Asymptotics for problems in perforated domains with Robin nonlinear condition on the boundaries of cavities

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A boundary-value problem for a second-order elliptic equation with variable coefficients is considered in a multidimensional domain with periodic perforation by small cavities arranged along a fixed hypersurface at small distances one from another. The distances are proportional to a small parameter $\varepsilon$, and the linear sizes of the cavities are proportional to $\varepsilon\eta(\varepsilon)$, where $\eta(\varepsilon)$ is a function taking values in the interval $[0,1]$. The main result is a complete asymptotic expansion for the solution of the perturbed problem. The asymptotic expansion is a combination of an outer and an inner expansion; it is constructed using the method of matched asymptotic expansions. Both outer and inner expansions are power expansions in $\varepsilon$ with coefficients depending on $\eta$. These coefficients are shown to be infinitely differentiable with respect to $\eta\in(0,1]$ and uniformly bounded in $\eta\in[0,1]$.Bibliography: 38 titles.

About the authors

Denis Ivanovich Borisov

Institute of Mathematics with Computing Centre — Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences

Email: borisovdi@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Albina Ishbuldovna Mukhametrakhimova

Bashkir State Pedagogical University n. a. M. Akmulla; Institute of Mathematics with Computing Centre — Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences

References

  1. А. Г. Беляев, “Усреднение смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона в области, перфорированной вдоль границы”, в ст.: “Совместные заседания семинара имени И. Г. Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского математического общества (тринадцатая сессия, 2–5 февраля 1990 г.)”, УМН, 45:4(274) (1990), 123
  2. G. A. Chechkin, Yu. O. Koroleva, A. Meidell, L.-E. Persson, “On the Friedrichs inequality in a domain perforated aperiodically along the boundary. Homogenization procedure. Asymptotics for parabolic problems”, Russ. J. Math. Phys., 16:1 (2009), 1–16
  3. G. A. Chechkin, T. A. Chechkina, C. D'Apice, U. De Maio, “Homogenization in domains randomly perforated along the boundary”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 12:4 (2009), 713–730
  4. M. Lobo, O. A. Oleinik, M. E. Perez, T. A. Shaposhnikova, “On homogenizations of solutions of boundary value problems in domains, perforated along manifolds”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 25:3-4 (1997), 611–629
  5. М. Лобо, М. Е. Перес, В. В. Сухарев, Т. А. Шапошникова, “Об усреднении краевой задачи в области, перфорированной вдоль $(N-1)$-мерного многообразия с нелинейным краевым условием третьего типа на границе полостей”, Докл. РАН, 436:2 (2011), 163–167
  6. D. Gomez, E. Perez, T. A. Shaposhnikova, “On homogenization of nonlinear Robin type boundary conditions for cavities along manifolds and associated spectral problems”, Asymptot. Anal., 80:3-4 (2012), 289–322
  7. D. Gomez, M. Lobo, M. E. Perez, T. A. Shaposhnikova, “Averaging of variational inequalities for the Laplacian with nonlinear restrictions along manifolds”, Appl. Anal., 92:2 (2013), 218–237
  8. Y. Amirat, O. Bodart, G. A. Chechkin, A. L. Piatnitski, “Asymptotics of a spectral-sieve problem”, J. Math. Anal. Appl., 435:2 (2016), 1652–1671
  9. Р. Р. Гадыльшин, А. Л. Пятницкий, Г. А. Чечкин, “Об асимптотиках собственных значений краевой задачи в плоской области типа сита Стеклова”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:6 (2018), 37–64
  10. G. A. Chechkin, R. R. Gadyl'shin, C. D'Apice, U. De Maio, “On the Steklov problem in a domain perforated along a part of the boundary”, ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 51:4 (2017), 1317–1342
  11. M. Н. Зубова, Т. А. Шапошникова, “Усреднение уравнения диффузии в области, перфорированной вдоль $(n-1)$-мерного многообразия с динамическими краевыми условиями на границе перфораций: критический случай”, Докл. РАН, 486:1 (2019), 12–19
  12. J. I. Diaz, D. Gomez-Castro, T. A. Shaposhnikova, Nonlinear reaction-diffusion processes for nanocomposites. Anomalous improved homogenization, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 39, De Gruyter, Berlin, 2021, xvi+179 pp.
  13. В. А. Марченко, Е. Я. Хруслов, Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Наукова думка, Киев, 1974, 729 с.
  14. D. Borisov, G. Cardone, “Homogenization of the planar waveguide with frequently alternating boundary conditions”, J. Phys. A, 42:36 (2009), 365205, 21 pp.
  15. D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone, “On a waveguide with frequently alternating boundary conditions: homogenized Neumann condition”, Ann. Henri Poincare, 11:8 (2010), 1591–1627
  16. D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone, “On a waveguide with an infinite number of small windows”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 349:1-2 (2011), 53–56
  17. Д. Борисов, Р. Бюнуау, Дж. Кардоне, “Усреднение и асимптотики для волновода с бесконечным числом близко расположенных малых окон”, Проблемы матем. анализа, 58, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2011, 59–68
  18. D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone, “Waveguide with non-periodically alternating Dirichlet and Robin conditions: homogenization and asymptotics”, Z. Angew. Math. Phys., 64:3 (2013), 439–472
  19. D. Borisov, G. Cardone, L. Faella, C. Perugia, “Uniform resolvent convergence for strip with fast oscillating boundary”, J. Differential Equations, 255:12 (2013), 4378–4402
  20. Т. Ф. Шарапов, “О резольвенте многомерных операторов с частой сменой краевых условий в случае усредненного условия Дирихле”, Матем. сб., 205:10 (2014), 125–160
  21. Д. И. Борисов, Т. Ф. Шарапов, “О резольвенте многомерных операторов с частой сменой краевых условий в случае третьего усредненного условия”, Проблемы матем. анализа, 83, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2015, 3–40
  22. Т. Ф. Шарапов, “О резольвенте многомерных операторов с частой сменой краевых условий: критический случай”, Уфимск. матем. журн., 8:2 (2016), 66–96
  23. D. Borisov, G. Cardone, T. Durante, “Homogenization and norm-resolvent convergence for elliptic operators in a strip perforated along a curve”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 146:6 (2016), 1115–1158
  24. A. G. Belyaev, G. A. Chechkin, R. R. Gadyl'shin, “Effective membrane permeability: estimates and low concentration asymptotics”, SIAM J. Appl. Math., 60:1 (1999), 84–108
  25. Т. А. Мельник, Г. А. Чечкин, “Собственные колебания густых каскадных соединений со “сверхтяжелыми” концентрированными массами”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:3 (2015), 41–86
  26. Г. А. Чечкин, “Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций эллиптического оператора в области с большим количеством близко расположенных на границе “легких” концентрированных масс. Двумерный случай”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:4 (2005), 161–204
  27. Y. Amirat, G. A. Chechkin, R. R. Gadyl'shin, “Asymptotics of simple eigenvalues and eigenfunctions for the Laplace operator in a domain with oscillating boundary”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 46:1 (2006), 102–115
  28. С. А. Назаров, “Осреднение пластин Кирхгофа, соединенных заклепками, которые моделируются точечными условиями Соболева”, Алгебра и анализ, 32:2 (2020), 143–200
  29. Д. И. Борисов, А. И. Мухаметрахимова, “Равномерная сходимость и асимптотики для задач в областях с мелкой перфорацией вдоль заданного многообразия в случае усредненного условия Дирихле”, Матем. сб., 212:8 (2021), 33–88
  30. Д. И. Борисов, А. И. Мухаметрахимова, “Равномерная сходимость для задач с перфорацией вдоль заданного многообразия и третьим нелинейным краевым условием на границах полостей”, Алгебра и анализ (в печати)
  31. А. М. Ильин, Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Наука, М., 1989, 336 с.
  32. Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко, Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов, Наука, М., 1984, 352 с.
  33. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, 2-е изд., Наука, М., 1973, 576 с.
  34. Д. И. Борисов, А. И. Мухаметрахимова, “О равномерной резольвентной сходимости для эллиптических операторов в многомерных областях с малыми отверстиями”, Проблемы матем. анализа, 92, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2018, 69–81
  35. B. C. Владимиров, Уравнения математической физики, 4-е изд., Наука, М., 1981, 512 с.
  36. Д. И. Борисов, “Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном”, Матем. сб., 197:4 (2006), 3–32
  37. В. П. Михайлов, Дифференциальные уравнения в частных производных, Наука, М., 1976, 391 с.
  38. О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский, Интегральные представления функций и теоремы вложения, Наука, М., 1975, 480 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Borisov D.I., Mukhametrakhimova A.I.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».