$SU$-bordism: structure results and geometric representatives

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The first part of this survey gives a modernised exposition of the structure of the special unitary bordism ring, by combining the classical geometric methods of Conner–Floyd, Wall, and Stong with the Adams–Novikov spectral sequence and formal group law techniques that emerged after the fundamental 1967 paper of Novikov. In the second part toric topology is used to describe geometric representatives in $SU$-bordism classes, including toric, quasi-toric, and Calabi–Yau manifolds.Bibliography: 56 titles.

About the authors

Ivan Yur'evich Limonchenko

HSE University

Email: iylim@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences

Taras Evgenievich Panov

Lomonosov Moscow State University; State Scientific Center of the Russian Federation - Institute for Theoretical and Experimental Physics; Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute)

Email: tpanov@mech.math.msu.su
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

George Sergeevich Chernykh

Lomonosov Moscow State University

without scientific degree, no status

References

  1. R. Altman, J. Gray, Y.-H. He, V. Jejjala, B. D. Nelson, “A Calabi–Yau database: threefolds constructed from the Kreuzer–Skarke list”, J. High Energy Phys., 2015:2 (2015), 158, front matter+48 pp.
  2. D. W. Anderson, E. H. Brown, Jr., F. P. Peterson, “$mathrm{SU}$-cobordism, $mathrm{KO}$-characteristic numbers, and the Kervaire invariant”, Ann. of Math. (2), 83:1 (1966), 54–67
  3. M. F. Atiyah, “Bordism and cobordism”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 57 (1961), 200–208
  4. Б. Г. Авербух, “Алгебраическое строение групп внутренних гомологии”, Докл. АН СССР, 125:1 (1959), 11–14
  5. N. A. Baas, “On the convergence of the Adams spectral sequences”, Math. Scand., 27 (1970), 145–150
  6. V. V. Batyrev, “Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi–Yau hypersurfaces in toric varieties”, J. Algebraic Geom., 3:3 (1994), 493–535
  7. A. Borel, F. Hirzebruch, “Characteristic classes and homogeneous spaces. I”, Amer. J. Math., 80 (1958), 458–538
  8. Б. И. Ботвинник, “Структура кольца $MSU_*$”, Матем. сб., 181:4 (1990), 540–555
  9. B. I. Botvinnik, Manifolds with singularities and the Adams–Novikov spectral sequence, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 170, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992, xvi+181 pp.
  10. Б. И. Ботвинник, В. М. Бухштабер, С. П. Новиков, С. А. Юзвинский, “Алгебраические аспекты теории умножений в комплексных кобордизмах”, УМН, 55:4(334) (2000), 5–24
  11. В. М. Бухштабер, “Проекторы в унитарных кобордизмах, связанные с $SU$-теорией”, УМН, 27:6(168) (1972), 231–232
  12. В. М. Бухштабер, “Кобордизмы в задачах алгебраической топологии”, Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 13, ВИНИТИ, М., 1975, 231–271
  13. В. М. Бухштабер, “Комплексные кобордизмы и формальные группы”, УМН, 67:5(407) (2012), 111–174
  14. В. М. Бухштабер, “Кобордизмы, многообразия с действием тора и функциональные уравнения”, Топология и физика, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Тр. МИАН, 302, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2018, 57–97
  15. V. M. Buchstaber, T. E. Panov, Toric topology, Math. Surveys Monogr., 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, xiv+518 pp.
  16. V. M. Buchstaber, T. E. Panov, N. Ray, “Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds”, Mosc. Math. J., 7:2 (2007), 219–242
  17. V. Buchstaber, T. Panov, N. Ray, “Toric genera”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2010:16 (2010), 3207–3262
  18. В. М. Бухштабер, Н. Рай, “Торические многообразия и комплексные кобордизмы”, УМН, 53:2(320) (1998), 139–140
  19. В. М. Бухштабер, А. В. Устинов, “Кольца коэффициентов формальных групп”, Матем. сб., 206:11 (2015), 19–60
  20. C. Chiara, A. Garbagnati, G. Mongardi, “Calabi–Yau quotients of hyperkähler four-folds”, Canad. J. Math., 71:1 (2019), 45–92
  21. П. Коннер, Э. Флойд, Гладкие периодические отображения, Мир, М., 1969, 340 с.
  22. P. E. Conner, E. E. Floyd, Torsion in $mathrm{SU}$-bordism, Mem. Amer. Math. Soc., 60, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1966, 74 pp.
  23. D. A. Cox, J. B. Little, H. K. Schenck, Toric varieties, Grad. Stud. Math., 124, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, xxiv+841 pp.
  24. В. И. Данилов, “Геометрия торических многообразий”, УМН, 33:2(200) (1978), 85–134
  25. M. W. Davis, T. Januszkiewicz, “Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions”, Duke Math. J., 62:2 (1991), 417–451
  26. W. Fulton, Introduction to toric varieties, The W. H. Roever lectures in geometry, Ann. of Math. Stud., 131, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993, xii+157 pp.
  27. Ф. Хирцебрух, Топологические методы в алгебраической геометрии, Мир, М., 1973, 280 с.
  28. M. Kreuzer, H. Skarke, Calabi–Yau data
  29. P. S. Landweber, “Cobordism operations and Hopf algebras”, Trans. Amer. Math. Soc., 129 (1967), 94–110
  30. И. Ю. Лимонченко, Ж. Лю, Т. Е. Панов, “Гиперповерхности Калаби–Яу и $mathrm{SU}$-бордизмы”, Топология и физика, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Тр. МИАН, 302, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2018, 287–295
  31. Z. Lü, T. Panov, “On toric generators in the unitary and special unitary bordism rings”, Algebr. Geom. Topol., 16:5 (2016), 2865–2893
  32. Z. Lü, W. Wang, “Examples of quasitoric manifolds as special unitary manifolds”, Math. Res. Lett., 23:5 (2016), 1453–1468
  33. J. Milnor, “On the cobordism ring $Omega^{ast}$ and a complex analogue. I”, Amer. J. Math., 82:3 (1960), 505–521
  34. О. К. Миронов, “Существование мультипликативных структур в теориях кобордизмов с особенностями”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:5 (1975), 1065–1092
  35. А. С. Мищенко, “О спектральных последовательностях типа Адамса”, Матем. заметки, 1:3 (1967), 339–346
  36. J. E. Mosley, The greatest common divisor of multinomial coefficients, 2015 (v1 – 2014), 4 pp.
  37. J. E. Mosley, In search of a class of representatives for $SU$-cobordism using the Witten genus, Ph. D. Thesis, Univ. of Kentucky, 2016, iii+44 pp.
  38. С. П. Новиков, “О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома”, Докл. АН СССР, 132:5 (1960), 1031–1034
  39. С. П. Новиков, “Гомотопические свойства комплексов Тома”, Матем. сб., 57(99):4 (1962), 407–442
  40. S. P. Novikov, “Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 31:4 (1967), 855–951
  41. T. Oda, Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to the theory of toric varieties, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 15, Springer-Verlag, Berlin, 1988, viii+212 pp.
  42. С. Д. Ошанин, “Сигнатура $SU$-многообразий”, Матем. заметки, 13:1 (1973), 97–102
  43. Л. С. Понтрягин, “Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий”, Тр. МИАН СССР, 45, 1955, 3–139
  44. D. Quillen, “Elementary proofs of some results of cobordism theory using Steenrod operations”, Adv. in Math., 7:1 (1971), 29–56
  45. D. C. Ravenel, Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres, Pure Appl. Math., 121, Academic Press Inc., Orlando, FL, 1986, xx+413 pp.
  46. В. А. Рохлин, “Новые результаты теории четырехмерных многообразий”, Докл. АН СССР, 84:3 (1952), 221–224
  47. В. А. Рохлин, “Теория внутренних гомологий”, УМН, 14:4(88) (1959), 3–20
  48. Yu. B. Rudyak, On Thom spectra, orientability, and cobordism, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, Berlin, 1998, xii+587 pp.
  49. Г. Д. Соломадин, Ю. М. Устиновский, “Проективные торические полиномиальные образующие в кольце комплексных кобордизмов”, Матем. сб., 207:11 (2016), 127–152
  50. Р. Стонг, Заметки по теории кобордизмов, Мир, М., 1973, 372 с.
  51. Р. Том, “Некоторые свойства ‘в целом’ дифференцируемых многообразий”, Расслоенные пространства и их приложения, ИЛ, М., 1958, 293–351
  52. V. V. Vershinin, Cobordisms and spectral sequences, Transl. Math. Monogr., 130, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993, vi+97 pp.
  53. C. T. C. Wall, “Determination of the cobordism ring”, Ann. of Math. (2), 72:2 (1960), 292–311
  54. C. T. C. Wall, “Addendum to a paper of Conner and Floyd”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 62:2 (1966), 171–175
  55. A. Wilfong, “Smooth projective toric variety representatives in complex cobordism”, Алгебраическая топология, выпуклые многогранники и смежные вопросы, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Виктора Матвеевича Бухштабера, Тр. МИАН, 286, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2014, 347–367
  56. A. Wilfong, “Toric polynomial generators of complex cobordism”, Algebr. Geom. Topol., 16:3 (2016), 1473–1491

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Limonchenko I.Y., Panov T.E., Chernykh G.S.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».