The problem of constructing unsaturated quadrature formulae on an interval
- Authors: Belykh V.N.1
-
Affiliations:
- Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 210, No 1 (2019)
- Pages: 27-62
- Section: Articles
- URL: https://journal-vniispk.ru/0368-8666/article/view/142375
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm8984
- ID: 142375
Cite item
Abstract
Unsaturated quadrature formulae are constructed which are well conditioned on the finite interval $I=[-1,1]$ with $L_p[I]$-weight function, $1< p< \infty$. A specific feature of such formulae is the absence of the principal error term, which ensures that they can be automatically readjusted (with an increased number of nodes) to any excessive (extraordinary) amount of smoothness of the integrands. All the key parameters of quadratures (the nodes, the coefficients and the condition number) are evaluated within a single general approach based on the solution of a number of special boundary-value problems in the theory of meromorphic functions in the unit disc. For particular weight functions, which have important applications, algorithms for evaluating all the parameters of the quadratures efficiently are put forward. For $C^\infty$-smooth integrands, an answer is given with an absolutely sharp exponential error estimate. The sharpness of the estimate is secured by the asymptotic behaviour of the Alexandrov $n$-width of a compact set of $C^\infty$-smooth functions, which goes to zero exponentially (as the number of nodes goes off to infinity).
Bibliography: 32 titles.
About the authors
Vladimir Nikitich Belykh
Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences
Author for correspondence.
Email: belykh@math.nsc.ru
References
- Н. С. Бахвалов, Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Наука, М., 1973, 631 с.
- С. М. Никольский, Квадратурные формулы, 2-е изд., Наука, М., 1974, 224 с.
- С. Л. Соболев, Введение в теорию кубатурных формул, Наука, М., 1974, 808 с.
- И. П. Мысовских, Интерполяционные квадратурные формулы, Наука, М., 1981, 336 с.
- М. Д. Рамазанов, Решетчатые кубатурные формулы на изотропных пространствах, ИМВЦ УНЦ РАН, Уфа, 2014, 210 с.
- Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики, ред. К. И. Бабенко, Наука, М., 1979, 296 с.
- В. Л. Васкевич, Гарантированная точность вычисления многомерных интегралов, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2003, 243 с.
- К. И. Бабенко, Основы численного анализа, Наука, М., 1986, 744 с.
- В. Н. Белых, “Ненасыщаемые квадратурные формулы на отрезке (к проблеме К. И. Бабенко)”, Докл. РАН, 467:5 (2016), 509–513
- В. Н. Белых, “Ненасыщаемый численный метод решения внешней осесимметричной задачи Неймана для уравнения Лапласа”, Сиб. матем. журн., 52:6 (2011), 1234–1252
- В. Н. Белых, “Особенности реализации ненасыщаемого численного метода для внешней осесимметричной задачи Неймана”, Сиб. матем. журн., 54:6 (2013), 1237–1249
- С. К. Годунов, А. Г. Антонов, О. П. Кирилюк, В. И. Костин, Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах, 2-е изд., перераб. и доп., Наука, Новосибирск, 1992, 353 с.
- Дж. Деммель, Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Мир, М., 2001, 436 с.
- L. N. Trefethen, D. Bau, Numerical linear algebra, SIAM, Philadelphia, PA, 1997, xii+361 pp.
- К. И. Бабенко, “Об одном подходе к оценке качества вычислительных алгоритмов”, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 1974, 007, 68 с.
- K. I. Babenko, “Estimating the quality of computational algorithms. I”, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 7:1 (1976), 47–73
- К. И. Бабенко, “О некоторых общих свойствах вычислительных алгоритмов”, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 1977, 029, 71 с.
- Г. Вейль, “О равномерном распределении чисел по модулю один”, Избранные труды, Классики науки, Наука, М., 1984, 58–93
- И. К. Даугавет, Введение в классическую теорию приближения функций, СПбГУ, СПб., 2011, 230 с.
- P. Erdős, E. Feldheim, “Sur le mode de convergence pour l'interpolation de Lagrange”, C. R. Acad. Sci. Paris, 203 (1936), 913–915
- A. K. Varma, P. Vertesi, “Some Erdős–Feldheim type theorems on mean convergence of Lagrange interpolation”, J. Math. Anal. Appl., 91:1 (1983), 68–79
- Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972, 740 с.
- С. М. Никольский, “Об одном функциональном неравенстве”, Избранные труды, в 3-х т., т. 1, Наука, М., 2006, 36–38
- К. И. Бабенко, В. А. Стебунов, “О спектральной задаче Орра–Зоммерфельда”, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 1975, 093, 34 с.
- В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Наука, М., 1977, 511 с.
- C. М. Никольский, “О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 10:4 (1946), 295–322
- Н. Бурбаки, Функции действительного переменного, Элементы математики, Наука, М., 1965, 424 с.
- Г. Н. Пыхтеев, “Точные методы вычисления интегралов типа Коши по разомкнутому контуру”, Apl. Mat., 10:4 (1965), 351–372
- Ф. Д. Гахов, Краевые задачи, 2-е изд., Физматгиз, М., 1963, 639 с.
- М. Д. Рамазанов, “Асимптотически оптимальные решетчатые кубатурные формулы с ограниченным пограничным слоем и свойством ненасыщаемости”, Матем. сб., 204:7 (2013), 71–96
- К. И. Бабенко, “О приближении периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами”, Докл. АН СССР, 132:2 (1960), 247–250
- К. И. Бабенко, “О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами”, Докл. АН СССР, 132:5 (1960), 982–985
Supplementary files
