On possible symmetry groups of 27-vertex triangulations of manifolds like the octonionic projective plane

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

В 1987 г. У. Брем и В. Кюнель показали, что всякая триангуляция $d$-мерного многообразия (без края), не гомеоморфного сфере, имеет не меньше $3d/2+3$ вершин. Более того, триангуляции ровно с $3d/2+3$ вершинами могут существовать только для “многообразий, похожих на проективные плоскости”, которые бывают только в размерностях $2$, $4$, $8$ и $16$. Имеются $6$-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости $\mathbb{RP}^2$, $9$-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости $\mathbb{CP}^2$ и $15$-вершинные триангуляции кватернионной проективной плоскости $\mathbb{HP}^2$. Недавно автор построил первые примеры $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость $\mathbb{OP}^2$. Четыре наиболее симметричные из них имеют группу симметрий $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ порядка $351$. Эти триангуляции были найдены при помощи компьютерной программы после того, как была угадана их группа симметрий. Тем не менее оставалось совершенно непонятным, почему именно эта группа реализуется как группа симметрий и существуют ли $27$-вершинные триангуляции многообразий, похожих на $\mathbb{OP}^2$, с другими (возможно, большими) группами симметрий. В настоящей работе даются сильные ограничения на группы симметрий таких $27$-вершинных триангуляций. А именно, приводится список из $26$ подгрупп симметрической группы $\mathrm{S}_{27}$, содержащий все возможные группы симметрий $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. (Нам не известно, все ли эти подгруппы реализуются как группы симметрий.) Группа $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ является самой большой в этом списке, причем порядки всех остальных групп не превосходят $52$. Ключевую роль в нашем подходе играет использование результатов П. Смита и Г. Бредона о топологии множеств неподвижных точек конечных групп преобразований.Библиография: 36 названий.

About the authors

Alexander Aleksandrovich Gaifullin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Skolkovo Institute of Science and Technology; Lomonosov Moscow State University; Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute)

Email: agaif@mi-ras.ru
Scopus Author ID: 6602366976
ResearcherId: N-9247-2016
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. J. F. Adams, “On the non-existence of elements of Hopf invariant one”, Ann. of Math. (2), 72:1 (1960), 20–104
  2. А. В. Алексеевский, “О жордановых конечных коммутативных подгруппах простых комплексных групп Ли”, Функц. анализ и его прил., 8:4 (1974), 1–4
  3. P. Alexandroff, “On local properties of closed sets”, Ann. of Math. (2), 36:1 (1935), 1–35
  4. P. Arnoux, A. Marin, “The Kühnel triangulation of the complex projective plane from the view point of complex crystallography. II”, Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A, 45:2 (1991), 167–244
  5. B. Bagchi, B. Datta, “On Kühnel's 9-vertex complex projective plane”, Geom. Dedicata, 50:1 (1994), 1–13
  6. B. Bagchi, B. Datta, “Non-existence of $6$-dimensional pseudomanifolds with complementarity”, Adv. Geom., 4:4 (2004), 537–550
  7. H. U. Besche, B. Eick, E. A. O'Brien, “The groups of order at most 2000”, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 7 (2001), 1–4
  8. H. U. Besche, B. Eick, E. O'Brien, GAP package SmallGrp, Vers. 1.5.3, GAP – Groups, Algorithms, and Programming, 2024
  9. A. Borel, Seminar on transformation groups, Ann. of Math. Stud., 46, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1960, vii+245 pp.
  10. G. E. Bredon, “Orientation in generalized manifolds and applications to the theory of transformation groups”, Michigan Math. J., 7:1 (1960), 35–64
  11. G. E. Bredon, “The cohomology ring structure of a fixed point set”, Ann. of Math. (2), 80:3 (1964), 524–537
  12. G. E. Bredon, “Cohomological aspects of transformation groups”, Proceedings of the conference on transformation groups (New Orleans, LA, 1967), Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1968, 245–280
  13. Г. Бредон, Введение в теорию компактных групп преобразований, Наука, М., 1980, 440 с.
  14. U. Brehm, W. Kühnel, “Combinatorial manifolds with few vertices”, Topology, 26:4 (1987), 465–473
  15. U. Brehm, W. Kühnel, “15-vertex triangulations of an 8-manifold”, Math. Ann., 294:1 (1992), 167–193
  16. Handbook of magma functions, v. 5, Finite groups, Vers. 2.25, eds. J. Cannon, W. Bosma, C. Fieker, A. Steel, Sydney, 2019, 641 pp.
  17. E. Čech, “Sur les nombres de Betti locaux”, Ann. of Math. (2), 35:3 (1934), 678–701
  18. F. Chapoton, L. Manivel, “Triangulations and Severi varieties”, Exp. Math., 22:1 (2013), 60–73
  19. A. M. Cohen, D. B. Wales, “Finite subgroups of $F_4(mathbb{C})$ and $E_6(mathbb{C})$”, Proc. London Math. Soc. (3), 74:1 (1997), 105–150
  20. B. Datta, “Pseudomanifolds with complementarity”, Geom. Dedicata, 73:2 (1998), 143–155
  21. J. Eells, Jr., N. H. Kuiper, “Manifolds which are like projective planes”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 14 (1962), 5–46
  22. А. А. Гайфуллин, “634 vertex-transitive and more than $10^{103}$ non-vertex-transitive 27-vertex triangulations of manifolds like the octonionic projective plane”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:3 (2024), 12–60
  23. А. А. Гайфуллин, “Новые примеры и частичная классификация 15-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости”, Труды МИАН, 326 (2024)
  24. A. A. Gaifullin, Triangulations of the quaternionic projective plane and manifolds like the octonionic projective plane, Vers. 2, 2023
  25. Д. А. Городков, “Минимальная триангуляция кватернионной проективной плоскости”, УМН, 71:6(432) (2016), 159–160
  26. D. Gorodkov, “A 15-vertex triangulation of the quaternionic projective plane”, Discrete Comput. Geom., 62:2 (2019), 348–373
  27. M. Hall, Jr., “Simple groups of order less than one million”, J. Algebra, 20:1 (1972), 98–102
  28. G. Higman, “Finite groups in which every element has prime power order”, J. London Math. Soc., 32:3 (1957), 335–342
  29. V. Klee, “A combinatorial analogue of Poincare's duality theorem”, Canad. J. Math., 16 (1964), 517–531
  30. L. Kramer, “Projective planes and their look-alikes”, J. Differential Geom., 64:1 (2003), 1–55
  31. W. Kühnel, T. F. Banchoff, “The 9-vertex complex projective plane”, Math. Intelligencer, 5:3 (1983), 11–22
  32. W. Kühnel, G. Lassmann, “The unique 3-neighborly 4-manifold with few vertices”, J. Combin. Theory Ser. A, 35:2 (1983), 173–184
  33. J. R. Munkres, Elements of algebraic topology, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Menlo Park, CA, 1984, ix+454 pp.
  34. I. Novik, “Upper bound theorems for homology manifolds”, Israel J. Math., 108:1 (1998), 45–82
  35. P. A. Smith, “Transformations of finite period. II”, Ann. of Math. (2), 40:3 (1939), 690–711
  36. M. Suzuki, “On a class of doubly transitive groups”, Ann. of Math. (2), 75:1 (1962), 105–145

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Гайфуллин А.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».