Conway topograph, $\mathrm{PGL}_2(\pmb{\mathbb Z})$-dynamics and two-valued groups

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Conway's topographic approach to binary quadratic forms and Markov triples is reviewed from the point of view of the theory of two-valued groups. This leads naturally to a new class of commutative two-valued groups, which we call involutive. It is shown that the two-valued group of Conway's lax vectors plays a special role in this class. The group $\mathrm{PGL}_2(\mathbb Z)$ describing the symmetries of the Conway topograph acts by automorphisms of this two-valued group. Binary quadratic forms are interpreted as primitive elements of the Hopf 2-algebra of functions on the Conway group. This fact is used to construct an explicit embedding of the Conway two-valued group into $\mathbb R$ and thus to introduce a total group ordering on it. The two-valued algebraic involutive groups with symmetric multiplication law are classified, and it is shown that they are all obtained by the coset construction from the addition law on elliptic curves. In particular, this explains the special role of Mordell's modification of the Markov equation and reveals its connection with two-valued groups in $K$-theory. The survey concludes with a discussion of the role of two-valued groups and the group $\mathrm{PGL}_2(\mathbb Z)$ in the context of integrability in multivalued dynamics.Bibliography: 104 titles.

About the authors

Victor Matveevich Buchstaber

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: buchstab@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Aleksandr Petrovich Veselov

Lomonosov Moscow State University; Loughborough University

Email: A.P.Veselov@lboro.ac.uk
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. N. H. Abel, “Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Grössen $x$ und $y$, wie $f(x, y)$, welche die Eigenschaft haben, dass $f(z, f(x, y))$ eine symmetrische Function von $z$, $x$ und $y$ ist”, J. Reine Angew. Math., 1826:1 (1826), 11–15
  2. M. Aigner, Markov's theorem and 100 years of the uniqueness conjecture. A mathematical journey from irrational numbers to perfect matchings, Springer, Cham, 2013, x+257 pp.
  3. M. Akhtar, T. Coates, S. Galkin, A. M. Kasprzyk, “Minkowski polynomials and mutations”, SIGMA, 8 (2012), 094, 17 pp.
  4. M. E. Akhtar, A. M. Kasprzyk, “Mutations of fake weighted projective planes”, Proc. Edinb. Math. Soc. (2), 59:2 (2016), 271–285
  5. A. Baragar, “Rational points on K3 surfaces in $mathbb P^1times mathbb P^1times mathbb P^1$”, Math. Ann., 305 (1996), 541–558
  6. А. Бердон, Геометрия дискретных групп, Наука, М., 1986, 301 с.
  7. J. H. Bruinier, G. van der Geer, G. Harder, D. Zagier, The 1-2-3 of modular forms, Lectures at a summer school in Nordfjordeid, Norway (Nordfjordeid, 2004), Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 2008, x+266 pp.
  8. J. Bourgain, A. Gamburd, P. Sarnak, Markoff surfaces and strong approximation: 1, 2016, 24 pp.
  9. В. М. Бухштабер, “Двузначные формальные группы. Некоторые приложения к кобордизмам”, УМН, 26:3(159) (1971), 195–196
  10. В. М. Бухштабер, “Классификация двузначных формальных групп”, УМН, 28:3(171) (1973), 173–174
  11. В. М. Бухштабер, “Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и приложения к кобордизмам. I”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:5 (1975), 1044–1064
  12. В. М. Бухштабер, “Характеристические классы в кобордизмах и топологические приложения теорий однозначных и двузначных формальных групп”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем., 10, ВИНИТИ, М., 1978, 5–178
  13. В. М. Бухштабер, “Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы”, УМН, 45:3(273) (1990), 185–186
  14. В. М. Бухштабер, “Отображения Янга–Бакстера”, УМН, 53:6(324) (1998), 241–242
  15. V. M. Buchstaber, “$n$-valued groups: theory and applications”, Mosc. Math. J., 6:1 (2006), 57–84
  16. V. M. Buchstaber, V. I. Dragovic, “Two-valued groups, Kummer varieties, and integrable billiards”, Arnold Math. J., 4:1 (2018), 27–57
  17. В. М. Бухштабер, А. Н. Холодов, “Топологические конструкции, связанные с многозначными формальными группами”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:1 (1982), 3–27
  18. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, “Законы сложения на якобианах плоских алгебраических кривых”, Нелинейная динамика, Сборник статей, Тр. МИАН, 251, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2005, 54–126
  19. В. М. Бухштабер, А. С. Мищенко, С. П. Новиков, “Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической топологии”, УМН, 26:2(158) (1971), 131–154
  20. В. М. Бухштабер, С. П. Новиков, “Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса”, Матем. сб., 84(126):1 (1971), 81–118
  21. V. M. Buchstaber, T. E. Panov, Toric topology, Math. Surveys Monogr., 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, xiv+518 pp.
  22. В. М. Бухштабер, Е. Г. Рис, “Многозначные группы и $n$-алгебры Хопфа”, УМН, 51:4(310) (1996), 149–150
  23. V. M. Buchstaber, E. G. Rees, “Multivalued groups, their representations and Hopf algebras”, Transform. Groups, 2:4 (1997), 325–349
  24. V. M. Buchstaber, E. G. Rees, “Multivalued groups, $n$-Hopf algebras and $n$-ring homomorphisms”, Lie groups and Lie algebras, Math. Appl., 433, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998, 85–107
  25. В. М. Бухштабер, Э. Г. Рис, “Кольца непрерывных функций, симметрические произведения и алгебры Фробениуса”, УМН, 59:1(355) (2004), 125–144
  26. В. М. Бухштабер, А. М. Вершик, С. А. Евдокимов, И. Н. Пономаренко, “Комбинаторные алгебры и многозначные инволютивные группы”, Функц. анализ и его прил., 30:3 (1996), 12–18
  27. V. M. Buchstaber, A. P. Veselov, “Integrable correspondences and algebraic representations of multivalued groups”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 1996:8 (1996), 381–400
  28. S. Cantat, F. Loray, “Dynamics on character varieties and Malgrange irreducibility of Painleve VI equation”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 59:7 (2009), 2927–2978
  29. A. Cayley, “A memoir on cubic surfaces”, Philos. Trans. Royal Soc. London, 159 (1869), 231–326
  30. A. Clay, D. Rolfsen, Ordered groups and topology, Grad. Stud. Math., 176, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2016, x+154 pp.
  31. H. Cohn, “Approach to Markoff's minimal forms through modular functions”, Ann. of Math. (2), 61 (1955), 1–12
  32. Дж. Конвей, Квадратичные формы, данные нам в ощущениях, МЦНМО, М., 2008, 144 с.
  33. T. W. Cusick, M. E. Flahive, The Markoff and Lagrange spectra, Math. Surveys Monogr., 30, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1989, x+97 pp.
  34. G. Darboux, Principes de geometrie analytique, Gauthier-Villars, Paris, 1917, vi+520 pp.
  35. Б. Н. Делоне, Петербургская школа теории чисел, Изд-во АН СССР, М.–Л., 1947, 421 с.
  36. J. Delsarte, “Hypergroupes et operateurs de permutation et de transmutation”, La theorie des equations aux derivees partielles (Nancy, 1956), Colloques Internationaux du Centre National de la Recherche Scientifique, 71, CNRS, Paris, 1956, 29–45
  37. V. G. Drinfeld, “On some unsolved problems in quantum group theory”, Quantum groups (Leningrad, 1990), Lecture Notes in Math., 1510, Springer, Berlin, 1992, 1–8
  38. B. Dubrovin, “Geometry of 2D topological field theories”, Integrable systems and quantum groups (Montecatini Terme, 1993), Lecture Notes in Math., 1620, Fond. CIME/CIME Found. Subser., Springer, Berlin, 1996, 120–348
  39. М. Х. Эль-Хути, “Кубические поверхности марковского типа”, Матем. сб., 93(135):3 (1974), 331–346
  40. A. Eremenko, A. Gabrielov, A. Hinkkanen, “Exceptional solutions to the Painleve VI equation”, J. Math. Phys., 58:1 (2017), 012701, 8 pp.
  41. A. Felikson and P. Tumarkin, “Geometry of mutation classes of rank 3 quivers”, Arnold Math. J., 5:1 (2019), 37–55
  42. V. V. Fock, Dual Teichmüller spaces, 1998 (v1 – 1997), 32 pp.
  43. R. Fricke, “Ueber die Theorie der automorphen Modulgruppen”, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1896 (1896), 91–101
  44. G. Frobenius, “Über Gruppencharachtere”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1896 (1896), 985–1021
  45. F. G. Frobenius, “Über die Markoffschen Zahlen”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1913 (1913), 458–487
  46. А. А. Гайфуллин, “Изгибаемые кросс-политопы в пространствах постоянной кривизны”, Алгебраическая топология, выпуклые многогранники и смежные вопросы, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Виктора Матвеевича Бухштабера, Тр. МИАН, 286, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2014, 88–128
  47. W. M. Goldman, “The modular group action on real $SL(2)$-characters of a one-holed torus”, Geom. Topol., 7 (2003), 443–486
  48. Д. С. Горшков, Геометрия Лобачевского в связи с некоторыми вопросами арифметики, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, ЛГУ, Л., 1953, 71 с.
  49. Д. С. Горшков, “Геометрии Лобачевского в связи с некоторыми вопросами арифметики”, Исследования по теории чисел. 4, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 67, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1977, 39–85
  50. П. Г. Гриневич, С. П. Новиков, “Струнное уравнение – II. Физическое решение”, Алгебра и анализ, 6:3 (1994), 118–140
  51. A. Haas, “Diophantine approximation on hyperbolic Riemann surfaces”, Acta Math., 156 (1986), 33–82
  52. P. Hacking, Y. Prokhorov, “Smoothable del Pezzo surfaces with quotient singularities”, Compos. Math., 146:1 (2010), 169–192
  53. R. G. Halburd, “Diophantine integrability”, J. Phys. A, 38:16 (2005), L263–L269
  54. A. Hatcher, Topology of numbers, 2019 (v1 – 2017), 211 pp.,par
  55. A. Hanany, Y.-H. He, C. Sun, S. Sypsas, “Superconformal block quivers, duality trees and Diophantine equations”, J. High Energy Phys., 2013, no. 11, 017, 41 pp.
  56. F. Hirzebruch, “The signature theorem: reminiscences and recreation”, Prospects in mathematics (Princeton Univ., Princeton, NJ, 1970), Ann. of Math. Studies, 70, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971, 3–31
  57. A. N. W. Hone, “Diophantine non-integrability of a third-order recurrence with the Laurent property”, J. Phys. A, 39:12 (2006), L171–L177
  58. A. Hurwitz, “Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche”, Math. Ann., 39:2 (1891), 279–284
  59. K. Iwasaki, “A modular group action on cubic surfaces and the monodromy of the Painleve VI equation”, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 78:7 (2002), 131–135
  60. K. Iwasaki, T. Uehara, “An ergodic study of Painleve VI”, Math. Ann., 338:2 (2007), 295–345
  61. I. V. Izmestiev, Deformation of quadrilaterals and addition on elliptic curves, 2015, 39 pp.
  62. I. Izmestiev, “Classification of flexible Kokotsakis polyhedra with quadrangular base”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2017:3 (2017), 715–808
  63. Б. В. Карпов, Д. Ю. Ногин, “Трехблочные исключительные наборы на поверхностях дель Пеццо”, Изв. РАН. Сер. матем., 62:3 (1998), 3–38
  64. А. Н. Холодов, “Алгебраическая теория многозначных формальных групп”, Матем. сб., 114(156):2 (1981), 299–321
  65. А. Н. Холодов, “Многомерные двузначные коммутативные формальные группы”, УМН, 43:1(259) (1988), 213–214
  66. F. Klein, Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie I, Vorlesung, gehalten im Wintersemester 1895/96, Göttingen, 1896, v+391 pp.
  67. M. Kontsevich, Yu. Manin, “Gromov–Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry”, Comm. Math. Phys., 164:3 (1994), 525–562
  68. И. М. Кричевер, “Эллиптические решения уравнения Кадомцева–Петвиашвили и интегрируемые системы частиц”, Функц. анализ и его прил., 14:4 (1980), 45–54
  69. Б. М. Левитан, Теория операторов обобщенного сдвига, Наука, М., 1973, 312 с.
  70. O. Lisovyy, Y. Tykhyy, “Algebraic solutions of the sixth Painleve equation”, J. Geom. Phys., 85 (2014), 124–163
  71. Г. Л. Литвинов, “Гипергруппы и гипергрупповые алгебры”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Нов. достиж., 26, ВИНИТИ, М., 1985, 57–106
  72. А. В. Малышев, “Спектры Маркова и Лагранжа (обзор литературы)”, Исследования по теории чисел. 4, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 67, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1977, 5–38
  73. Yu. I. Manin, “Sixth Painleve equation, universal elliptic curve, and mirror of $mathbf P^2$”, Geometry of differential equations, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 186, Adv. Math. Sci., 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, 131–151
  74. A. Markoff, “Sur les formes quadratiques binaires indefinies”, Math. Ann., 15:3-4 (1879), 381–406
  75. S. Milea, C. D. Shelley, M. H. Weissman, “Arithmetic of arithmetic Coxeter groups”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 116:2 (2019), 442–449
  76. L. J. Mordell, “On the integer solutions of the equation $x^2+y^2+z^2+2xyz=n$”, J. London Math. Soc., 28:4 (1953), 500–510
  77. Д. Мамфорд, Лекции о тета-функциях, Мир, М., 1988, 448 с.
  78. С. П. Новиков, “Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 31:4 (1967), 855–951
  79. T. Panov, Ya. Veryovkin, “On the commutator subgroup of a right-angled Artin group”, J. Algebra, 521 (2019), 284–298
  80. U. Rehmann, E. Vinberg, “On a phenomenon discovered by Heinz Helling”, Transform. Groups, 22:1 (2017), 259–265
  81. K. H. Rosen, Elementary number theory and its applications, 3rd ed., Addison-Wesley Publ. Co., Reading, MA, 1993, xvi+547 pp.
  82. А. Н. Рудаков, “Числа Маркова и исключительные расслоения на $mathbf P^2$”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 52:1 (1988), 100–112
  83. А. Н. Рудаков, “Исключительные векторные расслоения на квадрике”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 52:4 (1988), 788–812
  84. E. Selling, “Ueber die binären und ternären quadratischen Formen”, J. Reine Angew. Math., 1874:77 (1874), 143–229
  85. C. Series, “The geometry of Markoff numbers”, The Math. Intelligencer, 7:3 (1985), 20–29
  86. J. H. Silverman, The arithmetic of dynamical systems, Grad. Texts in Math., 241, Springer, New York, 2007, x+511 pp.
  87. A. Skorobogatov, P. Swinnerton-Dyer, “$2$-descent on elliptic curves and rational points on certain Kummer surfaces”, Adv. Math., 198:2 (2005), 448–483
  88. A. Sorrentino and A. P. Veselov, “Markov numbers, Mather's $beta$-function and stable norm”, Nonlinearity, 32:6 (2019), 2147–2156
  89. K. Spalding, A. P. Veselov, “Lyapunov spectrum of Markov and Euclid trees”, Nonlinearity, 30:12 (2017), 4428–4453
  90. K. Spalding, A. P. Veselov, “Growth of values of binary quadratic forms and Conway rivers”, Bull. Lond. Math. Soc., 50:3 (2018), 513–528
  91. K. Spalding, A. P. Veselov, “Conway river and Arnold sail”, Arnold Math. J., 4:2 (2018), 169–177
  92. K. Spalding, A. P. Veselov, “Tropical Markov dynamics and Cayley cubic”, Integrable systems and algebraic geometry, LMS Lecture Notes Series, eds. R. Donagi, T. Shaska, Cambridge Univ. Press, Cambridge (to appear)
  93. B. Springborn, “The hyperbolic geometry of Markov's theorem on Diophantine approximation and quadratic forms”, Enseign. Math., 63:3-4 (2017), 333–373
  94. А. П. Веселов, “Интегрируемые отображения и алгебры Ли”, Докл. АН СССР, 292:6 (1987), 1289–1291
  95. A. P. Veselov, “What is an integrable mapping?”, What is integrability?, Springer Ser. Nonlinear Dynam., Springer, Berlin, 1991, 251–272
  96. А. П. Веселов, “Интегрируемые отображения”, УМН, 46:5(281) (1991), 3–45
  97. A. P. Veselov, “Growth and integrability in the dynamics of mappings”, Comm. Math. Phys., 145:1 (1992), 181–193
  98. A. Veselov, “Yang–Baxter maps: dynamical point of view”, Combinatorial aspect of integrable systems, MSJ Mem., 17, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2007, 145–167
  99. A. Veselov, Yang–Baxter and braid dynamics, Talk at GADUDIS conference (Glasgow, April 1, 2009),par
  100. C. Vinzant, “What is …a spectrahedron?”, Notices Amer. Math. Soc., 61:5 (2014), 492–494
  101. H. Watanabe, “Birational canonical transformations and classical solutions of the sixth Painleve equation”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 27:3-4 (1998), 379–425
  102. M. H. Weissman, An illustrated theory of numbers, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2017, xv+323 pp.
  103. Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон, Курс современного анализа, т. 1, 2, 2-е изд., Физматгиз, М., 1963, 343 с., 516 с.
  104. D. Zagier, “On the number of Markoff numbers below a given bound”, Math. Comp., 39:160 (1982), 709–723

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Buchstaber V.M., Veselov A.P.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».