A refinement of Heath-Browns theorem on quadratic forms

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In his paper from 1996 on quadratic forms Heath-Brown developed a version of the circle method to count points in the intersection of an unbounded quadric with a lattice of small period, when each point is assigned a weight, and approximated this quantity by the integral of the weight function against a measure on the quadric. The weight function is assumed to be C∞0-smooth and vanish near the singularity of the quadric. In our work we allow the weight function to be finitely smooth, not to vanish at the singularity and have an explicit decay at infinity.
The paper uses only elementary number theory and is available to readers with no number-theoretic background.

About the authors

Sergei Georgievich Vlăduţ

Aix-Marseille Université; Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute)

Email: vladut@iml.univ-mrs.fr
Candidate of physico-mathematical sciences

Andrey Victorovich Dymov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; HSE University; Skolkovo Institute of Science and Technology

Email: dymov@mi-ras.ru
PhD, no status

Sergei Borisovich Kuksin

Paris Sorbonne University; Peoples' Friendship University of Russia; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: vladut@iml.univ-mrs.fr

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Alberto Maiocchi

Università degli Studi di Milano-Bicocca

Email: alberto.maiocchi@unimib.it

References

  1. D. R. Heath-Brown, “A new form of the circle method, and its application to quadratic forms”, J. Reine Angew. Math., 1996:481 (1996), 149–206
  2. W. Duke, J. Friedlander, H. Iwaniec, “Bounds for automorphic $L$-function”, Invent. Math., 112:1 (1993), 1–8
  3. H. Iwaniec, “The circle method and the Fourier coefficients of modular forms”, Number theory and related topics (Bombay, 1988), Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math., 12, Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1989, 47–55
  4. Ж.-П. Серр, Курс арифметики, Мир, М., 1972, 184 с.
  5. А. А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, 2-е изд., Наука, М., 1983, 240 с.
  6. A. Dymov, S. Kuksin, A. Maiocchi, S. Vlăduţ, The large-period limit for equations of discrete turbulence
  7. T. Buckmaster, P. Germain, Z. Hani, J. Shatah, “Effective dynamics of the nonlinear Schrödinger equation on large domains”, Comm. Pure Appl. Math., 71:7 (2018), 1407–1460
  8. H. L. Eliasson, B. Grebert, S. B. Kuksin, “KAM for the nonlinear beam equation”, Geom. Funct. Anal., 26:6 (2016), 1588–1715
  9. J. R. Getz, “Secondary terms in asymptotics for the number of zeros of quadratic forms over number fields”, J. Lond. Math. Soc. (2), 98:2 (2018), 275–305
  10. T. H. Tran, Secondary terms in asymptotics for the number of zeros of quadratic forms
  11. A. Dymov, S. Kuksin, “Formal expansions in stochastic model for wave turbulence. 1: Kinetic limit”, Comm. Math. Phys., 382:2 (2021), 951–1014
  12. I. Chavel, Riemannian geometry. A modern introduction, Cambridge Stud. Adv. Math., 98, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006, xvi+471 pp.
  13. A. Dymov, S. Kuksin, A. Maiocchi, S. Vlăduţ, Some remarks on Heath-Brown's theorem on quadratic forms
  14. А. Я. Хинчин, Математические основания статистической механики, Гостехиздат, М.–Л., 1943, 128 с.
  15. B. J. Birch, “Forms in many variables”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 265:1321 (1962), 245–263

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Vlăduţ S.G., Dymov A.V., Kuksin S.B., Maiocchi A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».