Universality of $L$-Dirichlet functions and nontrivial zeros of the Riemann zeta-function

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We prove a joint discrete universality theorem for Dirichlet $L$-functions concerning joint approximation of a tuple of analytic functions by shifts $L(s+ih\gamma_k, \chi_1),…,L(s+ih\gamma_k,\chi_r)$, where $0<\gamma_1<\gamma_2<\dotsb$ is the sequence of imaginary parts of the nontrivial zeros of the Riemann zeta-function, $h$ is a fixed positive number, and $\chi_1,…,\chi_r$ are pairwise nonequivalent Dirichlet characters. We use a weak form of Montgomery's conjecture on the correlation of pairs of zeros of the Riemann zeta-function in the analysis. Moreover, we show the universality of certain compositions of Dirichlet $L$-functions with operators in the space of analytic functions. Bibliography: 31 titles.

About the authors

Antanas P. Laurinčikas

Faculty of Mathematics and Informatics, Vilnius University

Email: antanas.laurincikas@mif.vu.lt
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Jurgita Petuškinaitė

Faculty of Mathematics and Informatics, Vilnius University

References

  1. B. Bagchi, The statistical behaviour and universality properties of the Riemann zeta-function and other allied Dirichlet series, PhD thesis, Indian Stat. Inst., Calcutta, 1981
  2. P. Billingsley, Convergence of probability measures, John Wiley & Sons, Inc., New York–London–Sydney, 1968, xii+253 pp.
  3. E. Buivydas, A. Laurinčikas, “A discrete version of the Mishou theorem”, Ramanujan J., 38:2 (2015), 331–347
  4. E. Buivydas, A. Laurinčikas, “A generalized discrete universality theorem for the Riemann and Hurwitz zeta-functions”, Lith. Math. J., 55:2 (2015), 193–206
  5. R. Garunkštis, A. Laurinčikas, R. Macaitien{. e}, “Zeros of the Riemann zeta-function and its universality”, Acta Arith., 181:2 (2017), 127–142
  6. A. Dubickas, A. Laurinčikas, “Joint discrete universality of Dirichlet $L$-functions”, Arch. Math. (Basel), 104:1 (2015), 25–35
  7. A. Dubickas, A. Laurinčikas, “Distribution modulo 1 and the discrete universality of the Riemann zeta-function”, Abh. Math. Semin. Univ. Hambg., 86:1 (2016), 79–87
  8. Х. Хейер, Вероятностные меры на локально компактных группах, Мир, М., 1981, 702 с.
  9. Л. Кейперс, Г. Нидеррейтер, Равномерное распределение последовательностей, Наука, М., 1985, 408 с.
  10. A. Laurinčikas, Limit theorems for the Riemann zeta-function, Math. Appl., 352, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1996, xiv+297 pp.
  11. A. Laurinčikas, “On joint universality of Dirichlet $L$-functions”, Чебышевский сб., 12:1 (2011), 124–139
  12. A. Laurinčikas, “Discrete universality of the Riemann zeta-function and uniform distribution modulo 1”, Алгебра и анализ, 30:1 (2018), 139–150
  13. А. Лауринчикас, “Совместная дискретная универсальность дзета-функций Гурвица”, Матем. сб., 205:11 (2014), 75–94
  14. А. Лауринчикас, “Дискретная версия теоремы Мишу. II”, Аналитическая и комбинаторная теория чисел, Сборник статей. К 125-летию со дня рождения академика Ивана Матвеевича Виноградова, Тр. МИАН, 296, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 181–191
  15. A. Laurinčikas, “Joint value distribution theorems for the Riemann and Hurwitz zeta-functions”, Mosc. Math. J., 18:2 (2018), 349–366
  16. A. Laurinčikas, “Joint discrete universality for periodic zeta-functions”, Quaest. Math., 42:5 (2019), 687–699
  17. A. Laurinčikas, R. Macaitien{. e}, D. Šiaučiūnas, “Uniform distribution modulo 1 and the joint universality of Dirichlet $L$-functions”, Lith. Math. J., 56:4 (2016), 529–539
  18. А. Лауринчикас, Л. Мешка, “Уточнение неравенства универсальности”, Матем. заметки, 96:6 (2014), 905–910
  19. R. Macaitien{. e}, “On discrete universality of the Riemann zeta-function with respect to uniformly distributed shifts”, Arch. Math. (Basel), 108:3 (2017), 271–281
  20. С. Н. Мергелян, “Равномерные приближения функций комплексного переменного”, УМН, 7:2(48) (1952), 31–122
  21. H. L. Montgomery, “The pair correlation of zeros of the zeta function”, Analytic number theory (St. Louis Univ., St. Louis, MO, 1972), Proc. Sympos. Pure Math., 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1973, 181–193
  22. Г. Монтгомери, Мультипликативная теория чисел, Мир, М., 1974, 160 с.
  23. Ł. Pankowski, “Joint universality for dependent $L$-functions”, Ramanujan J., 45:1 (2018), 181–195
  24. A. Reich, “Werteverteilung von Zetafunktionen”, Arch. Math. (Basel), 34 (1980), 440–451
  25. J. Steuding, Value-distribution of $L$-functions, Lecture Notes in Math., 1877, Springer, Berlin, 2007, xiv+317 pp.
  26. J. Steuding, “The roots of the equation $zeta(s)=a$ are uniformly distributed modulo one”, Analytic and probabilistic methods in number theory, TEV, Vilnius, 2012, 243–249
  27. E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function, 2nd ed., The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1986, x+412 pp.
  28. С. М. Воронин, “Теорема об “универсальности” дзета-функции Римана”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:3 (1975), 475–486
  29. С. М. Воронин, “О функциональной независимости $L$-функций Дирихле”, Acta Arith., 27 (1975), 493–503
  30. С. М. Воронин, А. А. Карацуба, Дзета-функция Римана, Физматлит, М., 1994, 376 с.
  31. С. М. Воронин, Избранные труды: математика, Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, М., 2006, 480 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Laurinčikas A.P., Petuškinaitė J.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).