Convergence of a sandpile model on a triangular lattice

Мұқаба

Дәйексөз келтіру

Толық мәтін

Ашық рұқсат Ашық рұқсат
Рұқсат жабық Рұқсат берілді
Рұқсат жабық Тек жазылушылар үшін

Аннотация

Мы даем обзор результатов о сходимости в песочных моделях. Мы доказываем для песочной модели на треугольной решетке результаты, аналогичные уже существующим для квадратной решетки. А именно: рассмотрим песочную модель на целых точках плоскости, положим $n$ песчинок в начало координат. Запустим процесс релаксации: если в некоторой вершине $z$ число песчинок не меньше ее степени (в этом случае говорим, что вершина $z$ нестабильна), перемещаем из $z$ в каждого из соседей $z$ по одной песчинке; повторяем эту операцию, пока есть нестабильные вершины. Мы доказываем, что носитель состояния $(n\delta_0)^\circ$, на котором процесс стабилизируется, растет со скоростью $\sqrt n$, и после ремасштабирования в $\sqrt n$ раз у $(n\delta_0)^\circ$ есть предел в $^*$-слабой топологии.Такой результат уже был показан У. Пежденом и Ч. К. Смартом для квадратной решетки (каждую вершину соединяем с четырьмя ближайшими соседями), мы распространяем его на треугольную (каждая вершина соединяется с шестью соседями) решетку.Библиография: 39 названий.

Авторлар туралы

Arkadiy Aliev

Saint-Petersburg State University, Department of Mathematics and Computer Science

Nikita Kalinin

Guangdong Technion Israel Institute of Technology

Email: nikaanspb@gmail.com

Әдебиет тізімі

  1. W. Pegden, Sandpile gallery
  2. D. Dhar, “Theoretical studies of self-organized criticality”, Phys. A, 369:1 (2006), 29–70
  3. S. Corry, D. Perkinson, Divisors and sandpiles. An introduction to chip-firing, AMS Non-Ser. Monogr., 114, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, xiv+325 pp.
  4. W. Pegden, C. K. Smart, “Convergence of the Abelian sandpile”, Duke Math. J., 162:4 (2013), 627–642
  5. H. Aleksanyan, H. Shahgholian, “Discrete balayage and boundary sandpile”, J. Anal. Math., 138:1 (2019), 361–403
  6. D. Dhar, P. Ruelle, S. Sen, D.-N. Verma, “Algebraic aspects of Abelian sandpile models”, J. Phys. A, 28:4 (1995), 805–831
  7. N. L. Biggs, “Chip-firing and the critical group of a graph”, J. Algebraic Combin., 9:1 (1999), 25–45
  8. R. Bacher, P. de la Harpe, T. Nagnibeda, “The lattice of integral flows and the lattice of integral cuts on a finite graph”, Bull. Soc. Math. France, 125:2 (1997), 167–198
  9. А. Д. Медных, И. А. Медных, “Циклические накрытия графов. Перечисление отмеченных остовных лесов и деревьев, индекс Кирхгофа и якобианы”, УМН, 78:3(471) (2023), 115–164
  10. M. Lang, M. Shkolnikov, “Harmonic dynamics of the abelian sandpile”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 116:8 (2019), 2821–2830
  11. M. Lang, M. Shkolnikov, Sandpile monomorphisms and harmonic functions
  12. K. Schmidt, E. Verbitskiy, “Abelian sandpiles and the harmonic model”, Comm. Math. Phys., 292:3 (2009), 721–759
  13. N. Kalinin, V. Khramov, Sandpile group of infinite graphs
  14. A. A. Jarai, “Thermodynamic limit of the abelian sandpile model on $Z^d$”, Markov Process. Related Fields, 11:2 (2005), 313–336
  15. S. R. Athreya, A. A. Jarai, “Infinite volume limit for the stationary distribution of abelian sandpile models”, Comm. Math. Phys., 249:1 (2004), 197–213
  16. A. Fey, L. Levine, Y. Peres, “Growth rates and explosions in sandpiles”, J. Stat. Phys., 138:1-3 (2010), 143–159
  17. Y. Le Borgne, D. Rossin, “On the identity of the sandpile group”, Discrete Math., 256:3 (2002), 775–790
  18. L. Levine, Y. Peres, “Strong spherical asymptotics for rotor-router aggregation and the divisible sandpile”, Potential Anal., 30:1 (2009), 1–27
  19. L. Levine, W. Pegden, C. K. Smart, “Apollonian structure in the Abelian sandpile”, Geom. Funct. Anal., 26:1 (2016), 306–336
  20. L. Levine, W. Pegden, C. K. Smart, “The Apollonian structure of integer superharmonic matrices”, Ann. of Math. (2), 186:1 (2017), 1–67
  21. A. Melchionna, “The sandpile identity element on an ellipse”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 42:8 (2022), 3709–3732
  22. W. Pegden, C. K. Smart, “Stability of patterns in the Abelian sandpile”, Ann. Henri Poincare, 21:4 (2020), 1383–1399
  23. W. Pegden, Sandpiles!
  24. A. Bou-Rabee, Integer superharmonic matrices on the $F$-lattice
  25. M. Kapovich, A. Kontorovich, “On superintegral Kleinian sphere packings, bugs, and arithmetic groups”, J. Reine Angew. Math., 2023:798 (2023), 105–142
  26. A. Bou-Rabee, “Dynamic dimensional reduction in the Abelian sandpile”, Comm. Math. Phys., 390:2 (2022), 933–958
  27. N. Kalinin, M. Shkolnikov, “Tropical curves in sandpiles”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 354:2 (2016), 125–130
  28. N. Kalinin, M. Shkolnikov, “Introduction to tropical series and wave dynamic on them”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 38:6 (2018), 2827–2849
  29. N. Kalinin, M. Shkolnikov, “Sandpile solitons via smoothing of superharmonic functions”, Comm. Math. Phys., 378:3 (2020), 1649–1675
  30. N. Kalinin, M. Shkolnikov, Tropical curves in sandpile models
  31. N. Kalinin, “Pattern formation and tropical geometry”, Front. Phys., 8 (2020), 581126, 10 pp.
  32. N. Kalinin, “Sandpile solitons in higher dimensions”, Arnold Math. J., 9:3 (2023), 435–454
  33. N. Kalinin, Shrinking dynamic on multidimensional tropical series
  34. T. Horiguchi, “Lattice Green's functions for the triangular and honeycomb lattices”, J. Math. Phys., 13:9 (1972), 1411–1419
  35. N. Azimi-Tafreshi, H. Dashti-Naserabadi, S. Moghimi-Araghi, P. Ruelle, “The Abelian sandpile model on the honeycomb lattice”, J. Stat. Mech. Theory Exp., 2010:02 (2010), P02004, 24 pp.
  36. A. Poncelet, P. Ruelle, “Sandpile probabilities on triangular and hexagonal lattices”, J. Phys. A, 51:1 (2018), 015002, 25 pp.
  37. L. C. Evans, Partial differential equations, Grad. Stud. Math., 19, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, xxii+749 pp.
  38. L. A. Caffarelli, X. Cabre, Fully nonlinear elliptic equations, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 43, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, vi+104 pp.
  39. L. Levine, Y. Peres, “Scaling limits for internal aggregation models with multiple sources”, J. Anal. Math., 111:1 (2010), 151–219

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар
Әрекет
1. JATS XML
Жүктеу

© Алиев А.A., Калинин Н.S., 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».