Том 75, № 1 (2020)

Приводится обзор теории аттракторов для нелинейных гамильтоновых уравнений с частными производными начиная с момента ее возникновения в 1990 г. Данный обзор включает результаты по глобальному притяжению к стационарным состояниям, солитонам и стационарным орбитам, а также результаты по адиабатической эффективной динамике солитонов и их асимптотической устойчивости. Кроме того, дан обзор результатов по численному моделированию. Формулируется новая общая гипотеза об аттракторах $G$-инвариантных нелинейных гамильтоновых уравнений в частных производных, обобщающая полученные результаты. Эта гипотеза приводит к новой динамической интерпретации основных квантовых феноменов: боровских переходов между квантовыми стационарными состояниями, корпускулярно-волновой двойственности де Бройля и вероятностной интерпретации Борна. Библиография: 212 названий.

Основываясь на понятии резольвенты и тождествах Гильберта, мы излагаем с единой точки зрения ряд классических результатов теории дифференциальных операторов и некоторые их приложения к теории автоморфных функций и теории чисел. Так, для оператора Штурма–Лиувилля приведен вывод формулы следов Гельфанда–Левитана, а для одномерного оператора Шрёдингера – вывод формулы Л. Д. Фаддеева для характеристического определителя и тождеств следов Захарова–Фаддеева. Далее излагаются недавно полученные результаты из спектральной теории одного функционально-разностного оператора, возникающего в конформной теории поля. Последний раздел обзора посвящен оператору Лапласа на фундаментальной области фуксовой группы первого рода на плоскости Лобачевского. Приводится алгебраическая схема доказательства аналитического продолжения ядра резольвенты оператора Лапласа и рядов Эйзенштейна–Мааса. В заключение обсуждается связь значений рядов Эйзенштейна–Мааса в точках Хегнера с дзета-функциями Дедекинда мнимых квадратичных полей и объясняется, почему использование псевдопараболических форм для случая модулярной группы не дает никакой информации о нулях дзета-функции Римана. Библиография: 50 названий.