On the uniqueness of series in the general Franklin system

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We prove some uniqueness theorems for series in general Franklin systems. In particular, for series in the classical Franklin system our result asserts that if the partial sums Sni(x)=∑k=0niakfk(x)">Sni(x)=∑k=0niakfk(x) of a Franklin series ∑k=0∞akfk(x)">∑k=0∞akfk(x) converge in measure to an integrable function f">f and supi|Sni(x)|<∞">supi|Sni(x)|<∞, for x∉B">x∉B, where B">B is some countable set and supi(ni/ni−1)<∞">supi(ni/ni−1)<∞, then this is the Fourier–Franklin series of f">f

About the authors

Gegham Grigor'evich Gevorkyan

Yerevan State University

Author for correspondence.
Email: ggg@ysu.am
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. G. Cantor, “Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen”, Math. Ann., 5:1 (1872), 123–132
  2. Н. К. Бари, Тригонометрические ряды, Физматгиз, М., 1961, 936 с.
  3. Ф. Г. Арутюнян, “О рядах по системе Хаара”, Докл. АН Арм. ССР, 42:3 (1966), 134–140
  4. М. Б. Петровская, “О нуль-рядах по системе Хаара и множествах единственности”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:4 (1964), 773–798
  5. В. А. Скворцов, “Теорема типа Кантора для системы Хаара”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Матем. Мех., 1964, № 5, 3–6
  6. Ф. Г. Арутюнян, А. А. Талалян, “О единственности рядов по системам Хаара и Уолша”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:6 (1964), 1391–1408
  7. G. Kozma, A. Olevskiĭ, “Cantor uniqueness and multiplicity along subsequences”, Алгебра и анализ, 32:2 (2020), 85–106
  8. Н. Н. Холщевникова, “Сумма всюду сходящегося тригонометрического ряда”, Матем. заметки, 75:3 (2004), 470–473
  9. В. А. Скворцов, Н. Н. Холщевникова, “Сравнение двух обобщенных тригонометрических интегралов”, Матем. заметки, 79:2 (2006), 278–287
  10. Г. Г. Геворкян, “Теоремы единственности для простых тригонометрических рядов и их применение к кратным рядам”, Матем. сб., 212:12 (2021), 20–39
  11. М. Г. Плотников, “$lambda$-Сходимость кратных рядов Уолша–Пэли и множества единственности”, Матем. заметки, 102:2 (2017), 292–301
  12. М. Г. Плотников, Ю. А. Плотникова, “Разложение двоичных мер и объединение замкнутых $mathscr{U}$-множеств для рядов по системе Хаара”, Матем. сб., 207:3 (2016), 137–152
  13. Г. Г. Геворкян, К. А. Навасардян, “Теоремы единственности для обобщенной системы Хаара”, Матем. заметки, 104:1 (2018), 11–24
  14. Г. Г. Геворкян, К. А. Навасардян, “Теоремы единственности для системы Виленкина”, Известия НАН РА Математика, 53:2 (2018), 15–30
  15. Г. Г. Геворкян, “Теоремы единственности для рядов по системе Франклина”, Матем. заметки, 98:5 (2015), 786–789
  16. Г. Г. Геворкян, “О единственности рядов по системе Франклина”, Матем. сб., 207:12 (2016), 30–53
  17. Г. Г. Геворкян, “Теоремы единственности рядов Франклина, сходящихся к интегрируемым функциям”, Матем. сб., 209:6 (2018), 25–46
  18. G. G. Gevorkyan, “Ciesielski and Franklin systems”, Approximation and probability, Banach Center Publ., 72, Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2006, 85–92
  19. Z. Wronicz, “On a problem of Gevorkyan for the Franklin system”, Opuscula Math., 36:5 (2016), 681–687
  20. Z. Wronicz, “Uniqueness of series in the Franklin system and the Gevorkyan problems”, Opuscula Math., 41:2 (2021), 269–276
  21. Г. Г. Геворкян, “О единственности рядов Франклина со сходящейся подпоследовательностью частичных сумм”, Матем. сб., 214:2 (2023), 58–71
  22. Г. Г. Геворкян, В. Г. Микаелян, “О единственности рядов по общей системе Франклина со сходящейся подпоследовательностью частичных сумм”, Известия НАН РА Математика, 58:2 (2023), 28–45
  23. G. G. Gevorkyan, A. Kamont, On general Franklin systems, Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), 374, Polish Acad. Sci. Inst. Math. Inst. Math., Warsaw, 1998, 59 pp.
  24. Ph. Franklin, “A set of continuous orthogonal functions”, Math. Ann., 100:1 (1928), 522–529
  25. Z. Ciesielski, A. Kamont, “Projections onto piecewise linear functions”, Funct. Approx. Comment. Math., 25 (1997), 129–143
  26. G. G. Gevorkyan, A. Kamont, “Unconditionality of general Franklin systems in $L^p[0,1]$, $1
  27. В. Г. Микаелян, “Об одном “мартингальном свойстве” ряда по общей системе Франклина”, Доклады НАН РА Математика, 120:2 (2020), 110–114
  28. G. G. Gevorkyan, “On a “martingale property” of Franklin series”, Anal. Math., 45:4 (2019), 803–815
  29. M. Гусман, Дифференцирование интегралов в $mathbb{R}^n$, Математика: новое в зарубежной науке, 9, Мир, М., 1978, 200 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Геворкян Г.G.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».