The problem of constructing unsaturated quadrature formulae on an interval

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Unsaturated quadrature formulae are constructed which are well conditioned on the finite interval $I=[-1,1]$ with $L_p[I]$-weight function, $1< p< \infty$. A specific feature of such formulae is the absence of the principal error term, which ensures that they can be automatically readjusted (with an increased number of nodes) to any excessive (extraordinary) amount of smoothness of the integrands. All the key parameters of quadratures (the nodes, the coefficients and the condition number) are evaluated within a single general approach based on the solution of a number of special boundary-value problems in the theory of meromorphic functions in the unit disc. For particular weight functions, which have important applications, algorithms for evaluating all the parameters of the quadratures efficiently are put forward. For $C^\infty$-smooth integrands, an answer is given with an absolutely sharp exponential error estimate. The sharpness of the estimate is secured by the asymptotic behaviour of the Alexandrov $n$-width of a compact set of $C^\infty$-smooth functions, which goes to zero exponentially (as the number of nodes goes off to infinity).
Bibliography: 32 titles.

About the authors

Vladimir Nikitich Belykh

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: belykh@math.nsc.ru

References

  1. Н. С. Бахвалов, Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Наука, М., 1973, 631 с.
  2. С. М. Никольский, Квадратурные формулы, 2-е изд., Наука, М., 1974, 224 с.
  3. С. Л. Соболев, Введение в теорию кубатурных формул, Наука, М., 1974, 808 с.
  4. И. П. Мысовских, Интерполяционные квадратурные формулы, Наука, М., 1981, 336 с.
  5. М. Д. Рамазанов, Решетчатые кубатурные формулы на изотропных пространствах, ИМВЦ УНЦ РАН, Уфа, 2014, 210 с.
  6. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики, ред. К. И. Бабенко, Наука, М., 1979, 296 с.
  7. В. Л. Васкевич, Гарантированная точность вычисления многомерных интегралов, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2003, 243 с.
  8. К. И. Бабенко, Основы численного анализа, Наука, М., 1986, 744 с.
  9. В. Н. Белых, “Ненасыщаемые квадратурные формулы на отрезке (к проблеме К. И. Бабенко)”, Докл. РАН, 467:5 (2016), 509–513
  10. В. Н. Белых, “Ненасыщаемый численный метод решения внешней осесимметричной задачи Неймана для уравнения Лапласа”, Сиб. матем. журн., 52:6 (2011), 1234–1252
  11. В. Н. Белых, “Особенности реализации ненасыщаемого численного метода для внешней осесимметричной задачи Неймана”, Сиб. матем. журн., 54:6 (2013), 1237–1249
  12. С. К. Годунов, А. Г. Антонов, О. П. Кирилюк, В. И. Костин, Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах, 2-е изд., перераб. и доп., Наука, Новосибирск, 1992, 353 с.
  13. Дж. Деммель, Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, Мир, М., 2001, 436 с.
  14. L. N. Trefethen, D. Bau, Numerical linear algebra, SIAM, Philadelphia, PA, 1997, xii+361 pp.
  15. К. И. Бабенко, “Об одном подходе к оценке качества вычислительных алгоритмов”, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 1974, 007, 68 с.
  16. K. I. Babenko, “Estimating the quality of computational algorithms. I”, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 7:1 (1976), 47–73
  17. К. И. Бабенко, “О некоторых общих свойствах вычислительных алгоритмов”, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 1977, 029, 71 с.
  18. Г. Вейль, “О равномерном распределении чисел по модулю один”, Избранные труды, Классики науки, Наука, М., 1984, 58–93
  19. И. К. Даугавет, Введение в классическую теорию приближения функций, СПбГУ, СПб., 2011, 230 с.
  20. P. Erdős, E. Feldheim, “Sur le mode de convergence pour l'interpolation de Lagrange”, C. R. Acad. Sci. Paris, 203 (1936), 913–915
  21. A. K. Varma, P. Vertesi, “Some Erdős–Feldheim type theorems on mean convergence of Lagrange interpolation”, J. Math. Anal. Appl., 91:1 (1983), 68–79
  22. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972, 740 с.
  23. С. М. Никольский, “Об одном функциональном неравенстве”, Избранные труды, в 3-х т., т. 1, Наука, М., 2006, 36–38
  24. К. И. Бабенко, В. А. Стебунов, “О спектральной задаче Орра–Зоммерфельда”, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 1975, 093, 34 с.
  25. В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Наука, М., 1977, 511 с.
  26. C. М. Никольский, “О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 10:4 (1946), 295–322
  27. Н. Бурбаки, Функции действительного переменного, Элементы математики, Наука, М., 1965, 424 с.
  28. Г. Н. Пыхтеев, “Точные методы вычисления интегралов типа Коши по разомкнутому контуру”, Apl. Mat., 10:4 (1965), 351–372
  29. Ф. Д. Гахов, Краевые задачи, 2-е изд., Физматгиз, М., 1963, 639 с.
  30. М. Д. Рамазанов, “Асимптотически оптимальные решетчатые кубатурные формулы с ограниченным пограничным слоем и свойством ненасыщаемости”, Матем. сб., 204:7 (2013), 71–96
  31. К. И. Бабенко, “О приближении периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами”, Докл. АН СССР, 132:2 (1960), 247–250
  32. К. И. Бабенко, “О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами”, Докл. АН СССР, 132:5 (1960), 982–985

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2019 Белых В.N.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».