Variational method for elliptic systems with discontinuous nonlinearities

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A system of two elliptic equations with discontinuous nonlinearities and homogeneous Dirichlet boundary conditions is studied. Existence theorems for strong and semiregular solutions are deduced using a variational method. A strong solution is called semiregular if the set on which the values of the solution are points of discontinuity of the nonlinearity with respect to the phase variable has measure zero. Classes of nonlinearities are distinguished for which the assumptions of the theorems established here hold. The variational approach in this paper is based on the concept of a quasipotential operator, by contrast with the traditional approach, which uses the generalized Clark gradient. Bibliography: 22 titles.

About the authors

Vyacheslav Nikolaevich Pavlenko

Chelyabinsk State University

Email: pavlenko-vn@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Dmitriy Konstantinovich Potapov

Saint Petersburg State University

Email: d.potapov@spbu.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. В. Н. Павленко, “О разрешимости некоторых нелинейных уравнений с разрывными операторами”, Докл. АН СССР, 204:6 (1972), 1320–1323
  2. М. М. Вайнберг, Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, Наука, М., 1972, 416 с.
  3. F. J. S. A. Correa, J. V. A. Gonçalves, “Sublinear elliptic systems with discontinuous nonlinearities”, Appl. Anal., 44:1-2 (1992), 37–50
  4. Kung-Ching Chang, “Variational methods for non-differentiable functionals and their applications to partial differential equations”, J. Math. Anal. Appl., 80:1 (1981), 102–129
  5. C. O. Alves, D. C. de Morais Filho, M. A. S. Souto, “An application of the dual variational principle to a Hamiltonian system with discontinuous nonlinearities”, Electron. J. Differential Equations, 2004 (2004), 46, 12 pp.
  6. Kaimin Teng, “Existence and multiplicity results for some elliptic systems with discontinuous nonlinearities”, Nonlinear Anal., 75:5 (2012), 2975–2987
  7. Liu Zhenhai, “On elliptic systems with discontinuous nonlinearities”, Period. Math. Hungar., 30:3 (1995), 211–223
  8. М. А. Красносельский, А. В. Покровский, “Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями”, Докл. АН СССР, 226:3 (1976), 506–509
  9. М. А. Красносельский, А. В. Покровский, “Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями”, Докл. РАН, 342:6 (1995), 731–734
  10. М. А. Красносельский, А. В. Лусников, “Правильные неподвижные точки и устойчивые инвариантные множества монотонных операторов”, Функц. анализ и его прил., 30:3 (1996), 34–46
  11. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование полуправильных решений эллиптических спектральных задач с разрывными нелинейностями”, Матем. сб., 206:9 (2015), 121–138
  12. Д. К. Потапов, “Бифуркационные задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями”, Матем. заметки, 90:2 (2011), 280–284
  13. D. K. Potapov, V. V. Yevstafyeva, “Lavrent'ev problem for separated flows with an external perturbation”, Electron. J. Differential Equations, 2013 (2013), 255, 6 pp.
  14. Д. К. Потапов, “Об одной задаче электрофизики с разрывной нелинейностью”, Дифференц. уравнения, 50:3 (2014), 421–424
  15. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Задача Эленбааса об электрической дуге”, Матем. заметки, 103:1 (2018), 92–100
  16. В. Н. Павленко, “Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами”, Вестник ЧелГУ, 1994, № 2, 87–95
  17. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами”, Сиб. матем. журн., 42:4 (2001), 911–919
  18. В. Н. Павленко, “Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами”, Дифференц. уравнения, 24:8 (1988), 1397–1402
  19. Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.
  20. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 3-е перераб. изд., Наука, М., 1972, 496 с.
  21. Д. К. Потапов, “Спектральные задачи для вариационных неравенств с разрывными операторами”, Матем. заметки, 93:2 (2013), 252–262
  22. И. В. Шрагин, “Условия измеримости суперпозиций”, Докл. АН СССР, 197:2 (1971), 295–298

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Pavlenko V.N., Potapov D.K.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».