Fenchel–Nielsen coordinates and Goldman brackets

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

It is explicitly shown that the Poisson bracket on the set of shear coordinates defined by V. V. Fock in 1997 induces the Fenchel–Nielsen bracket on the set of gluing parameters (length and twist parameters) for pair-of-pants decompositions of Riemann surfaces $\Sigma_{g,s}$ with holes. These structures are generalized to the case of Riemann surfaces $\Sigma_{g,s,n}$ with holes and bordered cusps.Bibliography: 49 titles.

About the authors

Leonid Olegovich Chekhov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: chekhov@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. D. G. L. Allegretti, “Laminations from the symplectic double”, Geom. Dedicata, 199 (2019), 27–86
  2. A. Berenstein, A. Zelevinsky, “Quantum cluster algebras”, Adv. Math., 195:2 (2005), 405–455
  3. M. Bertola, D. Korotkin, Extended Goldman symplectic structure in Fock–Goncharov coordinates, 2020 (v1 – 2019), 32 pp.
  4. F. Bonahon, “Shearing hyperbolic surfaces, bending pleated surfaces and Thurston's symplectic form”, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), 5:2 (1996), 233–297
  5. В. М. Бухштабер, А. П. Веселов, “Топограф Конвея, $operatorname{PGL}_2(mathbb Z)$-динамика и двузначные группы”, УМН, 74:3(447) (2019), 17–62
  6. P. Buser, Geometry and spectra of compact Riemann surfaces, Progr. Math., 106, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, xiv+454 pp.
  7. Л. О. Чехов, “Симплектические структуры на пространствах Тейхмюллера $mathfrak T_{g,s,n}$ и кластерные алгебры”, Современные проблемы математической и теоретической физики, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Андрея Алексеевича Славнова, Тр. МИАН, 309, МИАН, М., 2020, 99–109
  8. L. Chekhov, M. Mazzocco, “Colliding holes in Riemann surfaces and quantum cluster algebras”, Nonlinearity, 31:1 (2018), 54–107
  9. L. O. Chekhov, M. Mazzocco, V. N. Rubtsov, “Painleve monodromy manifolds, decorated character varieties, and cluster algebras”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2017:24 (2017), 7639–7691
  10. L. Chekhov, M. Mazzocco, V. Rubtsov, “Algebras of quantum monodromy data and character varieties”, Geometry and physics, A festschrift in honour of Nigel Hitchin, v. 1, Oxford Univ. Press, Oxford, 2018, 39–68
  11. Л. О. Чехов, Р. Ч. Пеннер, “Введение в квантовую теорию Тeрстона”, УМН, 58:6(354) (2003), 93–138
  12. L. Chekhov, M. Shapiro, Darboux coordinates for symplectic groupoid and cluster algebras, 2020, 41 pp.
  13. L. Chekhov, M. Shapiro, “Teichmüller spaces of Riemann surfaces with orbifold points of arbitrary order and cluster variables”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2014:10 (2014), 2746–2772
  14. N. Do, P. Norbury, “Weil–Petersson volumes and cone surfaces”, Geom. Dedicata, 141 (2009), 93–107
  15. B. Eynard, N. Orantin, Weil–Petersson volume of moduli spaces, Mirzakhani's recursion and matrix models, 2007, 9 pp.
  16. L. D. Faddeev, “Discrete Heisenberg–Weyl group and modular group”, Lett. Math. Phys., 34:3 (1995), 249–254
  17. V. V. Fock, Description of moduli space of projective structures via fat graphs, 1994 (v1 – 1993), 17 pp.
  18. V. V. Fock, Dual Teichmüller spaces, 1998 (v1 – 1997), 32 pp.
  19. В. В. Фок, Л. О. Чехов, “Квантовые пространства Тейхмюллера”, ТМФ, 120:3 (1999), 511–528
  20. В. В. Фок, Л. О. Чехов, “Квантовые модулярные преобразования, соотношение пятиугольника и геодезические”, Математическая физика. Проблемы квантовой теории поля, Сборник статей. К 65-летию со дня рождения академика Людвига Дмитриевича Фаддеева, Тр. МИАН, 226, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 1999, 163–179
  21. V. Fock, A. Goncharov, “Moduli spaces of local systems and higher Teichmüller theory”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 103 (2006), 1–211
  22. V. V. Fock, A. A. Rosly, “Moduli space of flat connections as a Poisson manifold”, Advances in quantum field theory and statistical mechanics: 2nd Italian–Russian collaboration (Como, 1996), Internat. J. Modern Phys. B, 11:26-27 (1997), 3195–3206
  23. S. Fomin, M. Shapiro, D. Thurston, “Cluster algebras and triangulated surfaces. I. Cluster complexes”, Acta Math., 201:1 (2008), 83–146
  24. S. Fomin, D. Thurston, Cluster algebras and triangulated surfaces. Part II: Lambda lengths, Mem. Amer. Math. Soc., 225, no. 1223, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, v+97 pp.
  25. S. Fomin, A. Zelevinsky, “Cluster algebras I: Foundations”, J. Amer. Math. Soc., 15:2 (2002), 497–529
  26. S. Fomin, A. Zelevinsky, “Cluster algebra. II: Finite type classification”, Invent. Math., 154:1 (2003), 63–121
  27. W. M. Goldman, “Invariant functions on Lie groups and Hamiltonian flows of surface group representations”, Invent. Math., 85:2 (1986), 263–302
  28. L. Hollands, O. Kidwai, “Higher length-twist coordinates, generalized Heun's opers, and twisted superpotentials”, Adv. Theor. Math. Phys., 22:7 (2018), 1713–1822
  29. Yi Huang, Zhe Sun, McShane identities for higher Teichmüller theory and the Goncharov–Shen potential, 2020 (v1 – 2019), 107 pp.
  30. R. M. Kashaev, “Quantization of Teichmüller spaces and the quantum dilogarithm”, Lett. Math. Phys., 43:2 (1998), 105–115
  31. R. M. Kaufmann, R. C. Penner, “Closed/open string diagrammatics”, Nuclear Phys. B, 748:3 (2006), 335–379
  32. F. Labourie, G. McShane, “Cross ratios and identities for higher Teichmüller–Thurston theory”, Duke Math. J., 149:2 (2009), 279–345
  33. G. McShane, A remarkable identity for lengths of curves, Ph.D. thesis, Univ. of Warwick, Coventry, 1991, iii+28 pp.
  34. G. McShane, “Simple geodesics and a series constant over Teichmüller space”, Invent. Math., 132:3 (1998), 607–632
  35. G. McShane, Length series on Teichmüller space, 2004, 16 pp.
  36. M. Mirzakhani, “Simple geodesics and Weil–Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces”, Invent. Math., 167:1 (2007), 179–222
  37. M. Mirzakhani, “Weil–Petersson volumes and intersection theory on the moduli space of curves”, J. Amer. Math. Soc., 20:1 (2007), 1–23
  38. S. Morier-Genoud, V. Ovsienko, “$q$-deformed rationals and $q$-continued fractions”, Forum Math. Sigma, 8 (2020), e13, 55 pp.
  39. M. Mulase, B. Safnuk, “Mirzakhani's recursion relations, Virasoro constraints and the KdV hierarchy”, Indian J. Math., 50:1 (2008), 189–228
  40. G. Musiker, R. Schiffler, L. Williams, “Positivity for cluster algebras from surfaces”, Adv. Math., 227:6 (2011), 2241–2308
  41. G. Musiker, R. Schiffler, L. Williams, “Bases for cluster algebras from surfaces”, Compositio Math., 149:2 (2013), 217–263
  42. G. Musiker, L. Williams, “Matrix formulae and skein relations for cluster algebras from surfaces”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2013:13 (2013), 2891–2944
  43. N. Nekrasov, A. Rosly, S. Shatashvili, “Darboux coordinates, Yang–Yang functional, and gauge theory”, Nuclear Phys. B Proc. Suppl., 216 (2011), 69–93
  44. R. C. Penner, “The decorated Teichmüller space of punctured surfaces”, Comm. Math. Phys., 113:2 (1987), 299–339
  45. R. C. Penner, “Weil–Petersson volumes”, J. Differential Geom., 35:3 (1992), 559–608
  46. G. Schrader, A. Shapiro, “A cluster realization of $U_q(mathfrak{sl}_mathfrak{n})$ from quantum character varieties”, Invent. Math., 216:3 (2019), 799–846
  47. W. P. Thurston, Minimal stretch maps between hyperbolic surfaces, preprint, 1984
  48. S. Wolpert, “The Fenchel–Nielsen deformation”, Ann. of Math. (2), 115:3 (1982), 501–528
  49. S. Wolpert, “On the symplectic geometry of deformations of a hyperbolic surface”, Ann. of Math. (2), 117:2 (1983), 207–234

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Chekhov L.O.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».