On the resolution of singularities of one-dimensional foliations on three-manifolds

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This paper is devoted to the resolution of singularities of holomorphic vector fields and one-dimensional holomorphic foliations in dimension three, and it has two main objectives. First, within the general framework of one-dimensional foliations, we build upon and essentially complete the work of Cano, Roche, and Spivakovsky (2014). As a consequence, we obtain a general resolution theorem comparable to the resolution theorem of McQuillan–Panazzolo (2013) but proved by means of rather different methods.The other objective of this paper is to consider a special class of singularities of foliations containing, in particular, all the singularities ofcomplete holomorphic vector fields on complex manifolds of dimension three. We then prove that a much sharper resolution theorem holds for this class of holomorphic foliations. This second result was the initial motivation for this paper. It relies on combining earlier resolution theorems for (general) foliations with some classical material on asymptotic expansions for solutions of differential equations.Bibliography: 34 titles.

About the authors

Julio C. Rebelo

Institut de Mathématiques de Toulouse

Email: jrebelo@math.sunysb.edu

Helena Reis

Centro de Matemática da Universidade do Porto; University of Porto

References

  1. M. Abate, “The residual index and the dynamics of holomorphic maps tangent to the identity”, Duke Math. J., 107:1 (2001), 173–207
  2. В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, Динамические системы – 1, Итоги науки и техники. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. напр., 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
  3. М. Атья, Н. Хитчин, Геометрия и динамика магнитных монополей, Мир, М., 1991, 150 с.
  4. F. E. Brochero Martinez, F. Cano, L. Lopez-Hernanz, “Parabolic curves for diffeomorphisms in $mathbb{C}^2$”, Publ. Mat., 52:1 (2008), 189–194
  5. C. Camacho, A. Lins Neto, P. Sad, “Topological invariants and equidesingularization for holomorphic vector fields”, J. Differential Geom., 20:1 (1984), 143–174
  6. C. Camacho, P. Sad, “Invariant varieties through singularities of holomorphic vector fields”, Ann. of Math. (2), 115:3 (1982), 579–595
  7. F. Cano, “Reduction of the singularities of codimension one singular foliations in dimension three”, Ann. of Math. (2), 160:3 (2004), 907–1011
  8. F. Cano, C. Roche, “Vector fields tangent to foliations and blow-ups”, J. Singul., 9 (2014), 43–49
  9. F. Cano, C. Roche, M. Spivakovsky, “Reduction of singularities of three-dimensional line foliations”, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Mat. RACSAM, 108:1 (2014), 221–258
  10. F. Cano Torres, Desingularization strategies for three-dimensional vector fields, Lecture Notes in Math., 1259, Springer-Verlag, Berlin, 1987, x+194 pp.
  11. R. Conte (ed.), The Painleve property. One century later, CRM Ser. Math. Phys., Springer-Verlag, New York, 1999, xxvi+810 pp.
  12. G. Dloussky, K. Oeljeklaus, M. Toma, “Surfaces de la classe $mathrm{VII}_0$ admettant un champ de vecteurs”, Comment. Math. Helv., 75:2 (2000), 255–270
  13. П. М. Елизаров, Ю. С. Ильяшенко, “Замечания об орбитальной аналитической классификации ростков векторных полей”, Матем. сб., 121(163):1(5) (1983), 111–126
  14. А. Э. Еременко, “Мероморфные решения алгебраических дифференциальных уравнений”, УМН, 37:4(226) (1982), 53–82
  15. E. Ghys, J. C. Rebelo, “Singularites des flots holomorphes. II”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 47:4 (1997), 1117–1174
  16. A. Guillot, “Sur les equations d'Halphen et les actions de $operatorname{SL}_2(mathbf C)$”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 105:1 (2007), 221–294
  17. A. Guillot, “The geometry of Chazy's homogeneous third-order differential equations”, Funkcial. Ekvac., 55:1 (2012), 67–87
  18. A. Guillot, J. C. Rebelo, “Semicomplete meromorphic vector fields on complex surfaces”, J. Reine Angew. Math., 2012:667 (2012), 27–65
  19. M. Hakim, Transformations tangent to the identity. Stable pieces of manifolds, Prepublication Orsay 97-30, Univ. de Paris-Sud, Orsay, 1997, 36 pp.
  20. M. Hakim, “Analytic transformations of $(mathbf{C}^p,0)$ tangent to the identity”, Duke Math. J., 92:2 (1998), 403–428
  21. Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on analytic differential equations, Grad. Stud. Math., 86, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, xiv+625 pp.
  22. E. L. Ince, Ordinary differential equations, Reprint of the 1st ed., Dover Publications, New York, 1956, viii+558 pp.
  23. J. Malmquist, “Sur l'etude analytique des solutions d'un système d'equations differentielles dans le voisinage d'un point singulier d'indetermination. I”, Acta Math., 73 (1941), 87–129
  24. F. Martin, E. Royer, “Formes modulaires et periodes”, Formes modulaires et transcendance, Semin. Congr., 12, Soc. Math. France, Paris, 2005, 1–117
  25. J.-F. Mattei, R. Moussu, “Holonomie et integrales premières”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4), 13:4 (1980), 469–523
  26. M. McQuillan, D. Panazzolo, “Almost etale resolution of foliations”, J. Differential Geometry, 95:2 (2013), 279–319
  27. D. Panazzolo, “Resolution of singularities of real-analytic vector fields in dimension three”, Acta Math., 197:2 (2006), 167–289
  28. O. Piltant, “An axiomatic version of Zariski's patching theorem”, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A Mat. RACSAM, 107:1 (2013), 91–121
  29. J.-P. Ramis, Y. Sibuya, “Hukuhara domains and fundamental existence and uniqueness theorems for asymptotic solutions of Gevrey type”, Asymptotic Anal., 2:1 (1989), 39–94
  30. J. C. Rebelo, “Singularites des flots holomorphes”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 46:2 (1996), 411–428
  31. H. Reis, “Equivalence and semi-completude of foliations”, Nonlinear Anal., 64:8 (2006), 1654–1665
  32. H. Reis, “Semi-complete vector fields of saddle-node type in $mathbb C^n$”, Trans. Amer. Math. Soc., 360:12 (2008), 6611–6630
  33. A. Seidenberg, “Reduction of singularities of the differential equation $A dy=B dx$”, Amer. J. Math., 90 (1968), 248–269
  34. B. J. Weickert, “Attracting basins for automorphisms of $mathbf{C}^2$”, Invent. Math., 132:3 (1998), 581–605

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Rebelo J.C., Reis H.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».