Optimal position of compact sets and the Steiner problem in spaces with Euclidean Gromov-Hausdorff metric

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We study the geometry of the metric space of compact subsets of $\mathbb R^n$ considered up to an orientation-preserving motion. We show that, in the optimal position of a pair of compact sets (for which the Hausdorff distance between the sets cannot be decreased), one of which is a singleton, this point is at the Chebyshev centre of the other. For orientedly similar compacta we evaluate the Euclidean Gromov-Hausdorff distance between them and prove that, in the optimal position, the Chebyshev centres of these compacta coincide. We show that every three-point metric space can be embedded isometrically in the space of compacta under consideration. We prove that, for a pair of optimally positioned compacta all compacta that lie in between in the sense of the Hausdorff metric also lie in between in the sense of the Euclidean Gromov-Hausdorff metric. For an arbitrary $n$-point boundary formed by compact sets of a set $\mathscr X$ that are neighbourhoods of segments, the Steiner point realizes the minimal filling and also belongs to the set $\mathscr X$. Bibliography: 14 titles.

About the authors

Olga Sergeevna Malysheva

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

Email: osm95@mail.ru
without scientific degree, no status

References

  1. D. Edwards, “The structure of superspace”, Studies in topology (Univ. North Carolina, Charlotte, NC, 1974), Academic Press, New York, 1975, 121–133
  2. M. Gromov, “Groups of polynomial growth and expanding maps”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 53 (1981), 53–73
  3. F. Memoli, “Gromov–Hausdorff distances in Euclidean spaces”, 2008 IEEE computer society conference on computer vision and pattern recognition workshops (Anchorage, AK, 2008), IEEE, 2008, 1–8
  4. А. Д. Кисловская, Геометрия конфигураций в пространствах с евклидово инвариантной метрикой типа Громова–Хаусдорфа, Дипломная работа, МГУ, М., 2013
  5. K. Lund, S. Schlicker, P. Sigmon, “Fibonacci sequences and the space of compact sets”, Involve, 1:2 (2008), 197–215
  6. А. Л. Казаков, П. Д. Лебедев, “Построение наилучших круговых аппроксимаций множеств на плоскости и на сфере”, XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014, ИПУ РАН, М., 2014, 1575–1586
  7. Е. Н. Сосов, Геометрии выпуклых и конечных множеств геодезического пространства, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, Казан. гос. ун-т, Казань, 2010, 256 с.
  8. А. О. Иванов, Н. К. Николаева, А. А. Тужилин, “Проблема Штейнера в пространстве Громова–Хаусдорфа: случай конечных метрических пространств”, Тр. ИММ УрО РАН, 23, № 4, 2017, 152–161
  9. Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов, Курс метрической геометрии, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2004, 512 с.
  10. А. Л. Гаркави, “О чебышeвском центре и выпуклой оболочке множества”, УМН, 19:6(120) (1964), 139–145
  11. А. О. Иванов, А. А. Тужилин, “Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении”, Матем. сб., 203:5 (2012), 65–118
  12. S. Iliadis, A. O. Ivanov, A. A. Tuzhilin, “Local structure of Gromov–Hausdorff space, and isometric embeddings of finite metric spaces into this space”, Topology Appl., 221 (2017), 393–398
  13. Г. Буземан, Геометрия геодезических, Физматгиз, М., 1962, 504 с.
  14. A. O. Ivanov, A. A. Tuzhilin, Gromov–Hausdorff distance, irreducible correspondences, Steiner problem, and minimal fillings

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2020 Malysheva O.S.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».