“Мигающие” и “планирующие” частоты собственных колебаний упругих тел с обломанным пикообразным заострением

Изучен спектр плоской задачи теории упругости для тела $\Omega^h$ с пикообразным заострением, от которого обломан кончик пика малой длины $h>0$. Известно, что спектр задачи для тела $\Omega^0$ с целым пиком приобретает непрерывную компоненту $[\Lambda_\dagger,+\infty)$ с положительной точкой отсечки $\Lambda_\dagger>0$. Установлено, что каждая точка $\Lambda>\Lambda_\dagger$ – “мигающее” собственное число, т.е. она – истинное собственное число задачи в $\Omega^{h}$ “почти периодически” в логарифмическом масштабе $|\ln h|$. Среди семейств собственных чисел $\Lambda^h_{m(h)}$, непрерывно зависящих от параметра $h$, обнаружены “планирующие” собственные числа, т.е. спускающиеся вниз с большой скоростью $O((\Lambda^h_{m(h)}-\Lambda_\dagger)h^{-1}|\ln h|^{-1})$ вдоль вещественной оси, но плавно садящиеся на порог $\Lambda_\dagger$. Таким образом, выявлен новый способ формирования непрерывного спектра задачи для пикообразного тела $\Omega^0$ из совокупности дискретных спектров задач в $\Omega^h$, $h>0$. Кроме того, возможно появление “малоподвижных” собственных чисел, которые в противоположность “планирующим” остаются в малой окрестности фиксированной точки при всех малых $h$. Библиография: 30 названий.

затупленное пикообразное заострение, плоское упругое изотропное тело, дискретный и непрерывный спектры, асимптотика, “мигающие” и “планирующие” собственные частоты