Efficient asymptotics of solutions to the Cauchy problem with localized initial data for linear systems of differential and pseudodifferential equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We say that the initial data in the Cauchy problem are localized if they are given by functions concentrated in a neighbourhood of a submanifold of positive codimension, and the size of this neighbourhood depends on a small parameter and tends to zero together with the parameter. Although the solutions of linear differential and pseudodifferential equations with localized initial data constitute a relatively narrow subclass of the set of all solutions, they are very important from the point of view of physical applications. Such solutions, which arise in many branches of mathematical physics, describe the propagation of perturbations of various natural phenomena (tsunami waves caused by an underwater earthquake, electromagnetic waves emitted by antennas, etc.), and there is extensive literature devoted to such solutions (including the study of their asymptotic behaviour). It is natural to say that an asymptotics is efficient when it makes it possible to examine the problem quickly enough with relatively few computations. The notion of efficiency depends on the available computational tools and has changed significantly with the advent of \textsf{Wolfram Mathematica}, \textsf{Matlab}, and similar computing systems, which provide fundamentally new possibilities for the operational implementation and visualization of mathematical constructions, but which also impose new requirements on the construction of the asymptotics. We give an overview of modern methods for constructing efficient asymptotics in problems with localized initial data. The class of equations and systems under consideration includes the Schrödinger and Dirac equations, the Maxwell equations, the linearized gasdynamic and hydrodynamic equations, the equations of the linear theory of surface water waves, the equations of the theory of elasticity, the acoustic equations, and so on.Bibliography: 109 titles.

About the authors

Sergey Yur'evich Dobrokhotov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: s.dobrokhotov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Vladimir Evgen'evich Nazaikinskii

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Andrei Igorevich Shafarevich

Lomonosov Moscow State University; Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences; Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University); National Research Centre "Kurchatov Institute"

Email: shafarev@yahoo.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. А. И. Аллилуева, С. Ю. Доброхотов, С. А. Сергеев, А. И. Шафаревич, “Новые представления канонического оператора Маслова и локализованные асимптотические решения строго гиперболических систем”, Докл. РАН, 464:3 (2015), 261–266
  2. A. I. Allilueva, A. I. Shafarevich, “Asymptotic solutions of linearized Navier–Stokes equations, localized in small neighborhoods of curves and surfaces”, Russ. J. Math. Phys., 22:4 (2015), 421–426
  3. A. I. Allilueva, A. I. Shafarevich, “Asymptotic support of localized solutions of the linearized system of magnetohydrodynamics”, Russ. J. Math. Phys., 23:4 (2016), 425–430
  4. A. I. Allilueva, A. I. Shafarevich, “Localized asymptotic solutions of the wave equation with variable velocity on the simplest graphs”, Russ. J. Math. Phys., 24:3 (2017), 279–289
  5. А. И. Аллилуева, А. И. Шафаревич, “Локализованные асимптотические решения линеаризованной системы магнитной гидродинамики”, Матем. заметки, 102:6 (2017), 807–815
  6. A. I. Allilueva, A. I. Shafarevich, “Localized asymptotic solutions of linearized equations of gas dynamics”, Russ. J. Math. Phys., 25:4 (2018), 415–422
  7. A. I. Allilueva, A. I. Shafarevich, “Localized solutions for linearized MHD equations and interaction of Alfven modes”, Magnetohydrodynamics, 55:1-2 (2019), 15–21
  8. А. И. Аллилуева, А. И. Шафаревич, “Двойное асимптотическое разложение разрешающего оператора задачи Коши для линеаризованной системы газовой динамики”, Докл. РАН, 484:2 (2019), 134–137
  9. A. I. Allilueva, A. I. Shafarevich, “Remarks on asymptotic solutions of linearized equations of relativistic hydrodynamics”, Russ. J. Math. Phys., 26:4 (2019), 409–411
  10. A. Anikin, S. Dobrokhotov, V. Nazaikinskii, “Asymptotic solutions of the wave equation with degenerate velocity and with right-hand side localized in space and time”, Журн. матем. физ., анал., геом., 14:4 (2018), 393–405
  11. А. Ю. Аникин, С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, А. В. Цветкова, “Равномерная асимптотика в виде функции Эйри для квазиклассических связанных состояний в одномерных и радиально-симметричных задачах”, ТМФ, 201:3 (2019), 382–414
  12. В. И. Арнольд, “О характеристическом классе, входящем в условия квантования”, Функц. анализ и его прил., 1:1 (1967), 1–14
  13. В. И. Арнольд, Особенности каустик и волновых фронтов, Фазис, М., 1996, x+334 с.
  14. V. V. Belov, S. Yu. Dobrokhotov, T. Ya. Tudorovskiy, “Operator separation of variables for adiabatic problems in quantum and wave mechanics”, J. Engrg. Math., 55:1-4 (2006), 183–237
  15. M. V. Berry, “Focused tsunami waves”, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 463:2087 (2007), 3055–3071
  16. В. А. Боровиков, М. Я. Кельберт, “Поле около волнового фронта в задаче Коши–Пуассона”, Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 19:2 (1984), 173–174
  17. Й. Брюнинг, Р. В. Некрасов, А. И. Шафаревич, “Квантование периодических движений на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны в магнитном поле”, Матем. заметки, 81:1 (2007), 32–42
  18. С. Ю. Доброхотов, М. В. Клименко, И. А. Носиков, А. А. Толченников, “Вариационный метод расчета лучевых траекторий и фронтов волн цунами, порожденных локализованным источником”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 60:8 (2020), 1439–1448
  19. S. Yu. Dobrokhotov, D. A. Lozhnikov, V. E. Nazaikinskii, “Wave trains associated with a cascade of bifurcations of space-time caustics over elongated underwater banks”, Math. Model. Nat. Phenom., 8:5 (2013), 1–12
  20. S. Yu. Dobrokhotov, D. A. Lozhnikov, C. A. Vargas, “Asymptotics of waves on the shallow water generated by spatially-localized sources and trapped by underwater ridges”, Russ. J. Math. Phys., 20:1 (2013), 11–24
  21. S. Yu. Dobrokhotov, G. Makrakis, V. E. Nazaikinskii, “Fourier integrals and a new representation of Maslov's canonical operator near caustics”, Spectral theory and differential equations: V. A. Marchenko's 90th anniversary collection, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 233, Adv. Math. Sci., 66, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, 95–115
  22. С. Ю. Доброхотов, Г. Н. Макракис, В. Е. Назайкинский, “Канонический оператор Маслова, одна формула Хeрмандера и локализация решения Берри–Балажа в теории волновых пучков”, ТМФ, 180:2 (2014), 162–188
  23. С. Ю. Доброхотов, Г. Н. Макракис, В. Е. Назайкинский, Т. Я. Тудоровский, “Новые формулы для канонического оператора Маслова в окрестности фокальных точек и каустик в двумерных квазиклассических асимптотиках”, ТМФ, 177:3 (2013), 355–386
  24. С. Ю. Доброхотов, В. П. Маслов, “Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ-приближениях”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем., 15, ВИНИТИ, М., 1980, 3–94
  25. С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, “Проколотые лагранжевы многообразия и асимптотические решения линейных уравнений волн на воде с локализованными начальными условиями”, Матем. заметки, 101:6 (2017), 936–943
  26. S. Yu. Dobrokhotov, V. E. Nazaikinskii, “Propagation of a linear wave created by a spatially localized perturbation in a regular lattice and punctured Lagrangian manifolds”, Russ. J. Math. Phys., 24:1 (2017), 127–133
  27. S. Yu. Dobrokhotov, V. E. Nazaikinskii, “Efficient formulas for the Maslov canonical operator near a simple caustic”, Russ. J. Math. Phys., 25:4 (2018), 545–552
  28. С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, “Лагранжевы многообразия и эффективные формулы для коротковолновых асимптотик в окрестности точки возврата каустики”, Матем. заметки, 108:3 (2020), 334–359
  29. С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, “Униформизация уравнений с граничным вырождением бесселева типа и квазиклассические асимптотики”, Матем. заметки, 107:5 (2020), 780–786
  30. С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, “Эффективные асимптотики в задачах о распространении волн, порожденных локализованными источниками, в линейных многомерных неоднородных и дисперсных средах”, Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 60:8 (2020), 1394–1407
  31. С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, А. И. Шафаревич, “Канонический оператор Mаслова в произвольных координатах лагранжева многообразия”, Докл. РАН, 466:6 (2016), 641–644
  32. С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, А. И. Шафаревич, “Новые интегральные представления канонического оператора Маслова в особых картах”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:2 (2017), 53–96
  33. S. Yu. Dobrokhotov, V. E. Nazaikinskii, A. I. Shafarevich, “Canonical operator on punctured {L}agrangian manifolds”, Russ. J. Math. Phys., 28:1 (2021), 22–36
  34. С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, Б. Тироцци, “Асимптотические решения двумерного модельного волнового уравнения с вырождающейся скоростью и локализованными начальными данными”, Алгебра и анализ, 22:6 (2010), 67–90
  35. S. Yu. Dobrokhotov, V. E. Nazaikinskii, B. Tirozzi, “Asymptotic solution of the one-dimensional wave equation with localized initial data and with degenerating velocity. I”, Russ. J. Math. Phys., 17:4 (2010), 434–447
  36. S. Yu. Dobrokhotov, V. E. Nazaikinskii, B. Tirozzi, “Two-dimensional wave equation with degeneration on the curvilinear boundary of the domain and asymptotic solutions with localized initial data”, Russ. J. Math. Phys., 20:4 (2013), 389–401
  37. S. Yu. Dobrokhotov, V. E. Nazaikinskii, A. A. Tolchennikov, “Asymptotics of linear water waves generated by a localized source near the focal points on the leading edge”, Russ. J. Math. Phys., 24:4 (2017), 544–552
  38. С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, А. А. Толченников, “Равномерная асимптотика граничных значений решения линейной задачи о набеге волн на пологий берег”, Матем. заметки, 101:5 (2017), 700–715
  39. S. Yu. Dobrokhotov, V. E. Nazaikinskii, A. A. Tolchennikov, “Uniform formulas for the asymptotic solution of a linear pseudodifferential equation describing water waves generated by a localized source”, Russ. J. Math. Phys., 27:2 (2020), 185–191
  40. S. Yu. Dobrokhotov, R. V. Nekrasov, B. Tirozzi, “Asymptotic solutions of the linear shallow-water equations with localized initial data”, J. Engrg. Math., 69:2-3 (2011), 225–242
  41. S. Dobrokhotov, V. M. Olive, A. Ruzmaikin, A. Shafarevich, “Magnetic field asymptotics in a well conducting fluid”, Geophys. Astrophys. Fluid Dynam., 82:3-4 (1996), 255–280
  42. С. Ю. Доброхотов, С. Я. Секерж-Зенькович, “Один класс точных алгебраических локализованных решений многомерного волнового уравнения”, Матем. заметки, 88:6 (2010), 942–945
  43. С. Ю. Доброхотов, С. Я. Секерж-Зенькович, Б. Тироцци, Т. Я. Тудоровский, “Описание распространения волн цунами на основе канонического оператора Маслова”, Докл. РАН, 409:2 (2006), 171–175
  44. S. Yu. Dobrokhotov, S. Ya. Sekerzh-Zenkovich, B. Tirozzi, B. Volkov, “Explicit asymptotics for tsunami waves in framework of the piston model”, Russ J. Earth Sci., 8 (2006), ES403, 12 pp.
  45. С. Ю. Доброхотов, А. И. Шафаревич, “Параметрикс и асимптотика локализованных решений уравнений Навье–Стокса в $mathbf{R}^3$, линеаризованных на гладком течении”, Матем. заметки, 51:1 (1992), 72–82
  46. С. Ю. Доброхотов, А. И. Шафаревич, “Некоторые асимптотические решения линеаризованных уравнений Навье–Стокса”, Матем. заметки, 53:1 (1993), 25–35
  47. S. Yu. Dobrokhotov, A. I. Shafarevich, B. Tirozzi, “Localized wave and vortical solutions to linear hyperbolic systems and their application to linear shallow water equations”, Russ. J. Math. Phys., 15:2 (2008), 192–221
  48. S. Yu. Dobrokhotov, S. Sinitsyn, B. Tirozzi, “Asymptotics of localized solutions of the one-dimensional wave equation with variable velocity. I. The Cauchy problem”, Russ. J. Math. Phys., 14:1 (2007), 28–56
  49. С. Ю. Доброхотов, Б. Тироцци, А. И. Шафаревич, “Условия Коши–Римана и локализованные асимптотические решения уравнений мелкой воды”, ПММ, 69:5 (2005), 804–809
  50. S. Yu. Dobrokhotov, B. Tirozzi, A. I. Shafarevich, “Cauchy–Riemann conditions and point singularities of solutions to linearized shallow-water equations”, Russ. J. Math. Phys., 14:2 (2007), 217–223
  51. С. Ю. Доброхотов, Б. Тироцци, А. И. Шафаревич, “Представления быстроубывающих функций каноническим оператором Маслова”, Матем. заметки, 82:5 (2007), 792–796
  52. S. Yu. Dobrokhotov, B. Tirozzi, A. A. Tolchennikov, “Asymptotics of shallow water equations on the sphere”, Russ. J. Math. Phys., 21:4 (2014), 430–449
  53. S. Yu. Dobrokhotov, B. Tirozzi, C. A. Vargas, “Behavior near the focal points of asymptotic solutions to the Cauchy problem for the linearized shallow water equations with initial localized perturbations”, Russ. J. Math. Phys., 16:2 (2009), 228–245
  54. S. Yu. Dobrokhotov, A. A. Tolchennikov, “Solution of the two-dimensional Dirac equation with a linear potential and a localized initial condition”, Russ. J. Math. Phys., 26:2 (2019), 139–151
  55. С. Ю. Доброхотов, П. Н. Жевандров, “Нестандартные характеристики и операторный метод Маслова в линейных задачах о неустановившихся волнах на воде”, Функц. анализ и его прил., 19:4 (1985), 43–54
  56. С. Ю. Доброхотов, П. Н. Жевандров, В. М. Кузьмина, “Асимптотика решения задачи Коши–Пуассона в слое непостоянной толщины”, Матем. заметки, 53:6 (1993), 141–145
  57. С. Ю. Доброхотов, П. Н. Жевандров, В. П. Маслов, А. И. Шафаревич, “Асимптотические быстроубывающие решения линейных строго гиперболических систем с переменными коэффициентами”, Матем. заметки, 49:4 (1991), 31–46
  58. Ф. В. Должанский, В. А. Крымов, Д. Ю. Манин, “Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений”, УФН, 160:7 (1990), 1–47
  59. С. Ф. Доценко, Б. Ю. Сергеевский, Л. В. Черкесов, “Пространственные волны цунами, вызванные знакопеременным смещением поверхности океана”, Исследования цунами, 1, Междувед. геофиз. комитет при Президиуме АН СССР, М., 1986, 7–14
  60. В. В. Грушин, “Обобщенный метод стационарной фазы для преобразования Фурье быстроосциллирующей функции”, Матем. заметки, 102:6 (2017), 816–827
  61. В. В. Грушин, С. Ю. Доброхотов, С. А. Сергеев, “Осреднение и дисперсионные эффекты в задаче о распространении волн, порожденных локализованным источником”, Современные проблемы механики, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Андрея Геннадьевича Куликовского, Труды МИАН, 281, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2013, 170–187
  62. В. В. Грушин, С. Ю. Доброхотов, С. А. Сергеев, “Исправление к работе ‘Осреднение и дисперсионные эффекты в задаче о распространении волн, порожденных локализованным источником’ (Тр. МИАН. 2013. Т. 281. С. 170–187)”, Геометрия, топология и приложения, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения профессора Николая Петровича Долбилина, Труды МИАН, 288, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2015, 287
  63. M. C. Gutzwiller, Chaos in classical and quantum mechanics, Interdiscip. Appl. Math., 1, Springer-Verlag, New York, 1990, xiv+432 pp.
  64. L. Hörmander, “Fourier integral operators. I”, Acta Math., 127:1-2 (1971), 79–183
  65. Л. Хeрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 3, Псевдодифференциальные операторы, Мир, М., 1987, 696 с.
  66. Л. Хeрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 4, Интегральные операторы Фурье, Мир, М., 1988, 448 с.
  67. А. М. Ильин, Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Наука, М., 1989, 336 с.
  68. Х. Х. Ильясов, В. Е. Назайкинский, С. Я. Секерж-Зенькович, А. А. Толченников, “Асимптотическая оценка координат эпицентра источника цунами 2011 г. по мареограммам, полученным на буе South Iwate GPS и на станции DART 21418”, Докл. РАН, 469:1 (2016), 46–50
  69. М. В. Карасев, В. П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, Наука, М., 1991, 368 с.
  70. M. I. Katsnelson, Graphene. Carbon in two dimensions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, 366 pp.
  71. Ю. А. Кордюков, И. А. Тайманов, “Квазиклассическое приближение для магнитных монополей”, УМН, 75:6(456) (2020), 85–106
  72. Ф. Краузе, К.-Х. Рэдлер, Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо, Мир, М., 1984, 320 с.
  73. Ю. А. Кравцов, Ю. И. Орлов, Геометрическая оптика неоднородных сред, Наука, М., 1980, 304 с.
  74. И. М. Кричевер, “Метод усреднения для двумерных ‘интегрируемых’ уравнений”, Функц. анализ и его прил., 22:3 (1988), 37–52
  75. V. V. Kucherenko, A. Kryvko, “Interaction of Alfven waves in the linearized system of magnetohydrodynamics for an incompressible ideal fluid”, Russ. J. Math. Phys., 20:1 (2013), 56–67
  76. A. Lifshitz, “Short wavelength instabilities of incompressible three-dimensional flows and generation of vorticity”, Phys. Lett. A, 157:8-9 (1991), 481–487
  77. Д. А. Ложников, С. А. Сергеев, “О поведении локализованного решения волнового уравнения в окрестности точки локализации при малых временах”, Матем. заметки, 91:1 (2012), 149–153
  78. В. П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы, Изд-во МГУ, М., 1965, 554 с.
  79. В. П. Маслов, Операторные методы, Наука, М., 1973, 543 с.
  80. В. П. Маслов, Асимптотические методы и теория возмущений, Наука, М., 1988, 311 с.
  81. В. П. Маслов, В. Г. Данилов, “Принцип двойственности Понтрягина для вычисления эффекта типа Черенкова в кристаллах и разностных схемах. I”, Современные проблемы математики. Дифференциальные уравнения, математический анализ и их приложения, Сборник статей. Посвящается академику Льву Семеновичу Понтрягину к его семидесятипятилетию, Тр. МИАН СССР, 166, 1984, 130–160
  82. В. П. Маслов, В. Г. Данилов, “Принцип двойственности Понтрягина для вычисления эффекта типа Черенкова в кристаллах и разностных схемах. II”, Современные проблемы математики. Математический анализ, алгебра, топология, Сборник статей. Посвящается академику Льву Семеновичу Понтрягину к его семидесятипятилетию, Тр. МИАН СССР, 167, 1985, 96–107
  83. В. П. Маслов, М. В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Наука, М., 1976, 296 с.
  84. В. П. Маслов, М. В. Федорюк, “Логарифмическая асимптотика быстро убывающих решений гиперболических по Петровскому уравнений”, Матем. заметки, 45:5 (1989), 50–62
  85. А. С. Мищенко, Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов, Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, Наука, М., 1978, 352 с.
  86. Г. К. Моффат, Возбуждение магнитного поля в проводящей среде, Мир, М., 1980, 339 с.
  87. В. Е. Назайкинский, “Геометрия фазового пространства для волнового уравнения, вырождающегося на границе области”, Матем. заметки, 92:1 (2012), 153–156
  88. В. Е. Назайкинский, “Канонический оператор Маслова на лагранжевых многообразиях в фазовом пространстве, соответствующем вырождающемуся на границе волновому уравнению”, Матем. заметки, 96:2 (2014), 261–276
  89. V. E. Nazaikinskii, “Maslov's canonical operator for degenerate hyperbolic equations”, Russ. J. Math. Phys., 21:2 (2014), 289–290
  90. В. Е. Назайкинский, В. Г. Ошмян, Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов, “Интегральные операторы Фурье и канонический оператор”, УМН, 36:2(218) (1981), 81–140
  91. В. Е. Назайкинский, А. И. Шафаревич, “Аналог канонического оператора Маслова для локализованных функций и его приложения к описанию быстроубывающих асимптотических решений гиперболических уравнений и систем”, Докл. РАН, 479:6 (2018), 611–615
  92. В. Е. Назайкинский, А. И. Шафаревич, “О каноническом операторе Маслова в задачах о локализованных асимптотических решениях гиперболических уравнений и систем”, Матем. заметки, 106:3 (2019), 424–435
  93. V. E. Nazaikinskii, V. E. Shatalov, B. Yu. Sternin, Contact geometry and linear differential equations, De Gruyter Exp. Math., 6, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992, x+216 pp.
  94. В. Е. Назайкинский, Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов, Методы некоммутативного анализа, Техносфера, М., 2002, 336 с.
  95. Е. Н. Паркер, Космические магнитные поля, их образование и проявления, т. 1, 2, Мир, М., 1982, 608 с., 479 с.
  96. Е. Н. Пелиновский, Гидродинамика волн цунами, ИПФ РАН, Н. Новгород, 1996, 176 с.
  97. K. J. A. Reijnders, D. S. Minenkov, M. I. Katsnelson, S. Yu. Dobrokhotov, “Electronic optics in graphene in the semiclassical approximation”, Ann. Physics, 397 (2018), 65–135
  98. С. А. Сергеев, “Асимптотические решения задачи Коши с локализованными начальными данными для разностной схемы, отвечающей одномерному волновому уравнению”, Матем. заметки, 106:5 (2019), 744–760
  99. С. А. Сергеев, А. А. Толченников, “Об “операторах рождения” в задаче о локализованных решениях линеаризованных уравнений мелкой воды с регулярными и особыми характеристиками”, Матем. заметки, 100:6 (2016), 911–922
  100. А. И. Шафаревич, “Поведение при $ttoinfty$ быстро убывающих асимптотических решений линеаризованных уравнений Навье–Стокса”, Матем. заметки, 55:6 (1994), 124–145
  101. A. M. Soward, “A kinematic theory of large magnetic Reynolds number dynamos”, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 72:1227 (1972), 431–462
  102. Л. Н. Сретенский, Теория волновых движений жидкости, ОНТИ НКТП СССР, М.–Л., 1936, 325 с.
  103. А. А. Толченников, “О поведении решения уравнения Клейна–Гордона с локализованным начальным условием”, ТМФ, 199:2 (2019), 330–340
  104. A. A. Tolchennikov, “On the effect of intersection of characteristics in a two-dimensional massless Dirac equation with linear potential and localized initial condition”, Russ. J. Math. Phys., 28:2 (2021), 265–269
  105. И. Г. Царьков, “Гладкие решения уравнения эйконала и поведение локальных минимумов функции расстояния”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:6 (2019), 167–194
  106. S. Wang, “The propagation of the leading wave”, Coastal hydrodynamics (Univ. of Delaware, 1987), Amer. Soc. of Civil Engineers, New York, 1987, 657–670
  107. Дж. Б. Уизем, Линейные и нелинейные волны, Мир, М., 1977, 624 с.
  108. В. И. Юдович, Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости, Изд-во РГУ, Ростов-на-Дону, 1984, 192 с.
  109. Я. Б. Зельдович, А. А. Рузмайкин, “Магнитное поле в проводящей жидкости, движущейся в двух измерениях”, ЖЭТФ, 78:3 (1980), 980–986

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Dobrokhotov S.Y., Nazaikinskii V.E., Shafarevich A.I.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».