 93–180
- П. Г. Гриневич, Р. Г. Новиков, “Аналоги многосолитонных потенциалов для двумерного оператора Шредингера и нелокальная задача Римана”, Докл. АН СССР, 286:1 (1986), 19–22
- В. А. Буров, Н. В. Алексеенко, О. Д. Румянцева, “Многочастотное обобщение алгоритма Новикова для решения обратной двумерной задачи рассеивания”, Акустич. журн., 55:6 (2009), 784–798
- В. А. Буров, С. А. Морозов, “Связь между амплитудой и фазой сигнала, рассеянного ‘точечной’ акустической неоднородностью”, Акустич. журн., 47:6 (2001), 751–756
- Н. Р. Бадалян, В. А. Буров, С. А. Морозов, О. Д. Румянцева, “Рассеяние на акустических граничных рассеивателях с малыми волновыми размерами и их восстановление”, Акустич. журн., 55:1 (2009), 3–10
- A. D. Agaltsov, R. G. Novikov, Simplest examples of inverse scattering on the plane at fixed energy, 2017, 14 pp.
- С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хеэг-Крон, X. Хольден, Решаемые модели в квантовой механике, Мир, М., 1991, 568 с.
- P. G. Grinevich, R. G. Novikov, “Faddeev eigenfunctions for point potentials in two dimensions”, Phys. Lett. A, 376:12-13 (2012), 1102–1106
- R. G. Novikov, “Inverse scattering for the Bethe–Peierls model”, Eurasian J. Math. Computer Appl., 6:1 (2018), 52–55
Supplementary files
