On singular log Calabi-Yau compactifications of Landau-Ginzburg models

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider the procedure that constructs log Calabi-Yau compactifications of weak Landau-Ginzburg models of Fano varieties. We apply it to del Pezzo surfaces and coverings of projective spaces of index $1$. For coverings of degree greater than $2$ the log Calabi-Yau compactification is singular; moreover, no smooth projective log Calabi-Yau compactification exists. We also prove, in the cases under consideration, the conjecture that the number of components of the fibre over infinity is equal to the dimension of an anticanonical system of the Fano variety. Bibliography: 46 titles.

About the authors

Victor Vladimirovich Przyjalkowski

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: victorprz@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. В. В. Батырев, Многомерные торические многообразия с положительным антиканоническим классом, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, MГУ, М., 1985, 135 с.
  2. В. И. Данилов, “Геометрия торических многообразий”, УМН, 33:2(200) (1978), 85–134
  3. Л. Кацарков, В. В. Пржиялковский, Э. Хардер, “Феномен $mathrm P {=} mathrm W$”, Матем. заметки, 108:1 (2020), 33–46
  4. Ю. И. Манин, Фробениусовы многообразия, квантовые когомологии и пространства модулей, Факториал Пресс, М., 2002, 344 с.
  5. В. В. Пржиялковский, “Квантовые когомологии гладких полных пересечений во взвешенных проективных пространствах и особых торических многообразиях”, Матем. сб., 198:9 (2007), 107–122
  6. В. В. Пржиялковский, “Слабые модели Ландау–Гинзбурга гладких трехмерных многообразий Фано”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:4 (2013), 135–160
  7. В. В. Пржиялковский, “Компактификации Калаби–Яу торических моделей Ландау–Гинзбурга гладких трехмерных многообразий Фано”, Матем. сб., 208:7 (2017), 84–108
  8. В. В. Пржиялковский, “Торические модели Ландау–Гинзбурга”, УМН, 73:6(444) (2018), 95–190
  9. В. В. Пржиялковский, “О компактификациях Калаби–Яу торических моделей Ландау–Гинзбурга для полных пересечений Фано”, Матем. заметки, 103:1 (2018), 111–119
  10. В. В. Пржиялковский, К. Ритш, “Модели Ландау–Гинзбурга полных пересечений в лагранжевых грассманианах”, УМН, 76:3(459) (2021), 187–188
  11. В. В. Пржиялковский, К. А. Шрамов, “О слабых моделях Ландау–Гинзбурга для полных пересечений в грассманианах”, УМН, 69:6(420) (2014), 181–182
  12. В. В. Пржиялковский, К. А. Шрамов, “Феномен Лорана для моделей Ландау–Гинзбурга полных пересечений в грассманианах”, Современные проблемы математики, механики и математической физики, Сборник статей, Тр. МИАН, 290, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 102–113
  13. В. В. Пржиялковский, К. А. Шрамов, “Автоморфизмы взвешенных полных пересечений”, Алгебра, теория чисел и алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Игоря Ростиславовича Шафаревича, Труды МИАН, 307, МИАН, М., 2019, 217–229
  14. В. В. Пржиялковский, К. А. Шрамов, “Взвешенные полные пересечения Фано большой коразмерности”, Сиб. матем. журн., 61:2 (2020), 377–384
  15. D. Auroux, L. Katzarkov, D. Orlov, “Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces: vanishing cycles and coherent sheaves”, Invent. Math., 166:3 (2006), 537–582
  16. V. V. Batyrev, “Toric degenerations of Fano varieties and constructing mirror manifolds”, The Fano conference (Torino, 2002), Univ. Torino, Torino, 2004, 109–122
  17. V. V. Batyrev, I. Ciocan-Fontanine, B. Kim, D. van Straten, “Conifold transitions and mirror symmetry for Calabi–Yau complete intersections in Grassmannians”, Nuclear Phys. B, 514:3 (1998), 640–666
  18. V. V. Batyrev, I. Ciocan-Fontanine, B. Kim, D. van Straten, “Mirror symmetry and toric degenerations of partial flag manifolds”, Acta Math., 184:1 (2000), 1–39
  19. I. Cheltsov, V. Przyjalkowski, Katzarkov–Kontsevich–Pantev conjecture for Fano threefolds
  20. I. Cheltsov, V. Przyjalkowski, Fibers over infinity of Landau–Ginzburg models
  21. T. Coates, A. Corti, S. Galkin, A. Kasprzyk, “Quantum periods for 3-dimensional Fano manifolds”, Geom. Topol., 20:1 (2016), 103–256
  22. T. Coates, A. Corti, S. Galkin, V. Golyshev, A. Kasprzyk, Fano varieties and extremal Laurent polynomials. A collaborative research blog
  23. T. Coates, A. M. Kasprzyk, G. Pitton, K. Tveiten, Maximally mutable Laurent polynomials
  24. A. Corti, V. Golyshev, “Hypergeometric equations and weighted projective spaces”, Sci. China Math., 54:8 (2011), 1577–1590
  25. I. Dolgachev, “Weighted projective varieties”, Group actions and vector fields (Vancouver, BC, 1981), Lecture Notes in Math., 956, Berlin, Springer, 1982, 34–71
  26. C. F. Doran, A. Harder, “Toric degenerations and the Laurent polynomials related to Givental's Landau–Ginzburg models”, Canad. J. Math., 68:4 (2016), 784–815
  27. T. Eguchi, K. Hori, Chuan-Sheng Xiong, “Gravitational quantum cohomology”, Internat. J. Modern Phys. A, 12:9 (1997), 1743–1782
  28. A. Givental, “A mirror theorem for toric complete intersections”, Topological field theory, primitive forms and related topics (Kyoto, 1996), Progr. Math., 160, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1998, 141–175
  29. A. Harder, “Hodge numbers of Landau–Ginzburg models”, Adv. Math., 378 (2021), 107436, 40 pp.
  30. K. Hori, C. Vafa, Mirror symmetry
  31. A. R. Iano-Fletcher, “Working with weighted complete intersections”, Explicit birational geometry of 3-folds, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 281, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000, 101–173
  32. N. O. Ilten, J. Lewis, V. Przyjalkowski, “Toric degenerations of Fano threefolds giving weak Landau–Ginzburg models”, J. Algebra, 374 (2013), 104–121
  33. N. O. Ilten, R. Vollmert, “Deformations of rational $T$-varieties”, J. Algebraic Geom., 21:3 (2012), 531–562
  34. V. A. Iskovskikh, Yu. G. Prokhorov, “Fano varieties”, Algebraic geometry V, Encyclopaedia Math. Sci., 47, Springer, Berlin, 1999, 1–247
  35. P. Jahnke, I. Radloff, “Gorenstein Fano threefolds with base points in the anticanonical system”, Compos. Math., 142:2 (2006), 422–432
  36. A. Kasprzyk, L. Katzarkov, V. Przyjalkowski, D. Sakovics, Projecting Fanos in the mirror
  37. L. Katzarkov, M. Kontsevich, T. Pantev, “Bogomolov–Tian–Todorov theorems for Landau–Ginzburg models”, J. Differential Geom., 105:1 (2017), 55–117
  38. Y. Kawamata, “Flops connect minimal models”, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 44:2 (2008), 419–423
  39. J. Kollar, “Singularities of pairs”, Algebraic geometry (Santa Cruz, 1995), Proc. Sympos. Pure Math., 62, Part 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, 221–287
  40. J. Kollar, S. Mori, Birational geometry of algebraic varieties, With the collaboration of C. H. Clemens and A. Corti, transl. from the 1998 Japan. original, Cambridge Tracts in Math., 134, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998, viii+254 pp.
  41. M. Kontsevich, “Homological algebra of mirror symmetry”, Proceedings of the international congress of mathematicians (Zürich, 1994), v. 1, Birkhäuser, Basel, 1995, 120–139
  42. V. Przyjalkowski, “On Landau–Ginzburg models for Fano varieties”, Commun. Number Theory Phys., 1:4 (2007), 713–728
  43. V. Przyjalkowski, “Hori–Vafa mirror models for complete intersections in weighted projective spaces and weak Landau–Ginzburg models”, Cent. Eur. J. Math., 9:5 (2011), 972–977
  44. V. Przyjalkowski, C. Shramov, “On Hodge numbers of complete intersections and Landau–Ginzburg models”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2015:21 (2015), 11302–11332
  45. V. Przyjalkowski, C. Shramov, “Nef partitions for codimension $2$ weighted complete intersections”, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 19:3 (2019), 827–845
  46. V. Przyjalkowski, C. Shramov, Weighted complete intersections, preprint

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Przyjalkowski V.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».