Comparison theorems for evolution inclusions with maximal monotone operators. $L^2$-theory

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

An evolution inclusion with time-dependent family of maximal monotone operators in considered in a separable Hilbert space. If the elements with minimum norm of the family of maximal monotone operators satisfy certain growth conditions, then the domains of definition of this family are closed convex sets. Hence the sweeping process is well defined, whose values are the normal cones of the domains of definition of maximal monotone operators. It is shown that if the sweeping process has a solution for each single-valued perturbation from the space of integrable functions, then the evolution inclusion with the maximal monotone operators and single-valued perturbations from the space of integrable functions is also solvable. Quite general conditions in terms of the properties of the family of maximal monotone operators that ensure the existence of solutions for the sweeping process are presented.
All results obtained and the approach presented are new. They are used to prove an existence theorem for evolution inclusions with multivalued perturbations, whose values are closed nonconvex sets.

About the authors

Alexander Alexandrovich Tolstonogov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: aatol@icc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. H. Brezis, Operateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, North-Holland Math. Stud., 5, Notas Mat., 50, North-Holland Publishing Co., Amsterdam–London; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 1973, vi+183 pp.
  2. A. A. Tolstonogov, “BV continuous solutions of an evolution inclusion with maximal monotone operator and nonconvex-valued perturbation. Existence theorem”, Set-Valued Var. Anal., 29:1 (2021), 29–60
  3. J. J. Moreau, “Evolution problem associated with a moving convex set in a Hilbert space”, J. Differential Equations, 26:3 (1977), 347–374
  4. A. A. Vladimirov, “Nonstationary dissipative evolution equations in a Hilbert space”, Nonlinear Anal., 17:6 (1991), 499–518
  5. D. Azzam-Laouir, W. Belhoula, C. Castaing, M. D. P. Monteiro Marques, “Perturbed evolution problems with absolutely continuous variation in time and applications”, J. Fixed Point Theory Appl., 21:2 (2019), 40, 32 pp.
  6. C. J. Himmelberg, “Measurable relations”, Fund. Math., 87 (1975), 53–72
  7. H. Attouch, “Familles d'operateurs maximaux monotones et measurabilite”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 120 (1979), 35–111
  8. В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 2, 2-е изд., НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2006, 679 с.
  9. H. Attouch, R. J.-B. Wets, “Quantitative stability of variational systems. I. The epigraphical distance”, Trans. Amer. Math. Soc., 328:2 (1991), 695–729
  10. M. G. Crandall, A. Pazy, “Semi-groups of nonlinear contractions and dissipative sets”, J. Funct. Anal., 3:3 (1969), 376–418
  11. A. A. Tolstonogov, “BV solutions of a convex sweeping process with local conditions in the sense of differential measures”, Appl. Math. Optim., 84, suppl. 1 (2021), S591–S629
  12. А. А. Толстоногов, “$L_p$-непрерывные селекторы неподвижных точек многозначных отображений с разложимыми значениями. I. Теоремы существования”, Сиб. матем. журн., 40:3 (1999), 695–709
  13. M. Kunze, M. D. P. Monteiro Marques, “BV solutions to evolution problems with time-dependent domains”, Set-Valued Anal., 5:1 (1997), 57–72
  14. E. Vilches, Bao Tran Nguyen, “Evolution inclusions governed by time-dependent maximal monotone operators with a full domain”, Set-Valued Var. Anal., 28:3 (2020), 569–581
  15. I. Singer, Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces, Grundlehren Math. Wiss., 171, Publishing House of the Academy of the Socialist Republic of Romania, Bucharest; Springer-Verlag, New York–Berlin, 1970, 415 pp.
  16. А. А. Толстоногов, “Максимальная монотонность оператора Немыцкого”, Функц. анализ и его прил., 55:3 (2021), 51–61
  17. A. A. Tolstonogov, “Sweeping process with unbounded nonconvex perturbation”, Nonlinear Anal., 108 (2014), 291–301
  18. A. A. Tolstonogov, “Polyhedral sweeping processes with unbounded nonconvex-valued perturbation”, J. Differential Equations, 263:11 (2017), 7965–7983
  19. А. А. Толстоногов, “Полиэдральные многозначные отображения: свойства и приложения”, Сиб. матем. журн., 61:2 (2020), 428–452

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Tolstonogov A.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».