Automorphism groups of $\mathbb{P}^1$-bundles over a non-uniruled base

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In this survey we discuss holomorphic $\mathbb{P}^1$-bundles $p\colon X \to Y$ over a non-uniruled complex compact Kähler manifold $Y$, paying a special attention to the case when $Y$ is a complex torus. We consider the groups $\operatorname{Aut}(X)$ and $\operatorname{Bim}(X)$ of its biholomorphic and bimeromorphic automorphisms, respectively, and discuss when these groups are bounded, Jordan, strongly Jordan, or very Jordan.Bibliography: 88 titles.

About the authors

Tatiana Bandman

Department of Mathematics, Bar-Ilan University

Email: bandman@math.biu.ac.il

Yuri Gennad'evich Zarhin

Pennsylvania State University

Email: zarhin@math.psu.edu
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. D. N. Akhiezer, Lie group actions in complex analysis, Aspects Math., E27, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1995, viii+201 pp.
  2. A. Andreotti, W. Stoll, “Extension of holomorphic maps”, Ann. of Math. (2), 72:2 (1960), 312–349
  3. A. Andreotti, W. Stoll, Analytic and algebraic dependence of meromorphic functions, Lecture Notes in Math., 234, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1971, iii+390 pp.
  4. T. Bandman, Yu. G. Zarhin, “Jordan groups and algebraic surfaces”, Transform. Groups, 20:2 (2015), 327–334
  5. T. Bandman, Yu. G. Zarhin, “Jordan groups, conic bundles and abelian varieties”, Algebr. Geom., 4:2 (2017), 229–246
  6. T. Bandman, Yu. G. Zarhin, “Jordan properties of automorphism groups of certain open algebraic varieties”, Transform. Groups, 24:3 (2019), 721–739
  7. T. Bandman, Yu. G. Zarhin, “Bimeromorphic automorphism groups of certain $mathbb{P}^1$-bundles”, Eur. J. Math., 7:2 (2021), 641–670
  8. Т. Бандман, Ю. Г. Зархин, “Простые комплексные торы алгебраической размерности 0”, Труды МИАН, 320 (2023), 27–45
  9. W. P. Barth, K. Hulek, C. A. M. Peters, A. Van de Ven, Compact complex surfaces, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 4, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2004, xii+436 pp.
  10. C. Birkar, “Singularities of linear systems and boundedness of Fano varieties”, Ann. of Math. (2), 193:2 (2021), 347–405
  11. C. Birkenhake, H. Lange, Complex tori, Progr. Math., 177, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, xvi+251 pp.
  12. C. Birkenhake, H. Lange, Complex abelian varieties, Grundlehren Math. Wiss., 302, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2004, xii+635 pp.
  13. S. Bochner, D. Montgomery, “Groups on analytic manifolds”, Ann. of Math. (2), 48:3 (1947), 659–669
  14. R. Brauer, W. Feit, “An analogue of Jordan's theorem in characteristic $p$”, Ann. of Math. (2), 84:2 (1966), 119–131
  15. F. Campana, “Connexite rationnelle des varietes de Fano”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4), 25:5 (1992), 539–545
  16. Ф. Кампана, Т. Петернел, “Глава 8. Пространства циклов”, Комплексный анализ – многие переменные – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 74, ВИНИТИ, М., 1996, 409–448
  17. Y. Chen, C. Shramov, Automorphisms of surfaces over fields of positive characteristic, 2022 (v1 – 2021), 46 pp.
  18. M. J. Collins, “On Jordan's theorem for complex linear groups”, J. Group Theory, 10:4 (2007), 411–423
  19. B. Csikos, L. Pyber, E. Szabo, Diffeomorphism groups of compact 4-manifolds are not always Jordan, 2014, 4 pp.
  20. Г. Детлоф, Г. Грауэрт, “Глава 4. Полунормальные комплексные пространства”, Комплексный анализ – многие переменные – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 74, ВИНИТИ, М., 1996, 237–283
  21. G. Fischer, Complex analytic geometry, Lecture Notes in Math., 538, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1976, vii+201 pp.
  22. W. Fischer, H. Grauert, “Lokal-triviale Familien kompakter komplexer Mannigfaltigkeiten”, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II, 1965 (1965), 89–94
  23. A. Fujiki, “On automorphism groups of compact Kähler manifolds”, Invent. Math., 44:3 (1978), 225–258
  24. A. Fujiki, “On the minimal models of complex manifolds”, Math. Ann., 253:2 (1980), 111–128
  25. A. Fujiki, “Deformation of uniruled manifolds”, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 17:2 (1981), 687–702
  26. А. С. Голота, “Свойство Жордана для групп бимероморфных автоморфизмов компактных кэлеровых пространств размерности 3”, Матем. сб., 214:1 (2023), 31–42
  27. P. Graf, M. Schwald, “On the Kodaira problem for uniruled Kähler spaces”, Ark. Mat., 58:2 (2020), 267–284
  28. Р. Ганнинг, Х. Росси, Аналитические функции многих комплексных переменных, Мир, М., 1969, 395 с.
  29. A. Höring, Th. Peternell, “Minimal models for Kähler threefolds”, Invent. Math., 203:1 (2016), 217–264
  30. F. Hu, “Jordan property for algebraic groups and automorphism groups of projective varieties in arbitrary characteristic”, Indiana Univ. Math. J., 69:7 (2020), 2493–2504
  31. D. Huybrechts, Complex geometry. An introduction, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 2005, xii+309 pp.
  32. C. Jordan, “Memoire sur les equations differentielles lineaires à integrale algebrique”, J. Reine Angew. Math., 1877:84 (1877), 89–215
  33. G. R. Kempf, Complex abelian varieties and theta functions, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 1991, x+105 pp.
  34. J. H. Kim, “Jordan property and automorphism groups of normal compact Kähler varieties”, Commun. Contemp. Math., 20:3 (2018), 1750024, 9 pp.
  35. J. Kollar, Rational curves on algebraic varieties, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 32, Springer-Verlag, Berlin, 1996, viii+320 pp.
  36. A. Kuznetsova, “Automorphisms of quasi-projective surfaces over fields of finite characteristic”, J. Algebra, 595 (2022), 271–278
  37. С. Ленг, Алгебра, Мир, М., 1968, 564 с.
  38. M. J. Larsen, R. Pink, “Finite subgroups of algebraic groups”, J. Amer. Math. Soc., 24:4 (2011), 1105–1158
  39. E. E. Levi, “Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse”, Ann. Mat. Pura Appl. (3), 17 (1910), 61–87
  40. D. I. Lieberman, “Compactness of the Chow scheme: applications to automorphisms and deformations of Kähler manifolds”, Fonctions de plusieurs variables complexes. III, Sem. François Norguet, 1975–1977, Lecture Notes in Math., 670, Springer, Berlin, 1978, 140–186
  41. T. Mabuchi, “Invariant $beta$ and uniruled threefolds”, J. Math. Kyoto Univ., 22:3 (1982/83), 503–554
  42. L. N. Mann, J. C. Su, “Actions of elementary $p$-groups on manifolds”, Trans. Amer. Math. Soc., 106 (1963), 115–126
  43. S. Meng, F. Perroni, De-Qi Zhang, “Jordan property for automorphism groups of compact spaces in Fujiki's class $mathscr{C}$”, J. Topol., 15:2 (2022), 806–814
  44. S. Meng, D.-Q. Zhang, “Jordan property for non-linear algebraic groups and projective varieties”, Amer. J. Math., 140:4 (2018), 1133–1145
  45. Y. Miyaoka, “On the Kodaira dimension of minimal threefolds”, Math. Ann., 281:2 (1988), 325–332
  46. D. Mumford, “On the equations defining abelian varieties. I”, Invent. Math., 1 (1966), 287–354
  47. I. Mundet i Riera, “Jordan's theorem for the diffeomorphism group of some manifolds”, Proc. Amer. Math. Soc., 138:6 (2010), 2253–2262
  48. I. Mundet i Riera, Finite group actions on manifolds without odd cohomology, 2014 (v1 – 2013), 34 pp.
  49. I. Mundet i Riera, “Finite group actions on 4-manifolds with nonzero Euler characteristic”, Math. Z., 282:1-2 (2016), 25–42
  50. I. Mundet i Riera, “Finite groups acting symplectically on $T^2times S^2$”, Trans. Amer. Math. Soc., 369:6 (2017), 4457–4483
  51. I. Mundet i Riera, “Non Jordan groups of diffeomorphisms and actions of compact Lie groups on manifolds”, Transform. Groups, 22:2 (2017), 487–501
  52. I. Mundet i Riera, “Finite group actions on homology spheres and manifolds with nonzero Euler characteristic”, J. Topol., 12:3 (2019), 744–758
  53. I. Mundet i Riera, A. Turull, “Boosting an analogue of Jordan's theorem for finite groups”, Adv. Math., 272 (2015), 820–836
  54. R. Narasimhan, Introduction to the theory of analytic spaces, Lecture Notes in Math., 25, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1966, iii+143 pp.
  55. Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик, “Основы теории групп Ли”, Группы Ли и алгебры Ли – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 20, ВИНИТИ, М., 1988, 5–101
  56. Т. Петернел, “Глава 7. Модификации”, Комплексный анализ – многие переменные – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 74, ВИНИТИ, М., 1996, 365–408
  57. Т. Петернел, Р. Реммерт, “Глава 2. Дифференциальное исчисление, голоморфные отображения и линейные структуры на комплексных пространствах”, Комплексный анализ – многие переменные – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 74, ВИНИТИ, М., 1996, 133–192
  58. V. L. Popov, “On the Makar-Limanov, Derksen invariants, and finite automorphism groups of algebraic varieties”, Affine algebraic geometry, CRM Proc. Lecture Notes, 54, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, 289–311
  59. V. L. Popov, “Jordan groups and automorphism groups of algebraic varieties”, Automorphisms in birational and affine geometry, Springer Proc. Math. Stat., 79, Springer, Cham, 2014, 185–213
  60. В. Л. Попов, “Конечные подгруппы групп диффеоморфизмов”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 150-летию со дня рождения академика Владимира Андреевича Стеклова, Труды МИАН, 289, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2015, 235–241
  61. V. L. Popov, “The Jordan property for Lie groups and automorphism groups of complex spaces”, Math. Notes, 103:5 (2018), 811–819
  62. Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Jordan property for groups of birational selfmaps”, Compos. Math., 150:12 (2014), 2054–2072
  63. Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Jordan property for Cremona groups”, Amer. J. Math., 138:2 (2016), 403–418
  64. Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Jordan constant for Cremona group of rank 3”, Mosc. Math. J., 17:3 (2017), 457–509
  65. Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Finite groups of birational selfmaps of threefolds”, Math. Res. Lett., 25:3 (2018), 957–972
  66. Ю. Г. Прохоров, К. А. Шрамов, “Группы автоморфизмов трехмерных мойшезоновых многообразий”, Матем. заметки, 106:4 (2019), 636–640
  67. Ю. Г. Прохоров, К. А. Шрамов, “Ограниченные группы автоморфизмов компактных комплексных поверхностей”, Матем. сб., 211:9 (2020), 105–118
  68. Ю. Г. Прохоров, К. А. Шрамов, “Конечные группы бимероморфных автоморфизмов унилинейчатых трехмерных кэлеровых многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:5 (2020), 169–196
  69. Yu. Prokhorov, C. Shramov, “Automorphism groups of compact complex surfaces”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2021:14 (2021), 10490–10520
  70. Ю. Г. Прохоров, К. А. Шрамов, “Конечные группы бимероморфных автоморфизмов неунилинейчатых трехмерных кэлеровых многообразий”, Матем. сб., 213:12 (2022), 86–108
  71. Ю. Г. Прохоров, К. А. Шрамов, “Свойство Жордана для группы Кремоны над конечным полем”, Труды МИАН, 320 (2023), 298–310
  72. C. P. Ramanujam, “On a certain purity theorem”, J. Indian Math. Soc. (N. S.), 34 (1971), 1–9
  73. R. Remmert, “Holomorphe und meromorphe Abbildungen komplexer Räume”, Math. Ann., 133 (1957), 328–370
  74. J.-P. Serre, “Geometrie algebrique et geometrie analytique”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 6 (1955/56), 1–42
  75. J.-P. Serre, “Bounds for the orders of the finite subgroups of $G(k)$”, Group representation theory, EPFL Press, Lausanne, 2007, 405–450
  76. J.-P. Serre, “A Minkowski-style bound for the orders of the finite subgroups of the Cremona group of rank 2 over an arbitrary field”, Mosc. Math. J., 9:1 (2009), 183–198
  77. J.-P. Serre, Finite groups. An introduction, 2nd ed., International Press, Sommerville, MA; Higher Education Press, Beijing, 2022, 192 pp.
  78. C. Shramov, “Fiberwise bimeromorphic maps of conic bundles”, Internat. J. Math., 30:11 (2019), 1950059, 12 pp.
  79. C. Shramov, V. Vologodsky, Automorphisms of pointless surfaces, 2020 (v1 – 2018), 46 pp.
  80. C. Shramov, V. Vologodsky, “Boundedness for finite subgroups of linear algebraic groups”, Trans. Amer. Math. Soc., 374:12 (2021), 9029–9046
  81. Y.-T. Siu, “Extension of meromorphic maps into Kähler manifolds”, Ann. of Math. (2), 102:3 (1975), 421–462
  82. C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, v. I, Cambridge Stud. Adv. Math., 76, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, x+322 pp.
  83. J. Winkelmann, “Realizing countable groups as automorphism groups of Riemann surfaces”, Doc. Math., 6 (2001), 413–417
  84. E. Yasinsky, “The Jordan constant for Cremona group of rank 2”, Bull. Korean Math. Soc., 54:5 (2017), 1859–1871
  85. Yu. G. Zarhin, “Theta groups and products of abelian and rational varieties”, Proc. Edinb. Math. Soc. (2), 57:1 (2014), 299–304
  86. Yu. G. Zarhin, “Jordan groups and elliptic ruled surfaces”, Transform. Groups, 20:2 (2015), 557–572
  87. Ю. Г. Зархин, “Комплексные торы, тэта-группы и их свойства Жордана”, Алгебра, теория чисел и алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Игоря Ростиславовича Шафаревича, Труды МИАН, 307, МИАН, М., 2019, 32–62
  88. B. P. Zimmermann, “On Jordan type bounds for finite groups acting on compact 3-manifolds”, Arch. Math. (Basel), 103:2 (2014), 195–200

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Bandman T., Zarhin Y.G.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».