On Weyl multipliers of the rearranged trigonometric system

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We prove that the condition $\sum_{n=1}^\infty1/(nw(n))<\infty$ is necessary for an increasing sequence of numbers $w(n)$ to be an almost everywhere unconditional convergence Weyl multiplier for the trigonometric system. This property was known long ago for Haar, Walsh, Franklin and some other classical orthogonal systems. The proof of this result is based on a new sharp logarithmic lower bound on $L^2$ for the majorant operator related to the rearranged trigonometric system. Bibliography: 32 titles.

About the authors

Grigori Artashesovich Karagulyan

Yerevan State University, Faculty of Mathematics and Mechanics; Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Armenia

Email: g.karagulyan@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. С. В. Бочкарев, “Перестановки рядов Фурье–Уолша”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:5 (1979), 1025–1041
  2. С. В. Бочкарев, “О мажоранте частных сумм для переставленной системы Уолша”, Докл. АН СССР, 239:3 (1978), 509–510
  3. C. Demeter, “Singular integrals along $N$ directions in $mathbb R^2$”, Proc. Amer. Math. Soc., 138:12 (2010), 4433–4442
  4. Г. Г. Геворкян, “О множителях Вейля для безусловной сходимости рядов по системе Франклина”, Матем. заметки, 41:6 (1987), 789–797
  5. С. Ш. Галстян, “О сходимости и безусловной сходимости рядов Фурье”, Докл. РАН, 323:2 (1992), 216–218
  6. G. A. Karagulyan, “On systems of non-overlapping Haar polynomials”, Ark. Mat., 58:1 (2020), 121–131
  7. С. Качмаж, Г. Штейнгауз, Теория ортогональных рядов, Физматгиз, М., 1958, 507 с.
  8. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, 2-е изд., АФЦ, М., 1999, x+550 с.
  9. A. Kolmogoroff, D. Menchoff, “Sur la convergence des series de fonctions orthogonales”, Math. Z., 26:1 (1927), 432–441
  10. D. E. Menchoff, “Sur les series de fonctions orthogonales. I”, Fund. Math., 4 (1923), 82–105
  11. F. Moricz, “On the convergence of Fourier series in every arrangement of the terms”, Acta Sci. Math. (Szeged), 31 (1970), 33–41
  12. S. Nakata, “On the divergence of rearranged Fourier series of square integrable functions”, Acta Sci. Math. (Szeged), 32 (1971), 59–70
  13. S. Nakata, “On the divergence of rearranged trigonometric series”, Tohoku Math. J. (2), 27:2 (1975), 241–246
  14. S. Nakata, “On the unconditional convergence of Walsh series”, Anal. Math., 5:3 (1979), 201–205
  15. S. Nakata, “On the divergence of rearranged Walsh series”, Tohoku Math. J. (2), 24:2 (1972), 275–280
  16. А. М. Олевский, “Расходящиеся ряды Фурье”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 27:2 (1963), 343–366
  17. W. Orlicz, “Zur Theorie der Orthogonalreihen”, Bull. Intern. Acad. Sci. Polon. Cracovie, 1927, 81–115
  18. S. N. Poleščuk, “On the unconditional convergence of orthogonal series”, Anal. Math., 7:4 (1981), 265–275
  19. H. Rademacher, “Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen”, Math. Ann., 87:1-2 (1922), 112–138
  20. Constructive function theory {'} 81 (Varna, 1981), eds. B. Sendov, B. Boyanov, D. Vacov, R. Maleev, S. Markov, T. Boyanov, Publ. House Bulgar. Acad. Sci., Sofia, 1983, 598 pp.
  21. K. Tandori, “Über die orthogonalen Funktionen. X. (Unbedingte Konvergenz.)”, Acta Sci. Math. (Szeged), 23 (1962), 185–221
  22. K. Tandori, “Über die Divergenz der Walshschen Reihen”, Acta Sci. Math. (Szeged), 27 (1966), 261–263
  23. П. Л. Ульянов, “Расходящиеся ряды Фурье”, УМН, 16:3(99) (1961), 61–142
  24. П. Л. Ульянов, “Расходящиеся ряды Фурье класса $L^p$ ($pge2$)”, Докл. АН СССР, 137:4 (1961), 786–789
  25. П. Л. Ульянов, “О множителях Вейля для безусловной сходимости”, Матем. сб., 60(102):1 (1963), 39–62
  26. П. Л. Ульянов, “О множителях Вейля для безусловной сходимости ортогональных рядов”, Докл. АН СССР, 235:5 (1977), 1038–1041
  27. П. Л. Ульянов, “О точных множителях Вейля для безусловной сходимости”, Докл. АН СССР, 141:5 (1961), 1048–1049
  28. П. Л. Ульянов, “Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных рядов”, УМН, 19:1(115) (1964), 3–69
  29. П. Л. Ульянов, “А. Н. Колмогоров и расходящиеся ряды Фурье”, УМН, 38:4(232) (1983), 51–90
  30. П. Л. Ульянов, “Работы Д. Е. Меньшова по теории ортогональных рядов и их дальнейшее развитие”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1992, № 4, 8–24
  31. Z. Zahorski, “Une serie de Fourier permutee d'une fonction de classe $L^{2}$ divergente presque partout”, C. R. Acad. Sci. Paris, 251 (1960), 501–503
  32. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. II, Мир, М., 1965, 537 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Karagulyan G.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».