Quadratic conservation laws for equations of mathematical physics

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Linear systems of differential equations in a Hilbert space are considered that admit a positive-definite quadratic form as a first integral. The following three closely related questions are the focus of interest in this paper: the existence of other quadratic integrals, the Hamiltonian property of a linear system, and the complete integrability of such a system. For non-degenerate linear systems in a finite-dimensional space essentially exhaustive answers to all these questions are known. Results of a general nature are applied to linear evolution equations of mathematical physics: the wave equation, the Liouville equation, and the Maxwell and Schrödinger equations.Bibliography: 60 titles.

About the authors

Valery Vasil'evich Kozlov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: kozlov@pran.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Л. В. Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, Наука, М., 1978, 399 с.
  2. П. Олвер, Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Мир, М., 1989, 639 с.
  3. V. V. Kozlov, “Linear Hamiltonian systems: quadratic integrals, singular subspaces and stability”, Regul. Chaotic Dyn., 23:1 (2018), 26–46
  4. В. М. Лахаданов, “О стабилизации потенциальных систем”, ПММ, 39:1 (1975), 53–58
  5. Р. М. Булатович, “Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем в случаях, когда потенциальная энергия имеет максимум”, ПММ, 61:3 (1997), 385–389
  6. В. В. Козлов, “О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями”, ПММ, 61:3 (1997), 390–397
  7. С. Ю. Доброхотов, С. Я. Секерж-Зенькович, “Один класс точных алгебраических локализованных решений многомерного волнового уравнения”, Матем. заметки, 88:6 (2010), 942–945
  8. В. В. Козлов, “Линейные системы с квадратичным интегралом”, ПММ, 56:6 (1992), 900–906
  9. A. Wintner, “On the linear conservative dynamical systems”, Ann. Mat. Pura Appl., 13:1 (1934), 105–112
  10. J. Williamson, “On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical systems”, Amer. J. Math., 58:1 (1936), 141–163
  11. J. Williamson, “An algebraic problem involving the involutory integrals of linear dynamical systems”, Amer. J. Math., 62 (1940), 881–911
  12. H. Koçak, “Linear Hamiltonian systems are integrable with quadratics”, J. Math. Phys., 23:12 (1982), 2375–2380
  13. А. Б. Жеглов, Д. В. Осипов, “О первых интегралах линейных гамильтоновых систем”, Докл. РАН, 483:5 (2018), 482–484
  14. А. Б. Жеглов, Д. В. Осипов, “Пары Лакса для линейных гамильтоновых систем”, Сиб. матем. журн., 60:4 (2019), 760–776
  15. В. В. Козлов, “Мультигамильтоновость линейной системы с квадратичным инвариантом”, Алгебра и анализ, 30:5 (2018), 159–168
  16. Д. В. Трещeв, А. А. Шкаликов, “О гамильтоновости линейных динамических систем в гильбертовом пространстве”, Матем. заметки, 101:6 (2017), 911–918
  17. P. A. M. Dirac, “Generalized Hamiltonian dynamics”, Canad. J. Math., 2 (1950), 129–148
  18. В. В. Козлов, Общая теория вихрей, 2-е испр. и доп. изд., Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2013, 324 с.
  19. М. А. Шубин, Лекции об уравнениях математической физики, МЦНМО, М., 2003, 303 с.
  20. В. Н. Гребенев, С. Б. Медведев, “Гамильтонова структура для двумерных линейных уравнений теории упругости”, Вычислительные технологии, 20:5 (2015), 53–64
  21. А. Зоммерфельд, Электродинамика, ИЛ, М., 1958, 501 с.
  22. В. В. Козлов, “Линейные системы с квадратичным интегралом и полная интегрируемость уравнения Шрeдингера”, УМН, 74:5(449) (2019), 189–190
  23. В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, Действительный и функциональный анализ: университетский курс, 2-е испр. и доп. изд., НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2011, 728 с.
  24. Н. Бурбаки, Функции действительного переменного, Элементы математики, Наука, М., 1965, 424 с.
  25. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы, т. I, Общая теория, ИЛ, М., 1962, 895 с.
  26. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, 2-е изд., перераб. и доп., Едиториал УРСС, М., 2002, 416 с.
  27. J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces, v. I, Ergeb. Math. Grenzgeb., 92, Sequence spaces, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1977, xiii+188 pp.
  28. М. Г. Крейн, Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Ин-т матем. АН Укр. ССР, Киев, 1964, 186 с.
  29. У. Томсон, П. Г. Тэт, Трактат по натуральной философии, т. I, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2010, 572 с.
  30. Л. Кейперс, Г. Нидеррейтер, Равномерное распределение последовательностей, Наука, М., 1985, 408 с.
  31. В. С. Владимиров, Уравнения математической фиэики, 5-е изд., Наука, М., 1988, 512 с.
  32. В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Релятивистская квантовая теория, Ч. 1, Теоретическая физика, IV(1), Наука, М., 1968, 480 с.
  33. V. V. Kozlov, “Phenomena of nonintegrability in Hamiltonian systems”, Proceedings of the international congress of mathematicians (Berkeley, CA, 1986), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 1161–1170
  34. Н. Г. Мощевитин, “О существовании и гладкости интеграла гамильтоновой системы определенного вида”, Матем. заметки, 49:5 (1991), 80–85
  35. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, Обобщенные функции, Вып. 3, Физматлит, М., 1958, 274 с.
  36. И. Пригожин, Неравновесная статистическая механика, Мир, М., 1964, 314 с.
  37. И. М. Гельфанд, А. Г. Костюченко, “О разложении по собственным функциям дифференциальных и других операторов”, Докл. АН СССР, 103:3 (1955), 349–352
  38. Ю. М. Березанский, “О разложении по собственным функциям общих самосопряжeнных дифференциальных операторов”, Докл. АН СССР, 108:3 (1956), 379–382
  39. Р. Рихтмайер, Принципы современной математической физики, т. 1, Мир, М., 1982, 488 с.
  40. А. Н. Колмогоров, “О динамических системах с интегральным инвариантом на торе”, Докл. АН СССР, 93:5 (1953), 763–766
  41. В. В. Козлов, “Уравнение Лиувилля как уравнение Шрeдингера”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:4 (2014), 109–122
  42. Л. И. Седов, Механика сплошной среды, т. 2, Наука, М., 1970, 568 с.
  43. И. С. Аржаных, Обращение волновых операторов, Изд-во АН Узб. ССР, Ташкент, 1962, 164 с.
  44. J. L. Anderson, P. G. Bergman, “Constraints in covariant field theories”, Phys. Rev. (2), 83:5 (1951), 1018–1025
  45. Г. Вилази, Гамильтонова динамика, Ин-т компьютерных исследований, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2006, 432 с.
  46. L. D. Faddeev, “What is complete integrability in quantum mechanics”, Nonlinear equations and spectral theory, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 220, Adv. Math. Sci., 59, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 83–90
  47. Н. А. Славнов, “Алгебраический анзац Бете и квантовые интегрируемые системы”, УМН, 62:4(376) (2007), 91–132
  48. Д. В. Трещeв, “Квантовые наблюдаемые: алгебраический аспект”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Тр. МИАН, 250, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2005, 226–261
  49. W. Miller, Jr., S. Post, P. Winternitz, “Classical and quantum superintegrability with applications”, J. Phys. A, 46:42 (2013), 423001, 97 pp.
  50. Х.-Ю. Штокман, Квантовый хаос, Физматлит, М., 2004, 376 с.
  51. G. M. Zaslavsky, “Stochasticity in quantum systems”, Phys. Rep., 80:3 (1981), 157–250
  52. J. Hietarinta, “Quantum integrability is not a trivial consequence of classical integrability”, Phys. Lett. A, 93:2 (1982/83), 55–57
  53. B. Eckhardt, “Quantum mechanics of classically non-integrable systems”, Phys. Rep., 163:4 (1988), 205–297
  54. Л. Е. Райхл, Переход к хаосу в консервативных классических и квантовых системах, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2008, 756 с.
  55. I. V. Volovich, “Complete integrability of quantum and classical dynamical systems”, $p$-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl., 11:4 (2019), 328–334
  56. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. III, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 2-е изд., перераб. и доп., Физматлит, М., 1963, 704 с.
  57. Э. Ч. Титчмарш, Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т. 1, ИЛ, М., 1960, 278 с.
  58. В. В. Козлов, Д. В. Трещев, “Полиномиальные законы сохранения квантовых систем”, ТМФ, 140:3 (2004), 460–479
  59. В. В. Козлов, Д. В. Трещeв, “Законы сохранения в квантовых системах на торе”, Докл. РАН, 398:3 (2004), 314–318
  60. В. В. Козлов, “Топологические препятствия к существованию квантовых законов сохранения”, Докл. РАН, 401:5 (2005), 603–606

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Kozlov V.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».