Отправить статью по E-mail О возможных группах симметрий 27-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость
- Авторы: Гайфуллин А.А.1,2,3,4
-
Учреждения:
- Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
- Сколковский институт науки и технологий, территория Инновационного Центра "Сколково"
- Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
- Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук
- Выпуск: Том 215, № 7 (2024)
- Страницы: 3-51
- Раздел: Статьи
- URL: https://journal-vniispk.ru/0368-8666/article/view/259501
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm10017
- ID: 259501
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
В 1987 г. У. Брем и В. Кюнель показали, что всякая триангуляция $d$-мерного многообразия (без края), не гомеоморфного сфере, имеет не меньше $3d/2+3$ вершин. Более того, триангуляции ровно с $3d/2+3$ вершинами могут существовать только для “многообразий, похожих на проективные плоскости”, которые бывают только в размерностях $2$, $4$, $8$ и $16$. Имеются $6$-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости $\mathbb{RP}^2$, $9$-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости $\mathbb{CP}^2$ и $15$-вершинные триангуляции кватернионной проективной плоскости $\mathbb{HP}^2$. Недавно автор построил первые примеры $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость $\mathbb{OP}^2$. Четыре наиболее симметричные из них имеют группу симметрий $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ порядка $351$. Эти триангуляции были найдены при помощи компьютерной программы после того, как была угадана их группа симметрий. Тем не менее оставалось совершенно непонятным, почему именно эта группа реализуется как группа симметрий и существуют ли $27$-вершинные триангуляции многообразий, похожих на $\mathbb{OP}^2$, с другими (возможно, большими) группами симметрий. В настоящей работе даются сильные ограничения на группы симметрий таких $27$-вершинных триангуляций. А именно, приводится список из $26$ подгрупп симметрической группы $\mathrm{S}_{27}$, содержащий все возможные группы симметрий $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. (Нам не известно, все ли эти подгруппы реализуются как группы симметрий.) Группа $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ является самой большой в этом списке, причем порядки всех остальных групп не превосходят $52$. Ключевую роль в нашем подходе играет использование результатов П. Смита и Г. Бредона о топологии множеств неподвижных точек конечных групп преобразований.Библиография: 36 названий.
Об авторах
Александр Александрович Гайфуллин
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук; Сколковский институт науки и технологий, территория Инновационного Центра "Сколково"; Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук
Email: agaif@mi-ras.ru
Scopus Author ID: 6602366976
ResearcherId: N-9247-2016
доктор физико-математических наук, без звания
Список литературы
- J. F. Adams, “On the non-existence of elements of Hopf invariant one”, Ann. of Math. (2), 72:1 (1960), 20–104
- А. В. Алексеевский, “О жордановых конечных коммутативных подгруппах простых комплексных групп Ли”, Функц. анализ и его прил., 8:4 (1974), 1–4
- P. Alexandroff, “On local properties of closed sets”, Ann. of Math. (2), 36:1 (1935), 1–35
- P. Arnoux, A. Marin, “The Kühnel triangulation of the complex projective plane from the view point of complex crystallography. II”, Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A, 45:2 (1991), 167–244
- B. Bagchi, B. Datta, “On Kühnel's 9-vertex complex projective plane”, Geom. Dedicata, 50:1 (1994), 1–13
- B. Bagchi, B. Datta, “Non-existence of $6$-dimensional pseudomanifolds with complementarity”, Adv. Geom., 4:4 (2004), 537–550
- H. U. Besche, B. Eick, E. A. O'Brien, “The groups of order at most 2000”, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 7 (2001), 1–4
- H. U. Besche, B. Eick, E. O'Brien, GAP package SmallGrp, Vers. 1.5.3, GAP – Groups, Algorithms, and Programming, 2024
- A. Borel, Seminar on transformation groups, Ann. of Math. Stud., 46, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1960, vii+245 pp.
- G. E. Bredon, “Orientation in generalized manifolds and applications to the theory of transformation groups”, Michigan Math. J., 7:1 (1960), 35–64
- G. E. Bredon, “The cohomology ring structure of a fixed point set”, Ann. of Math. (2), 80:3 (1964), 524–537
- G. E. Bredon, “Cohomological aspects of transformation groups”, Proceedings of the conference on transformation groups (New Orleans, LA, 1967), Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1968, 245–280
- Г. Бредон, Введение в теорию компактных групп преобразований, Наука, М., 1980, 440 с.
- U. Brehm, W. Kühnel, “Combinatorial manifolds with few vertices”, Topology, 26:4 (1987), 465–473
- U. Brehm, W. Kühnel, “15-vertex triangulations of an 8-manifold”, Math. Ann., 294:1 (1992), 167–193
- Handbook of magma functions, v. 5, Finite groups, Vers. 2.25, eds. J. Cannon, W. Bosma, C. Fieker, A. Steel, Sydney, 2019, 641 pp.
- E. Čech, “Sur les nombres de Betti locaux”, Ann. of Math. (2), 35:3 (1934), 678–701
- F. Chapoton, L. Manivel, “Triangulations and Severi varieties”, Exp. Math., 22:1 (2013), 60–73
- A. M. Cohen, D. B. Wales, “Finite subgroups of $F_4(mathbb{C})$ and $E_6(mathbb{C})$”, Proc. London Math. Soc. (3), 74:1 (1997), 105–150
- B. Datta, “Pseudomanifolds with complementarity”, Geom. Dedicata, 73:2 (1998), 143–155
- J. Eells, Jr., N. H. Kuiper, “Manifolds which are like projective planes”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 14 (1962), 5–46
- А. А. Гайфуллин, “634 vertex-transitive and more than $10^{103}$ non-vertex-transitive 27-vertex triangulations of manifolds like the octonionic projective plane”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:3 (2024), 12–60
- А. А. Гайфуллин, “Новые примеры и частичная классификация 15-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости”, Труды МИАН, 326 (2024)
- A. A. Gaifullin, Triangulations of the quaternionic projective plane and manifolds like the octonionic projective plane, Vers. 2, 2023
- Д. А. Городков, “Минимальная триангуляция кватернионной проективной плоскости”, УМН, 71:6(432) (2016), 159–160
- D. Gorodkov, “A 15-vertex triangulation of the quaternionic projective plane”, Discrete Comput. Geom., 62:2 (2019), 348–373
- M. Hall, Jr., “Simple groups of order less than one million”, J. Algebra, 20:1 (1972), 98–102
- G. Higman, “Finite groups in which every element has prime power order”, J. London Math. Soc., 32:3 (1957), 335–342
- V. Klee, “A combinatorial analogue of Poincare's duality theorem”, Canad. J. Math., 16 (1964), 517–531
- L. Kramer, “Projective planes and their look-alikes”, J. Differential Geom., 64:1 (2003), 1–55
- W. Kühnel, T. F. Banchoff, “The 9-vertex complex projective plane”, Math. Intelligencer, 5:3 (1983), 11–22
- W. Kühnel, G. Lassmann, “The unique 3-neighborly 4-manifold with few vertices”, J. Combin. Theory Ser. A, 35:2 (1983), 173–184
- J. R. Munkres, Elements of algebraic topology, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Menlo Park, CA, 1984, ix+454 pp.
- I. Novik, “Upper bound theorems for homology manifolds”, Israel J. Math., 108:1 (1998), 45–82
- P. A. Smith, “Transformations of finite period. II”, Ann. of Math. (2), 40:3 (1939), 690–711
- M. Suzuki, “On a class of doubly transitive groups”, Ann. of Math. (2), 75:1 (1962), 105–145
Дополнительные файлы
