Admissible changes of variables for Sobolev functions on (sub-)Riemannian manifolds

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider the properties of measurable maps of complete Riemannian manifolds which induce by composition isomorphisms of the Sobolev classes with generalized first variables whose exponent of integrability is distinct from the (Hausdorff) dimension of the manifold. We show that such maps can be re-defined on a null set so that they become quasi-isometries.Bibliography: 39 titles.

About the authors

Sergei Konstantinovich Vodopyanov

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Novosibirsk State University, Mechanics and Mathematics Department

Email: vodopis@math.nsc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. С. Л. Соболев, “О некоторых группах преобразований $n$-мерного пространства”, Докл. АН СССР, 32:6 (1941), 380–382
  2. С. K. Водопьянов, “О регулярности отображений, обратных к соболевским”, Матем. сб., 203:10 (2012), 3–32
  3. С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн, “Структурные изоморфизмы пространств $W^1_n$ и квазиконформные отображения”, Сиб. матем. журн., 16:2 (1975), 224–246
  4. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы, т. I, Общая теория, ИЛ, М., 1962, 895 с.
  5. M. Nakai, “Algebraic criterion on quasiconformal equivalence of Riemann surfaces”, Nagoya Math. J., 16 (1960), 157–184
  6. L. G. Lewis, “Quasiconformal mappings and Royden algebras in space”, Trans. Amer. Math. Soc., 158:2 (1971), 481–492
  7. С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн, “Функциональные характеристики квазиизометрических отображений”, Сиб. матем. журн., 17:4 (1976), 768–773
  8. С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн, “Новый функциональный инвариант для квазиконформных отображений”, Некоторые вопросы современной теории функций (Новосибирск, 1976), ИМ СО АН СССР, Новосибирск, 1976, 18–20
  9. С. К. Водопьянов, “Отображения однородных групп и вложения функциональных пространств”, Сиб. матем. журн., 30:5 (1989), 25–41
  10. В. М. Гольдштейн, А. С. Романов, “Об отображениях, сохраняющих пространства Соболева”, Сиб. матем. журн., 25:3 (1984), 55–61
  11. А. С. Романов, “О замене переменной в пространствах потенциалов Бесселя и Рисса”, Функциональный анализ и математическая физика, ИМ СО АН СССР, Новосибирск, 1985, 117–133
  12. С. К. Водопьянов, “$L_p$-теория потенциала и квазиконформные отображения на однородных группах”, Современные проблемы геометрии и анализа, Тр. Ин-та матем., 14, Наука, Новосибирск, 1989, 45–89
  13. S. K. Vodopyanov, “Composition operators on Sobolev spaces”, Complex analysis and dynamical systems II (Nahariya, 2003), Contemp. Math., 382, Israel Math. Conf. Proc., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005, 401–415
  14. С. К. Водопьянов, Н. А. Евсеев, “Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и квазиизометрические отображения”, Сиб. матем. журн., 55:5 (2014), 1001–1039
  15. К. К. Водопьянов, Н. А. Евсеев, “Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и метрические свойства отображений”, Докл. РАН, 464:2 (2015), 131–135
  16. К. К. Водопьянов, Н. А. Евсеев, “Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и квазиконформные отображения”, Сиб. матем. журн., 56:5 (2015), 989–1029
  17. В. Г. Мазья, Т. О. Шапошникова, Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1986, 404 с.
  18. G. Bourdaud, G. Sickel, “Changes of variable in Besov spaces”, Math. Nachr., 198 (1999), 19–39
  19. H. Koch, P. Koskela, E. Saksman, T. Soto, “Bounded compositions on scaling invariant Besov spaces”, J. Funct. Anal., 266:5 (2014), 2765–2788
  20. P. Koskela, Dachun Yang, Yuan Zhou, “Pointwise characterizations of Besov and Triebel–Lizorkin spaces and quasiconformal mappings”, Adv. Math., 226:4 (2011), 3579–3621
  21. С. К. Водопьянов, “О допустимых заменах переменных для функций классов Соболева на (суб)римановых многообразиях”, Докл. РАН, 468:6 (2016), 609–613
  22. С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн, “Критерий устранимости множеств для пространств $L^1_p$, квазиконформных и квазиизометрических отображений”, Сиб. матем. журн., 18:1 (1977), 48–68
  23. С. К. Водопьянов, В. М. Черников, “Пространства Соболева и гипоэллиптические уравнения”, Линейные операторы, согласованные с порядком, Тр. Ин-та матем. СО РАН, 29, ИМ СО РАН, Новосибирск, 1995, 7–62
  24. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Аппроксимативно дифференцируемые преобразования и замена переменных на нильпотентных группах”, Сиб. матем. журн., 37:1 (1996), 70–89
  25. S. K. Vodop'yanov, “$mathscr P$-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics”, Труды по анализу и геометрии (Новосибирск, 1999), ИМ СО РАН, Новосибирск, 2000, 603–670
  26. С. К. Водопьянов, “О дифференцируемости отображений классов Соболева на группе Карно”, Матем. сб., 194:6 (2003), 67–86
  27. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Операторы суперпозиции в пространствах Соболева”, Изв. вузов. Матем., 2002, № 10, 11–33
  28. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Функции множества и их приложения в теории пространств Лебега и Соболева. I”, Матем. тр., 6:2 (2003), 14–65
  29. Ю. Г. Решетняк, “Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве”, Сиб. матем. журн., 38:3 (1997), 657–675
  30. S. K. Vodopyanov, “Geometry of Carnot–Caratheodory spaces and differentiability of mappings”, The interaction of analysis and geometry, Contemp. Math., 424, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 249–301
  31. Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, М., 1987, 760 с.
  32. L. C. Evans, R. F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, Stud. Adv. Math., CRC Press, Boca Raton, FL, 1992, viii+268 pp.
  33. P. Hajlasz, “Change of variables formula under the minimal assumptions”, Colloq. Math., 64:1 (1993), 93–101
  34. Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М., 1956, 250 с.
  35. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.
  36. D. V. Isangulova, S. K. Vodopyanov, “Coercive estimates and integral representation formulas on Carnot groups”, Eurasian Math. J., 1:3 (2010), 58–96
  37. E. M. Stein, Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton Math. Ser., 43, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993, xiv+695 pp.
  38. D. V. Isangulova, S. K. Vodopyanov, “Sharp geometric rigidity of isometries on Heisenberg groups”, Math. Ann., 355:4 (2013), 1301–1329
  39. Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искажением, Наука, Новосибирск, 1982, 286 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Водопьянов С.K.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».