The convex hull and the Caratheodory number of a set in terms of the metric projection operator

Мұқаба

Дәйексөз келтіру

Толық мәтін

Ашық рұқсат Ашық рұқсат
Рұқсат жабық Рұқсат берілді
Рұқсат жабық Тек жазылушылар үшін

Аннотация

We prove that each point of the convex hull of a compact set $M$ in a smooth Banach space $X$ can be approximated arbitrarily well by convex combinations of best approximants from $M$ to $x$ (values of the metric projection operator $P_M(x)$), where $x \in X$. As a corollary, we show that the Caratheodory number of a compact set $M \subset X$ with at most $k$-valued metric projection $P_M$ is majorized by $k$, that is, each point in the convex hull of $M$ lies in the convex hull of at most $k$ points of $M$.Bibliography: 26 titles.

Авторлар туралы

Konstantin Shklyaev

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: konstantin.shklyaev@inbox.ru
without scientific degree, no status

Әдебиет тізімі

  1. Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, “Некоторые свойства чебышевских множеств”, Докл. АН СССР, 118:1 (1958), 17–19
  2. V. L. Klee, Jr., “A characterization of convex sets”, Amer. Math. Monthly, 56:4 (1949), 247–249
  3. V. L. Klee, “Convex bodies and periodic homeomorphisms in Hilbert space”, Trans. Amer. Maths. Soc., 74 (1953), 10–43
  4. В. И. Бердышев, “К вопросу о чебышeвских множествах”, Докл. АзССР, 22:9 (1966), 3–5
  5. A. Brondsted, “Convex sets and Chebyshev sets. II”, Math. Scand., 18 (1966), 5–15
  6. A. L. Brown, “Chebyshev sets and the shapes of convex bodies”, Methods of functional analysis in approximation theory (Bombay, 1985), Internat. Schriftenreihe Numer. Math., 76, Birkhäuser, Basel, 1986, 97–121
  7. A. L. Brown, “Chebyshev sets and facial systems of convex sets in finite-dimensional spaces”, Proc. London Math. Soc. (3), 41:2 (1980), 297–339
  8. Л. П. Власов, “Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах”, УМН, 28:6(174) (1973), 3–66
  9. В. С. Балаганский, Л. П. Власов, “Проблема выпуклости чебышевских множеств”, УМН, 51:6(312) (1996), 125–188
  10. И. Г. Царьков, “Ограниченные чебышевские множества в конечномерных банаховых пространствах”, Матем. заметки, 36:1 (1984), 73–87
  11. И. Г. Царьков, “Компактные и слабо компактные чебышевские множества в линейных нормированных пространствах”, Сборник трудов Всесоюзной школы по теории функций (Душанбе, 1986), Тр. МИАН СССР, 189, Наука, М., 1989, 169–184
  12. А. Р. Алимов, “Всякое ли чебышeвское множество выпукло?”, Матем. просв., сер. 3, 2, МЦНМО, М., 1998, 155–172
  13. А. Р. Алимов, “О структуре дополнения к чебышeвским множествам”, Функц. анализ и его прил., 35:3 (2001), 19–27
  14. L. N. H. Bunt, Bijdrage tot de theorie der convexe puntverzamelingen, Proefschrifft Groningen, Noord-Hollandsche Uitgevers Maatschappij, Amsterdam, 1934, 108 pp.
  15. H. Mann, “Untersuchungen über Wabenzellen bei allgemeiner Minkowskischer Metrik”, Monatsh. Math. Phys., 42:1 (1935), 417–424
  16. T. Motzkin, “Sur quelques proprietes caracteristiques des ensembles convexes”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. (6), 21 (1935), 562–567
  17. T. Motzkin, “Sur quelques proprietes caracteristiques des ensembles bornes non convexes”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. (6), 21 (1935), 773–779
  18. C. Caratheodory, “Über den Variabilitätsbereich der Fourier'schen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen”, Rend. Circ. Mat. Palermo, 32 (1911), 193–217
  19. W. Fenchel, “Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven”, Math. Ann., 101:1 (1929), 238–252
  20. I. Barany, R. Karasev, “Notes about the Caratheodory number”, Discrete Comput. Geom., 48:3 (2012), 783–792
  21. А. А. Флеров, “О множествах с не более чем двузначной метрической проекцией на нормированной плоскости”, Матем. заметки, 101:2 (2017), 286–301
  22. О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов, Элементарная топология, 3-е изд., МЦНМО, М., 2010, 446 с.
  23. A. Cellina, “Approximation of set valued functions and fixed point theorems”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 82 (1969), 17–24
  24. М. Л. Громов, “О симплексах, вписанных в гиперповерхности”, Матем. заметки, 5:1 (1969), 81–89
  25. A. Bronsted, “Convex sets and Chebyshev sets”, Math. Scand., 17 (1965), 5–16
  26. Ş. Cobzaş, Functional analysis in asymmetric normed spaces, Front. Math., Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2013, x+219 pp.

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар
Әрекет
1. JATS XML
Жүктеу

© Shklyaev K.S., 2022

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».