Email this article The problem of distinguishing between a centre and a focus in the space of vector fields with given Newton diagram
- Authors: Medvedeva N.B.1
-
Affiliations:
- Chelyabinsk State University
- Issue: Vol 211, No 10 (2020)
- Pages: 50-97
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/0368-8666/article/view/133352
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9186
- ID: 133352
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
We investigate the problem of distinguishing between a centre and a focus in the class of analytic vector fields with fixed Newton diagram, which satisfy certain natural conditions of general position. A method is proposed for constructing explicit expressions for the coefficients in the asymptotic representation of the monodromy transformation, known as the Dulac series. These are analogous to the Lyapunov focal quantities. These coefficients make it possible — up to an infinite-codimensional set of exceptional cases — to complete the stability analysis for a compound monodromic (that is, centre-focus) singular point. A computer-aided calculation of formulae for coefficients of the Dulac series is presented. Examples are treated of Newton diagrams with two and three edges. Bibliography: 30 titles.
About the authors
Nataliya Borisovna Medvedeva
Chelyabinsk State UniversityDoctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- Н. Б. Медведева, “Особые точки векторных полей на плоскости”, СОЖ, 1999, № 5, 121–127
- В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
- Yu. S. Il'yashenko, Finiteness theorems for limit cycles, Transl. from the Russian, Transl. Math. Monogr., 94, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, x+288 pp.
- Н. Б. Медведева, “Об аналитической разрешимости проблемы различения центра и фокуса”, Нелинейные аналитические дифференциальные уравнения, Сборник статей, Тр. МИАН, 254, Наука, М., 2006, 11–100
- В. И. Арнольд, “О локальных задачах анализа”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1970, № 2, 52–56
- Ю. С. Ильяшенко, “Алгебраически разрешимые локальные задачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 12, 1987, 118–136
- F. Dumortier, “Singularities of vector fields on the plane”, J. Differential Equations, 23:1 (1977), 53–106
- А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, ГИТТЛ, М.–Л., 1947, 392 с.
- A. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, ГИТТЛ, М.–Л., 1950, 471 с.
- A. М. Ляпунов, “Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения”, Общая задача об устойчивости движения, ГТТИ, М.–Л., 1950, 369–449
- R. Moussu, “Symmetrie et forme normale des centres et foyers degeneres”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 2:2 (1982), 241–251
- В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, 2-е изд., ГИТТЛ, М.–Л., 1949, 545 с.
- А. Д. Брюно, Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, Наука, М., 1979, 253 с.
- В. П. Варин, “Отображения последования некоторых полиномиальных систем дифференциальных уравнений”, Матем. сб., 195:7 (2004), 3–20
- Ю. С. Ильяшенко, “Алгебраическая неразрешимость и почти алгебраическая разрешимость проблемы центр–фокус”, Функц. анализ и его прил., 6:3 (1972), 30–37
- Ю. С. Ильяшенко, “Мемуар Дюлака “О предельных циклах” и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений”, УМН, 40:6(246) (1985), 41–78
- А. Дюлак, О предельных циклах, Наука, М., 1980, 157 с.
- Н. Б. Медведева, “Главный член преобразования монодромии монодромной особой точки линеен”, Сиб. матем. журн., 33:2 (1992), 116–124
- Н. Б. Медведева, Е. В. Мазаева, “Достаточное условие фокуса для монодромной особой точки”, Тр. ММО, 63, Изд-во Моск. ун-та, М., 2002, 87–114
- Н. Б. Медведева, “Главный член асимптотики преобразования монодромии: вычисление по геометрии раздутия”, Сиб. матем. журн., 38:1 (1997), 135–150
- А. С. Воронин, Н. Б. Медведева, “Устойчивость монодромных особых точек с фиксированной диаграммой Ньютона”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2009, № 3, 34–49
- А. С. Воронин, Н. Б. Медведева, “Асимптотика преобразования монодромии в случае двух четных ребер диаграммы Ньютона”, Вестник ЧелГУ, 2011, № 14, 12–26
- А. С. Воронин, Н. Б. Медведева, “Асимптотика преобразования монодромии в некоторых классах монодромных ростков”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:2 (2013), 35–52
- Н. Б. Медведева, “Об аналитической неразрешимости проблемы устойчивости на плоскости”, УМН, 68:5(413) (2013), 147–176
- Ф. С. Березовская, Н. Б. Медведева, “Асимптотика преобразования монодромии особой точки с фиксированной диаграммой Ньютона”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 15, Изд-во Моск. ун-та, М., 1991, 156–177
- Ж. Адамар, Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, Наука, М., 1978, 351 с.
- Н. Б. Медведева, “Асимптотическое разложение преобразования монодромии”, Челяб. физ.-матем. журн., 1:1 (2016), 56–72
- Н. Б. Медведева, “Критерий монодромности особой точки векторного поля на плоскости”, Алгебра и анализ, 13:2 (2001), 130–150
- Д. Н. Чергинец, “Функция соответствия для систем с простым седлом”, Вестник БГУ. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика, 2008, № 1, 71–76
- Н. Б. Медведева, В. А. Викторова, “Приближeнное вычисление интегралов Адамара специального вида”, Челяб. физ.-матем. журн., 4:4 (2019), 398–411
Supplementary files
