Widths and rigidity

Capa

Citar

Texto integral

Acesso aberto Acesso aberto
Acesso é fechado Acesso está concedido
Acesso é fechado Somente assinantes

Resumo

В работе изучаются колмогоровские поперечники конечных систем функций. Ортонормированная система из $N$ функций является жесткой в $L_2$ в том смысле, что ее нельзя хорошо приблизить линейными пространствами размерности существенно меньшей $N$. Это не так для более слабых метрик: известно, что во всех $L_p$, $p<2$, первые $N$ функций системы Уолша приближаются с погрешностью $o(1)$ линейными пространствами размерности $o(N)$.Получены достаточные условия жесткости. Мы доказываем, что независимость (в теоретико-вероятностном смысле) функций влечет жесткость в $L_1$ и даже в $L_0$ – в метрике, отвечающей за сходимость по мере. В случае $L_p$, $1 < p < 2$, условие слабее: любая $S_{p'}$ система является жесткой в $L_p$.Для некоторых систем получены положительные результаты об аппроксимации. Так, первые $N$ функций тригонометрической системы приближаются пространствами очень малой размерности в $L_0$, а также пространствами, порожденными $o(N)$ гармониками в $L_p$, $p < 1$.Библиография: 34 названия.

Sobre autores

Yuri Malykhin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Lomonosov Moscow State University

Email: malykhin-yuri@yandex.ru
Scopus Author ID: 15725487800
Researcher ID: Q-4409-2016
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Bibliografia

  1. А. Н. Колмогоров, “О наилучшем приближении функций заданного функционального класса”, Избранные труды. Математика и механика, Наука, М., 1985, 186–189
  2. G. G. Lorentz, M. von Golitschek, Y. Makovoz, Constructive approximation. Advanced problems, Grundlehren Math. Wiss., 304, Springer-Verlag, Berlin, 1996, xii+649 pp.
  3. A. Pinkus, $n$-widths in approximation theory, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 7, Springer-Verlag, Berlin, 1985, x+291 pp.
  4. Dinh Dũng, V. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Adv. Courses Math. CRM Barcelona, Birkhäuser/Springer, Cham, 2018, xi+218 pp.
  5. В. М. Тихомиров, “Теория приближений”, Анализ – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 14, ВИНИТИ, М., 1987, 103–260
  6. Y. Malykhin, “Matrix and tensor rigidity and $L_p$-approximation”, J. Complexity, 72 (2022), 101651, 13 pp.
  7. S. V. Lokam, “Complexity lower bounds using linear algebra”, Found. Trends Theor. Comput. Sci., 4:1-2 (2008), 1–155
  8. J. Alman, R. Williams, “Probabilistic rank and matrix rigidity”, STOC{'}17 Proceedings of the 49th annual ACM SIGACT symposium on theory of computing (Montreal, QC, 2017), ACM, New York, 2017, 641–652
  9. С. М. Воронин, Н. Т. Темиргалиев, “О некоторых приложениях меры Банаха”, Изв. АН КазССР. Cер. физ.-матем., 1984, № 5, 8–11
  10. В. Е. Майоров, “Колмогоровские $(n,delta)$-поперечники пространств гладких функций”, Матем. сб., 184:7 (1993), 49–70
  11. J. Creutzig, “Relations between classical, average, and probabilistic Kolmogorov widths”, J. Complexity, 18:1 (2002), 287–303
  12. Б. С. Кашин, “Об оценках снизу $m$-членных приближений в метрике дискретного пространства $L_n^0$”, УМН, 76:5(461) (2021), 199–200
  13. В. Ф. Гапошкин, “Лакунарные ряды и независимые функции”, УМН, 21:6(132) (1966), 3–82
  14. Б. С. Кашин, Ю. В. Малыхин, К. С. Рютин, “Поперечник по Колмогорову и аппроксимативный ранг”, Гармонический анализ, теория приближений и теория чисел, Сборник статей. К 60-летию со дня рождения академика Сергея Владимировича Конягина, Труды МИАН, 303, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 155–168
  15. J. Bourgain, “Bounded orthogonal systems and the $Lambda(p)$-set problem”, Acta Math., 162:3-4 (1989), 227–245
  16. Z. Dvir, A. Liu, “Fourier and circulant matrices are not rigid”, 34th computational complexity conference, LIPIcs. Leibniz Int. Proc. Inform., 137, Schloss Dagstuhl. Leibniz-Zent. Inform., Wadern, 2019, 17, 23 pp.
  17. В. И. Иванов, В. А. Юдин, “О тригонометрической системе в $L_p$, $0
  18. T. Oikhberg, M. I. Ostrovskii, “Dependence of Kolmogorov widths on the ambient space”, Журн. матем. физ., анал., геом., 9:1 (2013), 25–50
  19. E. Novak, H. Wozniakowski, Tractability of multivariate problems, v. I, EMS Tracts Math., 6, Linear information, Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, xii+384 pp.
  20. Р. С. Исмагилов, “Об $n$-мерных поперечниках компактов в гильбертовом пространстве”, Функц. анализ и его прил., 2:2 (1968), 32–39
  21. Н. Н. Вахания, В. И. Тариеладзе, С. А. Чобанян, Вероятностные распределения в банаховых пространствах, Наука, М., 1985, 368 с.
  22. R. Vershynin, High-dimensional probability. An introduction with applications in data science, Camb. Ser. Stat. Probab. Math., 47, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2018, xiv+284 pp.
  23. J. D. Vaaler, “A geometric inequality with applications to linear forms”, Pacific J. Math., 83:2 (1979), 543–553
  24. S. Mendelson, R. Vershynin, “Entropy and the combinatorial dimension”, Invent. Math., 152:1 (2003), 37–55
  25. N. Alon, P. Frankl, V. R{o}dl, “Geometrical realization of set systems and probabilistic communication complexity”, SFCS{'}85 Proceedings of the 26th annual symposium on foundations of computer science (Portland, OR, 1985), IEEE Computer Soc., Washington, DC, 1985, 277–280
  26. N. Alon, S. Moran, A. Yehudayoff, “Sign rank versus VC dimension”, 29th annual conference on learning theory, Proceedings of Machine Learning Research (PMLR), 49, 2016, 47–80
  27. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, 2-е изд., АФЦ, М., 1999, x+550 с.
  28. I. Berkes, “On the uniform theory of lacunary series”, Number theory – Diophantine problems, uniform distribution and applications, Springer, Cham, 2017, 137–167
  29. С. В. Асташкин, Система Радемахера в функциональных пространствах, Физматлит, М., 2017, 549 с.
  30. C. Bennett, K. Rudnick, On Lorentz–Zygmund spaces, Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), 175, PWN, Warszawa, 1980, 67 pp.
  31. Е. Д. Глускин, “Пересечения куба с октаэдром плохо аппроксимируются подпространствами малой размерности”, Приближение функций специальными классами операторов, Межвуз. сб. науч. тр., Мин. прос. РСФСР, Вологодский гос. пед. ин-т, Вологда, 1987, 35–41
  32. D. J. Hajela, “Construction techniques for some thin sets in duals of compact abelian groups”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 36:3 (1986), 137–166
  33. Б. С. Кашин, “О поперечниках октаэдров”, УМН, 30:4(184) (1975), 251–252
  34. Terence Tao, Van H. Vu, Additive combinatorics, Cambridge Stud. Adv. Math., 105, Reprint of the 2006 ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010, xviii+512 pp.

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Declaração de direitos autorais © Малыхин Ю.V., 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».