Integrable polynomial Hamiltonian systems and symmetric powers of plane algebraic curves

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This survey is devoted to integrable polynomial Hamiltonian systems associated with symmetric powers of plane algebraic curves.We focus our attention on the relations (discovered by the authors) between the Stäckel systems, Novikov's equations for the $g$th stationary Korteweg–de Vries hierarchy, the Dubrovin–Novikov coordinates on the universal bundle of Jacobians of hyperelliptic curves, and new systems obtained by considering the symmetric powers of curves when the power is not equal to the genus of the curve.Bibliography: 52 titles.

About the authors

Victor Matveevich Buchstaber

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: buchstab@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Alexander Vasil'evich Mikhailov

University of Leeds; Centre of Integrable Systems

Email: a.v.mikhailov@leeds.ac.uk

References

  1. M. Adler, J. Moser, “On a class of polynomials connected with the Korteweg–de Vries equation”, Comm. Math. Phys., 61:1 (1978), 1–30
  2. M. Adler, P. van Moerbeke, P. Vanhaecke, Algebraic integrability, Painleve geometry and Lie algebras, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 47, Springer-Verlag, Berlin, 2004, xii+483 pp.
  3. В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, 3-е изд., испр. и доп., Наука, М., 1989, 472 с.
  4. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, 2-е изд., перераб. и доп., Едиториал УРСС, М., 2002, 416 с.
  5. M. Blaszak, Wen-Xiu Ma, “Separable Hamiltonian equations on Riemann manifolds and related integrable hydrodynamic systems”, J. Geom. Phys., 47:1 (2003), 21–42
  6. V. M. Buchstaber, “Multidimensional sigma functions and applications”, in “Victor Enolski (1945–2019)” by E. Previato, Notices Amer. Math. Soc., 67:11 (2020), 1756–1760
  7. V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskiĭ, D. V. Leĭkin, “Hyperelliptic Kleinian functions and applications”, Solitons, geometry, and topology: on the crossroad, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 179, Adv. Math. Sci., 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, 1–33
  8. V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leykin, “Kleinian functions, hyperelliptic Jacobians and applications”, Rev. Math. Math. Phys., 10, Part 2, Gordon and Breach, London, 1997, 3–120
  9. V. M. Buchstaber, V. Z. Enolski, D. V. Leykin, Multi-dimensional sigma-functions, 2012, 267 pp.
  10. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, “Законы сложения на якобианах плоских алгебраических кривых”, Нелинейная динамика, Сборник статей, Труды МИАН, 251, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2005, 54–126
  11. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, В. З. Энольский, “Рациональные аналоги абелевых функций”, Функц. анализ и его прил., 33:2 (1999), 1–15
  12. В. М. Бухштабер, А. В. Михайлов, “Полиномиальные гамильтоновы интегрируемые системы на симметрических степенях плоских кривых”, УМН, 73:6(444) (2018), 193–194
  13. V. M. Buchstaber, E. G. Rees, “The Gelfand map and symmetric products”, Selecta Math. (N. S.), 8:4 (2002), 523–535
  14. V. M. Buchstaber, E. G. Rees, “Frobenius $n$-homomorphisms, transfers and branched coverings”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 144:1 (2008), 1–12
  15. V. M. Buchstaber, S. Yu. Shorina, “The $w$-function of the KdV hierarchy”, Geometry, topology, and mathematical physics, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 212, Adv. Math. Sci., 55, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, 41–66
  16. J. L. Burchnall, T. W. Chaundy, “Commutative ordinary differential operators”, Proc. London Math. Soc. (2), 21:1 (1923), 420–440
  17. J. L. Burchnall, T. W. Chaundy, “Commutative ordinary differential operators”, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, 118:780 (1928), 557–583
  18. Б. А. Дубровин, “Тэта-функции и нелинейные уравнения”, УМН, 36:2(218) (1981), 11–80
  19. Б. А. Дубровин, И. М. Кричевер, С. П. Новиков, “Интегрируемые системы. I”, Динамические системы – 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 4, ВИНИТИ, М., 1985, 179–277
  20. Б. А. Дубpовин, С. П. Hовиков, “Периодическая задача для уравнений Кортевега–де Фриза и Штурма–Лиувилля. Их связь с алгебраической геометрией”, Докл. АН СССР, 219:3 (1974), 531–534
  21. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, “Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальная геометрия и гамильтонова теория”, УМН, 44:6(270) (1989), 29–98
  22. G. Ellingsrud, S. A. Stromme, “On the homology of the Hilbert scheme of points in the plane”, Invent. Math., 87:2 (1987), 343–352
  23. Е. В. Ферапонтов, “Интегрирование слабо нелинейных полугамильтоновых систем гидродинамического типа методами теории тканей”, Матем. сб., 181:9 (1990), 1220–1235
  24. Е. В. Ферапонтов, “Уравнения гидродинамического типа с точки зрения теории тканей”, Матем. заметки, 50:5 (1991), 97–108
  25. E. V. Ferapontov, A. P. Fordy, “Separable Hamiltonians and integrable systems of hydrodynamic type”, J. Geom. Phys., 21:2 (1997), 169–182
  26. C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura, “Method for solving the Korteweg–de Vries equation”, Phys. Rev. Lett., 19 (1967), 1095–1097
  27. I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky, Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Math. Theory Appl., Birkhäuser Boston, Inc., 1994, x+523 pp.
  28. N. Hitchin, “Stable bundles and integrable systems”, Duke Math. J., 54:1 (1987), 91–114
  29. F. Klein, “Über Hyperelliptische Sigmafunktionen. (Zweiter Aufsatz)”, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, v. 3, J. Springer, Berlin, 1923, 323–357
  30. D. J. Korteweg, D. de Vries, “On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves”, Philos. Mag. (5), 39:240 (1895), 422–443
  31. В. В. Козлов, “Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений”, УМН, 74:1(445) (2019), 117–148
  32. В. В. Козлов, “Квадратичные законы сохранения уравнений математической физики”, УМН, 75:3(453) (2020), 55–106
  33. И. М. Кричевер, “Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений”, УМН, 32:6(198) (1977), 183–208
  34. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика, 3-е изд., перераб., Наука, М., 1986, 736 с.
  35. P. D. Lax, “Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves”, Comm. Pure Appl. Math., 21:5 (1968), 467–490
  36. И. Макдональд, Симметрические функции и многочлены Холла, Мир, М., 1985, 224 с.
  37. А. В. Михайлов, “Идеалы квантования неабелевых интегрируемых систем”, УМН, 75:5(455) (2020), 199–200
  38. A. V. Mikhailov, A. B. Shabat, V. V. Sokolov, “The symmetry approach to classification of integrable equations”, What is integrability?, Springer Ser. Nonlinear Dynam., Springer, Berlin, 1991, 115–184
  39. A. V. Mikhailov, V. V. Sokolov, “Integrable ODEs on associative algebras”, Comm. Math. Phys., 211:1 (2000), 231–251
  40. О. И. Мохов, “Симплектические и пуассоновы структуры на пространствах петель гладких многообразий и интегрируемые системы”, УМН, 53:3(321) (1998), 85–192
  41. Д. Мамфорд, Лекции о тэта-функциях, Мир, М., 1988, 448 с.
  42. С. П. Новиков, “Периодическая задача для уравнения Кортевега–де Фриза. I”, Функц. анализ и его прил., 8:3 (1974), 54–66
  43. С. П. Новиков, “Роль интегрируемых моделей в развитии математики”, Сергей Петрович Новиков. К семидесятилетию со дня рождения. Интервью, статьи, выступления, МЦНМО, М., 2008, 75–93
  44. P. J. Olver, Jing Ping Wang, “Classification of integrable one-component systems on associative algebras”, Proc. London Math. Soc. (3), 81:3 (2000), 566–586
  45. А. М. Переломов, Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли, Наука, М., 1990, 240 с.
  46. О. К. Шейнман, “Интегрируемые системы алгебраического происхождения и разделение переменных”, Функц. анализ и его прил., 52:4 (2018), 94–98
  47. V. Sokolov, Algebraic structures in integrability, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2020, xviii+327 pp.
  48. В. В. Соколов, “Неабелево обобщение волчка Эйлера на $mathfrak{so}_3$”, УМН, 76:1(457) (2021), 195–196
  49. P. Stäckel, Über die Integration der Hamilton–Jacobischen Differentialgleichung mittelst Separation der Variabeln, Habilitationsschrift, Halle A/S., B. G. Teubner, Leipzig, 1891, 26 pp.
  50. С. П. Царев, “Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:5 (1990), 1048–1068
  51. А. В. Цыганов, Интегрируемые системы в методе разделения переменных, Современная математика, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2005, 384 с.
  52. V. E. Zakharov (ed.), What is integrability?, Springer Ser. Nonlinear Dynam., Springer-Verlag, Berlin, 1991, xiv+321 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Buchstaber V.M., Mikhailov A.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».