Open Access
Access granted
Subscription Access
Vol 215, No 4 (2024)
Controllability of an approximately given control system
Abstract
В работе вводится понятие управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно данной функции и приводятся условия, гарантирующие управляемость относительно такой функции не только первоначально заданной управляемой системы, но и близких к ней управляемых систем. Библиография: 10 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(4):3-29
3-29
The spectrum of the $C^*$-algebra of singular integral operators with semi-almost periodic coefficients
Abstract
The $C^*$-algebra generated by one-dimensional singular integral operators with semi-almost periodic coefficients is studied. The primitive spectrum of this algebra is described, i. e., all its primitive ideals are listed and the Jacobson topology is described.Bibliography: 22 titles.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(4):30-61
30-61
The Lipschitz condition of the metric projection and the convergence of gradient methods
Abstract
Рассмотрены разные опорные условия для замкнутого множества из вещественного гильбертова пространства $\mathcal H$ в точке границы множества. Указанные условия обеспечивают некоторое локальное условие Липшица метрического проектора точки на множество по точке. Также имеет место локальная липшицевость проектора в метрике Хаусдорфа как функции множества. Полученное условие Липшица применено для доказательства линейной сходимости ряда градиентных методов (метода проекции градиента, метода условного градиента) без предположения сильной выпуклости или даже выпуклости функции и без выпуклости множества. Функция при этом предполагается дифференцируемой с непрерывным по Липшицу градиентом.Библиография: 29 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(4):62-80
62-80
Producing new semi-orthogonal decompositions in arithmetic geometry
Abstract
Статья посвящена построению новых допустимых подкатегорий и полуортогональных разложений из исходных. Пусть $\mathcal{T}$ и $\mathcal{T}'$ – триангулированные подкатегории некоторой категории $\mathcal{D}$, а $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ – полуортогональное разложение $\mathcal{T}$; мы ищем или такое разложение $(\mathcal{A}',\mathcal{B}')$ категории $\mathcal{T}'$, что нет ненулевых $\mathcal{D}$-морфизмов из $\mathcal{A}$ в $\mathcal{A}'$ и из $\mathcal{B}$ в $\mathcal{B}'$, или такое разложение $(\mathcal{A}_{\mathcal{D}},\mathcal{B}_{\mathcal{D}})$ категории $\mathcal{D}$, что $\mathcal{A}_{\mathcal{D}}\cap \mathcal{T}=\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}_{\mathcal{D}}\cap \mathcal{T}=\mathcal{B}$. Доказываются несколько общих теорем существования (они также обобщаются на полуортогональные разложения произвольной длины); они применяются к различным производным категориям когерентных пучков на схеме $X$, собственной над спектром нётерова кольца $R$. Это дает взаимно однозначное соответствие между полуортогональными разложениями категорий $D_{\mathrm{perf}}(X)$ и $D^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(X)) $; последние распространяются на $D^-(\operatorname{coh}(X))$, $D^+_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$, $D_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$ и $D(\operatorname{Qcoh}(X))$ (если выполнены очень слабые дополнительные предположения). В частности, доказывается широкое обобщение некоторой теоремы Дж. Кармазина, А. Кузнецова и Е. Шиндера.Для получения этих результатов применяются недавние результаты Неемана, выражающие категории $D^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(X))$ и $D^- (\operatorname{coh}(X))$ через $D_{\mathrm{perf}}(X)$. Также доказывается аналогичная новая теорема, связывающая $D^+_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$ и $D_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$ (это некоторые модификации ограниченной снизу и неограниченной производной категории когерентных пучков на $X$) с гомологическими функторами $D_{\mathrm{perf}}(X)^{\mathrm{op}}\to R-\operatorname{mod}$. Мы также изучаем применение этой теорем к построению некоторых сопряженных функторов.Библиография: 30 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(4):81-116
81-116
Widths and rigidity
Abstract
В работе изучаются колмогоровские поперечники конечных систем функций. Ортонормированная система из $N$ функций является жесткой в $L_2$ в том смысле, что ее нельзя хорошо приблизить линейными пространствами размерности существенно меньшей $N$. Это не так для более слабых метрик: известно, что во всех $L_p$, $p<2$, первые $N$ функций системы Уолша приближаются с погрешностью $o(1)$ линейными пространствами размерности $o(N)$.Получены достаточные условия жесткости. Мы доказываем, что независимость (в теоретико-вероятностном смысле) функций влечет жесткость в $L_1$ и даже в $L_0$ – в метрике, отвечающей за сходимость по мере. В случае $L_p$, $1 < p < 2$, условие слабее: любая $S_{p'}$ система является жесткой в $L_p$.Для некоторых систем получены положительные результаты об аппроксимации. Так, первые $N$ функций тригонометрической системы приближаются пространствами очень малой размерности в $L_0$, а также пространствами, порожденными $o(N)$ гармониками в $L_p$, $p < 1$.Библиография: 34 названия.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(4):117-148
117-148