Turan, Fejer and Bohman extremal problems for the multivariate Fourier transform in terms of the eigenfunctions of a Sturm-Liouville problem

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The Turan, Fejer and Bohman extremal problems for the multivariate Fourier transform in terms of the eigenfunctions of a Sturm-Liouville problem on the Cartesian product of half-lines are solved under natural conditions on a weight function defined as a product of one-dimensional weight functions. Extremal functions are constructed. A multivariate Markov quadrature formula is proved based on the zeros of eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem. This quadrature formula is shown to be sharp on entire multivariate functions of exponential type. A Paley-Wiener type theorem is proved for the multivariate Fourier transform. A weighted $L^2$-analogue of the Kotel'nikov-Nyquist-Whittaker-Shannon sampling theorem is put forward. Bibliography: 42 titles.

About the authors

Dmitry Viktorovich Gorbachev

Tula State University

Email: dvgmail@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Valerii Ivanovich Ivanov

Tula State University

Email: ivaleryi@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, 2-е изд., Наука, М., 1965, 407 с.
  2. Е. Е. Бердышева, “Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных”, Матем. заметки, 66:3 (1999), 336–350
  3. Р. А. Вепринцев, “Приближение в $L_2$ частичными интегралами многомерного преобразования Якоби”, Матем. заметки, 97:6 (2015), 815–831
  4. Д. В. Горбачев, “Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа”, Матем. заметки, 68:2 (2000), 179–187
  5. Д. В. Горбачев, “Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки $mathbb{R}^n$ шарами”, Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мех. Информ., 6:1 (2000), 71–78
  6. Д. В. Горбачев, “Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре”, Матем. заметки, 69:3 (2001), 346–352
  7. Д. В. Горбачев, А. С. Маношина, “Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения”, Матем. заметки, 76:5 (2004), 688–700
  8. Д. В. Горбачев, “Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье–Ганкеля”, Изв. ТулГУ. Естеств. науки, 2014, № 4, 5–10
  9. Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, “Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля, точные для целых функций экспоненциального типа”, Матем. сб., 206:8 (2015), 63–98
  10. Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, “Экстремальная задача Бомана для преобразования Якоби”, Тр. ИММ УрО РАН, 22, № 4, 2016, 126–135
  11. Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, Р. А. Вепринцев, “Приближение в $L_2$ частичными интегралами многомерного преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля”, Тр. ИММ УрО РАН, 22, № 4, 2016, 136–152
  12. Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, “Некоторые экстремальные задачи для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля”, Чебышевский сб., 18:2 (2017), 34–53
  13. Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, Е. П. Офицеров, О. И. Смирнов, “Некоторые экстремальные задачи гармонического анализа и теории приближений”, Чебышевский сб., 18:4 (2017), 139–166
  14. В. И. Иванов, Ю. Д. Рудомазина, “О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем”, Матем. заметки, 77:6 (2005), 941–945
  15. В. И. Иванов, Д. В. Горбачев, Ю. Д. Рудомазина, “Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье”, Теория функций, Сборник научных трудов, Тр. ИММ УрО РАН, 11, № 2, 2005, 92–111
  16. В. И. Иванов, “О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций”, Матем. заметки, 80:6 (2006), 934–939
  17. В. И. Иванов, Лю Юнпин, О. И. Смирнов, “О некоторых классах целых функций экспоненциального типа в пространствах $L_p(mathbb{R}^d)$ со степенным весом”, Изв. ТулГУ. Естеств. науки, 2011, № 2, 70–80
  18. В. И. Иванов, Лю Юнпин, О. И. Смирнов, “Некоторые классы целых функций экспоненциального типа в пространствах $L_p(mathbb{R}^d)$ со степенным весом”, Изв. ТулГУ. Естеств. науки, 2014, № 4, 26–34
  19. С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., перераб. и доп., Наука, 1977, 455 с.
  20. N. B. Andersen, M. de Jeu, “Elementary proofs of Paley–Wiener theorems for the Dunkl transform on the real line”, Int. Math. Res. Not., 2005:30 (2005), 1817–1831
  21. V. V. Arestov, E. E. Berdysheva, “The Turan problem for a class of polytopes”, East J. Approx., 8:3 (2002), 381–388
  22. G. Bianchi, M. Kelly, “A Fourier analytic proof of the Blaschke–Santalo inequality”, Proc. Amer. Math. Soc., 143:11 (2015), 4901–4912
  23. R. P. Boas, Jr., M. Kac, “Inequalities for Fourier transforms of positive functions”, Duke Math. J., 12 (1945), 189–206
  24. H. Bohman, “Approximate Fourier analysis of distribution functions”, Ark. Mat., 4:2-3 (1961), 99–157
  25. L. de Branges, Hilbert spaces of entire functions, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1968, ix+326 pp.
  26. H. Cohn, “New upper bounds on sphere packings. II”, Geom. Topol., 6 (2002), 329–353
  27. H. Cohn, A. Kumar, S. D. Miller, D. Radchenko, M. Viazovska, “The sphere packing problem in dimension 24”, Ann. of Math. (2), 185:3 (2017), 1017–1033
  28. W. Ehm, T. Gneiting, D. Richards, “Convolution roots of radial positive definite functions with compact support”, Trans. Amer. Math. Soc., 356:11 (2004), 4655–4685
  29. C. Frappier, P. Olivier, “A quadrature formula involving zeros of Bessel functions”, Math. Comp., 60:201 (1993), 303–316
  30. R. B. Ghanem, C. Frappier, “Explicit quadrature formulae for entire functions of exponential type”, J. Approx. Theory, 92:2 (1998), 267–279
  31. D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, R. A. Veprintsev, “Optimal argument in the sharp Jackson's inequality in the space $L_2$ with hyperbolic weight”, Math. Notes, 96:6 (2014), 904–913
  32. D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, O. I. Smirnov, “The Delsarte extremal problem for the Jacobi transform”, Math. Notes, 100:5 (2016), 677–686
  33. D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, O. I. Smirnov, “Some extremal problems for the Fourier transform on the hyperboloid”, Math. Notes, 102:4 (2017), 480–491
  34. G. R. Grozev, Q. I. Rahman, “A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes”, Math. Comp., 64:210 (1995), 715–725
  35. V. I. Ivanov, A. V. Ivanov, “Turan problems for periodic positive definite functions”, Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput., 33 (2010), 219–237
  36. M. N. Kolountzakis, Sz. Gy. Revesz, “On a problem of Turan about positive definite functions”, Proc. Amer. Math. Soc., 131:11 (2003), 3423–3430
  37. M. N. Kolountzakis, Sz. Gy. Revesz, “Turan's extremal problem for positive definite functions on groups”, J. London Math. Soc. (2), 74:2 (2006), 475–496
  38. T. Koornwinder, “A new proof of a Paley–Wiener type theorem for the Jacobi transform”, Ark. Mat., 13:1-2 (1975), 145–159
  39. B. F. Logan, “Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. II. Eventually negative functions”, SIAM J. Math. Anal., 14:2 (1983), 253–257
  40. Sz. Gy. Revesz, “Turan's extremal problem on locally compact abelian groups”, Anal. Math., 37:1 (2011), 15–50
  41. C. L. Siegel, “Über Gitterpunkte in convexen Körpern und ein damit zusammenhängendes Extremalproblem”, Acta Math., 65:1 (1935), 307–323
  42. M. S. Viazovska, “The sphere packing problem in dimension 8”, Ann. of Math. (2), 185:3 (2017), 991–1015

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Gorbachev D.V., Ivanov V.I.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».