The exact univalent covering domain on the class of holomorphic self-maps of a disc with an interior and a boundary fixed points

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The class of holomorphic maps of the unit disc to itself, with an interior and a boundary fixed point is under consideration. For the class of such functions a sharp univalent covering domain is found in its dependence on the value of the angular derivative at the boundary fixed point and the position of the interior fixed point. This result can be viewed as a refinement of Landau's theorem on the univalent covering disc for the class of bounded holomorphic functions with prescribed derivative at the interior fixed point.

About the authors

Olga Sergeevna Kudryavtseva

Lomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics; Volgograd State Technical University

Author for correspondence.
Email: Kudryavceva_os@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Aleksei Petrovich Solodov

Lomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: apsolodov@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. В. В. Горяйнов, “Полугруппы аналитических функций в анализе и приложениях”, УМН, 67:6(408) (2012), 5–52
  2. В. В. Горяйнов, “Голоморфные отображения единичного круга в себя с двумя неподвижными точками”, Матем. сб., 208:3 (2017), 54–71
  3. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Двусторонние оценки областей однолистности классов голоморфных отображений круга в себя с двумя неподвижными точками”, Матем. сб., 210:7 (2019), 120–144
  4. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Двусторонняя оценка областей однолистности голоморфных отображений круга в себя с инвариантным диаметром”, Изв. вузов. Матем., 2019, № 7, 91–95
  5. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Асимптотически точная двусторонняя оценка областей однолистности голоморфных отображений круга в себя с инвариантным диаметром”, Матем. сб., 211:11 (2020), 96–117
  6. А. П. Солодов, “Усиление теоремы Ландау для голоморфных отображений круга в себя с неподвижными точками”, Матем. заметки, 108:4 (2020), 638–640
  7. А. П. Солодов, “Точная область однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:5 (2021), 190–218
  8. P. Koebe, “Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven. II”, Math. Ann., 69:1 (1910), 1–81
  9. L. Bieberbach, “Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln”, Sitzungsber Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 138 (1916), 940–955
  10. C. Caratheodory, “Sur quelques applications du theorème de Landau–Picard”, C. R. Acad. Sci. Paris, 144 (1907), 1203–1206
  11. A. Bloch, “Les theorèmes de M. Valiron sur les fonctions entières et la theorie de l'uniformisation”, Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. (3), 17 (1925), 1–22
  12. L. V. Ahlfors, H. Grunsky, “Über die Blochsche Konstante”, Math. Z., 42:1 (1937), 671–673
  13. L. V. Ahlfors, “An extension of Schwarz's lemma”, Trans. Amer. Math. Soc., 43:3 (1938), 359–364
  14. M. Heins, “On a class of conformal metrics”, Nagoya Math. J., 21 (1962), 1–60
  15. M. Bonk, “On Bloch's constant”, Proc. Amer. Math. Soc., 110:4 (1990), 889–894
  16. Huaihui Chen, P. M. Gauthier, “On Bloch's constant”, J. Anal. Math., 69 (1996), 275–291
  17. Ж. Валирон, Аналитические функции, ГИТТЛ, М., 1957, 236 с.
  18. E. Landau, “Der Picard–Schottkysche Satz und die Blochsche Konstante”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 1926 (1926), 467–474
  19. G. Pick, “Über den Koebeschen Verzerrungssatz”, Ber. Verh. sächs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. Kl., 68 (1916), 58–64
  20. E. Landau, “Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten”, Math. Z., 30:1 (1929), 608–634
  21. J. Dieudonne, “Recherches sur quelques problèmes relatifs aux polynômes et aux fonctions bornees d'une variable complexe”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 48 (1931), 247–358
  22. А. Ф. Бермант, “О некоторых обобщениях принципа Э. Линделeфа и их применениях”, Матем. сб., 20(62):1 (1947), 55–112
  23. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Теорема об обратных функциях на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя неподвижными точками”, УМН, 77:1(463) (2022), 187–188
  24. В. В. Горяйнов, О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Итерации голоморфных отображений, неподвижные точки и области однолистности”, УМН, 77:6(468) (2022), 3–68
  25. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2-е изд., Наука, М., 1966, 628 с.
  26. K. Löwner, “Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I”, Math. Ann., 89:1-2 (1923), 103–121
  27. L. V. Ahlfors, Conformal invariants: topics in geometric function theory, McGraw-Hill Series in Higher Math., McGraw-Hill Book Co., New York–Düsseldorf–Johannesburg, 1973, ix+157 pp.
  28. Ch. Pommerenke, “On the iteration of analytic functions in a halfplane. I”, J. London Math. Soc. (2), 19:3 (1979), 439–447
  29. I. N. Baker, Ch. Pommerenke, “On the iteration of analytic functions in a halfplane. II”, J. London Math. Soc. (2), 20:2 (1979), 255–258
  30. J. Becker, Ch. Pommerenke, “Angular derivatives for holomorphic self-maps of the disk”, Comput. Methods Funct. Theory, 17:3 (2017), 487–497

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Кудрявцева О.S., Солодов А.P.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».