On Dirac's generalized Hamiltonian dynamics
- Authors: Kozlov V.V.1
-
Affiliations:
- Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 79, No 4 (2024)
- Pages: 95-130
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/0042-1316/article/view/261177
- DOI: https://doi.org/10.4213/rm10183
- ID: 261177
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
Рассматриваются различные аспекты обобщённой гамильтоновой динамики Дирака. Исходный пункт – это гамильтонова система на симплектическом многообразии, на котором ещё задано распределение многомерных касательных плоскостей. Требуется изменить гамильтоново векторное поле таким образом, чтобы это распределение было инвариантным относительно фазового потока изменённой динамической системы. Эта задача может быть решена различными способами. В самом простом из них гамильтоново векторное поле проектируется на касательные плоскости распределения с помощью симплектической структуры – замкнутой невырожденной 2-формы на симплектическом многообразии (которая задаёт симплектическую геометрию на плоскостях, касательных к фазовому пространству). Если заданное распределение интегрируемо, то такой подход приводит к обобщённой гамильтоновой динамике, развитой Дираком (и другими авторами) для целей квантования систем с вырожденным по скоростям лагранжианом. В применении к механике лагранжевых систем с неинтегрируемыми связями этот подход даёт классические неголономные системы. Другой подход основан на определении движения гамильтоновых систем с дифференциальными связями как экстремалей вариационной задачи со связями, где в качестве функционала берётся действие по Пуанкаре–Гельмгольцу. В случае неинтегрирумых связей получаем динамические системы совершенно другого типа. Если этот подход применить к лагранжевым системам с неинтегрируемыми связями, то получим уравнения движения в так называемой вакономной динамике. В качестве примера рассматривается геометрическая оптика, которая основывается на вариационном принципе Ферма с лагранжианом, однородным по скоростям со степенью 1. Библиография: 34 названия.
Keywords
About the authors
Valery Vasil'evich Kozlov
Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
Email: vvkozlov@presidium.ras.ru
Scopus Author ID: 7402207934
ResearcherId: Q-4001-2016
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- P. A. M. Dirac, “Generalized Hamiltonian dynamics”, Canad. J. Math., 2:2 (1950), 129–148
- P. A. M. Dirac, “Generalized Hamiltonian dynamics”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 246 (1958), 326–332
- J. L. Anderson, P. G. Bergmann, “Constraints in covariant field theories”, Phys. Rev. (2), 83:5 (1951), 1018–1025
- Б. В. Медведев, “П. А. М. Дирак и логические основы квантовой теории. II”: П. А. М. Дирак, Собрание научных трудов, т. III, Физматлит, М., 2004, 649–650
- В. В. Козлов, Общая теория вихрей, 2-е испр. и доп. изд., Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2013, 324 с.
- Л. Янг, Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Мир, М., 1974, 488 с.
- A. J. Hanson, T. Regge, C. Teitelboim, Constrained Hamiltonian systems, Accad. Naz. Lincei, Rome, 1976, 135 pp.
- В. В. Нестеренко, А. М. Червяков, “Некоторые свойства связей в теориях с вырожденными лагранжианами”, ТМФ, 64:1 (1985), 82–91
- L. Faddeev, R. Jackiw, “Hamiltonian reduction of unconstrained and constrained systems”, Phys. Rev. Lett., 60:17 (1988), 1692–1694
- Б. М. Барбашов, “Гамильтонов формализм для лагранжевых систем с заданными связями”, Физика элементарных частиц и атомного ядра, 34:1 (2003), 5–42
- Дж. Д. Биркгоф, Динамические системы, Гостехиздат, М.–Л., 1941, 320 с.
- E. Newman, P. G. Bergmann, “Lagrangians linear in the “velocities””, Phys. Rev. (2), 99:2 (1955), 587–592
- Ф. А. Березин, “Гамильтонов формализм в общей задаче Лагранжа”, УМН, 29:3(177) (1974), 183–184
- В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, 2-е перераб. и доп. изд., Едиториал УРСС, М., 2002, 416 с.
- М. В. Дерябин, “О гамильтоновом формализме Дирака и реализации связей малыми массами”, ПММ, 64:1 (2000), 41–45
- Д. Р. Меркин, Гироскопические системы, 2-е изд., Наука, М., 1974, 344 с.
- В. В. Стрыгин, В. А. Соболев, Разделение движений методом интегральных многообразий, Наука, М., 1988, 256 с.
- А. Ю. Ишлинский, Механика гироскопических систем, 2-е изд., Изд-во АН СССР, М., 1963, 482 с.
- В. В. Козлов, “Динамика систем с большими гироскопическими силами и реализация связей”, ПММ, 78:3 (2014), 307–315
- А. В. Влахова, “О ‘неголономных движениях’ гироскопических и колесных систем”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2013, № 5, 67–73
- А. В. Влахова, “Динамика систем с качением и гироскопических систем с малыми обобщенными скоростями и реализация связей”, ПММ, 78:6 (2014), 790–807
- Э. Картан, Интегральные инварианты, Гостехиздат, М.–Л., 1940, 216 с.
- А. Ф. Филиппов, “Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью”, Матем. сб., 51(93):1 (1960), 99–128
- В. И. Уткин, Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой, Наука, М., 1974, 272 с.
- П. Аппель, Теоретическая механика, т. I, II, Физматлит, М., 1960, 1004 с.
- V. V. Kozlov, “On the integration theory of equations of nonholonomic mechanics”, Regul. Chaotic. Dyn., 7:2 (2002), 161–176
- В. В. Козлов, “Квадратичные законы сохранения уравнений математической физики”, УМН, 75:3(453) (2020), 55–106
- Г. А. Блисс, Лекции по вариационному исчислению, ИЛ, М., 1950, 349 с.
- В. В. Козлов, “Динамика систем с неинтегрируемыми связями. I”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1982, № 3, 92–100
- R. S. Strichartz, “Sub-Riemannian geometry”, J. Differential Geom., 24:2 (1986), 221–263
- Ф. Гриффитс, Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление, Мир, М., 1986, 360 с.
- А. М. Вершик, В. Я. Гершкович, “Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи”, Динамические системы – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 16, ВИНИТИ, М., 1987, 5–85
- А. А. Аграчев, “Некоторые вопросы субримановой геометрии”, УМН, 71:6(432) (2016), 3–36
- Г. Р. Герц, Принципы механики, изложенные в новой связи, Изд-во АН СССР, М., 1959, 386 с.
Supplementary files
