Open Access
Access granted
Subscription Access
Vol 215, No 7 (2024)
On possible symmetry groups of 27-vertex triangulations of manifolds like the octonionic projective plane
Abstract
В 1987 г. У. Брем и В. Кюнель показали, что всякая триангуляция $d$-мерного многообразия (без края), не гомеоморфного сфере, имеет не меньше $3d/2+3$ вершин. Более того, триангуляции ровно с $3d/2+3$ вершинами могут существовать только для “многообразий, похожих на проективные плоскости”, которые бывают только в размерностях $2$, $4$, $8$ и $16$. Имеются $6$-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости $\mathbb{RP}^2$, $9$-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости $\mathbb{CP}^2$ и $15$-вершинные триангуляции кватернионной проективной плоскости $\mathbb{HP}^2$. Недавно автор построил первые примеры $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость $\mathbb{OP}^2$. Четыре наиболее симметричные из них имеют группу симметрий $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ порядка $351$. Эти триангуляции были найдены при помощи компьютерной программы после того, как была угадана их группа симметрий. Тем не менее оставалось совершенно непонятным, почему именно эта группа реализуется как группа симметрий и существуют ли $27$-вершинные триангуляции многообразий, похожих на $\mathbb{OP}^2$, с другими (возможно, большими) группами симметрий. В настоящей работе даются сильные ограничения на группы симметрий таких $27$-вершинных триангуляций. А именно, приводится список из $26$ подгрупп симметрической группы $\mathrm{S}_{27}$, содержащий все возможные группы симметрий $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. (Нам не известно, все ли эти подгруппы реализуются как группы симметрий.) Группа $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ является самой большой в этом списке, причем порядки всех остальных групп не превосходят $52$. Ключевую роль в нашем подходе играет использование результатов П. Смита и Г. Бредона о топологии множеств неподвижных точек конечных групп преобразований.Библиография: 36 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(7):3-51
3-51
On a certain family of algebraic number fields with finite 3-class field tower
Abstract
Пусть $\ell=3$, $k=\mathbb Q(\sqrt{-3})$ и $K=k(\sqrt[3]{a})$, где $a$ – натуральное число такое, что $a^2\equiv 1\pmod 9$. В предположении, что в расширении $K_\infty/k_\infty$, где $k_\infty$ и $K_\infty$ – круговые $\mathbb Z_3$-расширения полей $k$ и $K$ соответственно, разветвлены ровно три простые точки, не лежащие над $\ell$, мы изучаем 3-башни полей классов промежуточных полей $K_n$ расширения $K_\infty/K$.Доказано,что для любого $K_n$ 3-башня полей классов поля $K_n$обрывается на первом же шаге, т.е. группа Галуа расширения $\mathbf H_\ell(K_n)/K_n$, где $\mathbf H_\ell(K_n)$ – максимальное неразветвленное $\ell$-расшире-ние поля $K_n$, абелева.Библиография: 7 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(7):52-60
52-60
On an extremal problem for positive definite functions with support in a ball
Abstract
Рассматривается экстремальная задача, связанная с множеством непрерывных положительно определенных функций на $\mathbb{R}^n$, носитель которых содержится в замкнутом шаре радиуса $r>0$, а значение в нуле фиксировано (класс $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$).При фиксированном $r>0$ требуется найти точную верхнюю грань функционала специального вида на множестве $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$.Получено общее решение данной задачи при $n\neq2$. Как следствие получены новые точные неравенства для производных целых функций экспоненциального сферического типа $\leqslant r$.Библиография: 24 названия.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(7):61-73
61-73
Error estimates in homogenization of elliptic operators with account of correctors
Abstract
Для действующих в пространстве $\mathbb{R}^d$ дивергентных эллиптических операторов второго порядка с $\varepsilon$-периодическими измеримыми коэффициентами построены аппроксимации резольвенты в операторной норме $\|\cdot\|_{H^1{\to}H^1}$ с остаточным членом порядка $\varepsilon^2$ при $\varepsilon\to 0$. Применяется метод двухмасштабных разложений по степеням $\varepsilon$ до второй включительно. Недостаток гладкости в данных задачи преодолевается с помощью сглаживания по Стеклову или его итераций. Рассмотрены сначала скалярные дифференциальные операторы с вещественной матрицей коэффициентов, действующие на функциях $u\colon \mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$, а затем матричные дифференциальные операторы с комплекснозначным тензором четвертого порядка, действующие на функциях $u\colon \mathbb{R}^d\to \mathbb{C}^n$.Библиография: 20 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(7):74-95
74-95
On approximations of one singular integral on an interval by rational Fourier-Chebyshev integral operators
Abstract
Исследуются аппроксимации на отрезке $[-1,1]$ сингулярных интегралов вида$$\widehat{f}(x)=\int_{-1}^{1}\frac{f(t)}{t-x}\sqrt{1-t^2} dt, \qquad x \in [-1,1], $$двумя рациональными интегральными операторами, в некотором смысле связанными между собой. Первый из них – интегральный оператор Фурье–Чебышёва, ассоциированный с системой рациональных функций Чебышёва–Маркова. Второй оператор является его образом при преобразовании изучаемым сингулярным интегралом. Изучаются аппроксимационные свойства соответствующих полиномиальных аналогов обоих операторов в случае, когда плотность сингулярного интеграла удовлетворяет на отрезке $[-1,1]$ условию Липшица порядка $\alpha \in (0,1]$. Исследуются рациональные аппроксимации на отрезке $[-1,1]$ сингулярного интеграла с плотностью, имеющей степенную особенность. Рассматривается случай, когда аппроксимирующие рациональные функции имеют произвольное фиксированное количество геометрически различных полюсов, и случай, когда параметры аппроксимирующих рациональных функций представляют собой некоторые модификации “ньюменовских” параметров. Библиография: 34 названия.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(7):96-137
96-137
Polynomial rigidity and spectrum of Sidon automorphisms
Abstract
Предъявлен континуум спектрально дизъюнктных сидоновских автоморфизмов, тензорный квадрат которых изоморфен планарному сдвигу. Спектры таких автоморфизмов не обладают групповым свойством. Для выявления сингулярности спектров использована полиномиальная жесткость операторов, связанная с понятием линейного детерминизма по Колмогорову. В классе перемешивающих гауссовских и пуассоновских надстроек над сидоновскими автоморфизмами реализованы новые наборы спектральных кратностей.Библиография: 12 названий.
Matematicheskii Sbornik. 2024;215(7):138-152
138-152